Диссертация (Интегрируемая модель космологии со скалярными полями и её расширение в РТ-симметричной теории), страница 2

Мы называем такое поле PT-омом. Используятехнику общей псевдоэрмитовой теории, показано, что космология двухскалярных полей с PT-омом имеет вещественный спектр энергии.Научная новизна. В настоящей работе была впервые построена интегрируемая модель космологии с несколькими скалярными полями, потенциалы которых являются экспоненцильными функциями. В работепредложен интеграл движения как калибровочное условие, полученатраектория в минисуперпространстве, с которой можно прямо сравнитьГауссовский пакет.Впервые было проведено исследование PT-симметричной теории вквантовой космологии для решения проблемы фантома в рамках геометродинамики.

Получено, что PT-симметричная космология имеет вещественный спектр энергии.Методология и методы исследования. Исследования, составляющие диссертацию, проводились методами геометродинамики в приближении минисуперпространства и псевдо-эрмитовой квантовой механики. Первый метод позволяет интегрировать уравнение Уилера-ДеВитта,рассмотреть космологическую сингулярность и до-инфляционые условия; второй позволяет исследовать неэрмитовую квантовую космологию,получить вещественный спектр энергий Вселенной. Подробное изложение см. в главе 1.Положения, выносимые на защиту:7• Используя интегралы движения на связях как калибровочные условия, решены уравнения Фридмана с тремя типами полей Лиувилля. Решения являются траекториями в МСП, которые неявно зависят от времени.

Полученные решения сопоставлены с волновымипакетами в квантовой теории.• Построена интегрируемая модель с несколькими скалярными полями, при помощи специальной кинетической матрицы, котораяобеспечивает возможность разделения переменных. Для этой модели получены решения уравнения Уилера-ДеВитта в терминахспециальных функций.• Для описания периода эволюции Вселенной с индексом уравнениясостояния меньше -1, применена идея PT-симметрии: рассмотренаквантовая геометродинамика с двумя типами скалярных полей, одно – типа квинтэссенции, другое – типа РТома. Показано, что дляпериодических граничных условий, спектр энергий вещественный.Степень достоверности и апробация результатов. Результаты,изложенные в диссертации, опубликованы в 2 печатных работах из списка ВАК, докладывались и обсуждались на 4 международных конференциях:Публикации:1. Andrianov A.

A., Novikov O. O., Lan Chen. Quantum cosmology ofmulti field scalar matter: Some exact solutions[J]. Theoretical andMathematical Physics, 2015, 184(3): 1224-1233.Theoretical and Mathematical Physics, 2015, 184(3): 1224-1233.2. Andrianov A.

A., Lan Chen, Novikov O. O.. PT-Symmetric Classicaland Quantum Cosmology// In: Non-Hermitian Hamiltonians in QuantumPhysics. Springer Proceedings in Physics 184, 2016: 29-44.Springer Proceedings in Physics 184, 2016: 29-44.Доклады на конференциях:1. 2016. �QUARKS-2016�. 19th International Seminar on High EnergyPhysics.

(Dropbox link): PDF talk2. 2015. 15th International Workshop on Pseudo-Hermitian Hamiltoniansin Quantum Physics. (PHHQP’15): PDF talk83. 2015. 5th International Conference ”Models in Quantum Field Theory”,dedicated to Alexander Nikolaevich Vasiliev. (MQFT-2015): Timetable4. 2014.

International Conference dedicated to the Yu.V. Novozhilov’s90-th anniversary. In Search of Fundamental Symmetries.(Novozhilov-90): PDF talkЛичный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают вклад автора в опубликованныеработы. Подготовка к публикации полученных результатов проводиласьсовместно с соавторами. Все представленные в диссертации результатыполучены авторам самостоятельно.Структура и объем диссертации.

Диссертация включает в себявведение, 4 главы основного текста, заключение и приложение. Объемдиссертации составляет 81 страниц, включая 26 рисунок. Список литературы содержит 52 источник.9Глава 1Геометродинамика и неэрмитова теорияЦелью данной диссертации является изучение квантовой космологии снесколькими скалярными полями и её расширение в РТ-симметричнойтеории.Квантование здесь проводится в рамках геометродинамики ДжонаУилера, т.е.

каноническим методом, в котором построен гамильтониандо квантования. Как динамика частиц действует в области четырехмерного пространства-времени, так и геометродинамика действует в суперпространстве трехмерных метрик, см. Рис. (1.1).Квантовая геометродинамика является невозмущенной теорией, отличающейся от теории возмущений и теории струны.

Кроме того, поскольку физическими объектами этой теорий являются трехмерные геометрии, представляющиеся метриками hij 3-мерных гиперповерхностей,поэтому она отличается от петлевой квантовой гравитации, в которойканоническими переменными являются голономии , см. Рис.(1).Рис.

1.1: 3-мерные геометрии в суперпростантве [23]101.1Теория относительности как калибровочная теорияГравитационная система является калибровочной теорией, в которой существует феномен нулевого гамильтониана, см. напр. [27,29]. Суть этогоявления заключается в том, что в гравитационной системе существуетнединамическая симметрия, называемая инвариантностью относительно диффеоморфизмов, т.е., действие системыZp1S=dx4g R+ surface term2{Z(1.1)4p+ dxg LMне меняется при преобразованиях диффеоморфизмов. Нединамическаясимметрия по сравнению с динамической симметрией, которая приводитк инвариантной величине, дает нам лишь тождество.

Чтобы понять этоутверждение, рассмотрим инфинитезимальное преобразование диффеоморфизмаg µ ! g µ⌫ + £⇠ g µ⌫(1.2)где £⇠ g µ⌫ – производная Ли метрики по направлению векторного поля⇠, при этом преобразовании инвариантность действия приводит к тождеству Бьянкиrµ Gµ⌫ = 0(1.3)В АДМ (Арновитт-Дезер-Мизнер)-формализме, это эквивалентно однойсвязи в форме гамильтониана (1.12) и трем связям в форме импульса(1.13). Такое явление встречается уже в классической механике [12, 45].Когда системаZS = dt L(q, q̇)(1.4)инвариантна относительно перепараметризации времени t ! t + "(t),тогда из вариации действия✓◆Zt1@L µ0 = S = L"m dtẋL "˙(1.5)t0@ ẋµполучается, что полный гамильтониан равен нулю.H=@L µẋ@ ẋµ11L=0(1.6)Слагаемое на поверхности в действии (1.1) носит название член ГиббонсаХокинга-Йорка.

Оно необходимо, поскольку предположение g µ⌫ = 0 наповерхности недостаточно, чтобы уничтожить поверхностный вклад, т.к.в него входит не только g µ⌫ , но и (@ g µ⌫ )I1Sst =dg ↵g⌫g ⌫ g ↵ r⌫ g ↵(1.7)2{ @где⇢↵⌫r⌫ g ↵ = @ ⌫ g ↵g⇢⇢⌫g↵⇢(1.8)Добавка поверхностного слагаемого сокращает эту часть и обеспечиваеткорректную вариационную задачу.1.2Геометродинамика, АДМ-формализмГеометродинамика изучает динамику 3-мерных геометрий в конфигурационном пространстве, которые образуют суперпространство [11, 12, 14–21,39].

Чтобы выделить 3-геометрии из 4-мерного пространства в рамкахтеории относительности, нужно сначала переписать теорию Эйнштейнав так называемым АДМ-формализме, т.е. расслоить пространство-времяна совокупность пространственно-подобных 3-хмерных гиперповерхностей с t = const, см. Рис.(1.2).Рис. 1.2: АДМ-формализм [29]Формально, для этого нужно записать метрику в следующем видеds2 = N 2 dt2hij (dxi + N i dt)(dxj + N j dt)(1.9)где N – функция хода, тогда N dt является ходом собственного временимежду верхними и нижними гиперповерхности, N i – функция сдвига,она дает соответствие между двумя точками на гиперповерхностях, а hij12– трехмерная метрика. Таким образом, действие Эйнштейна-Гильбертапереписывается в видеZhp (3) i13abcdSEH =dt d x N G Kab Kcd + h R(1.10)2{Gabcd – метрика Де-Витта.

Альтернативно,Zh13SEH =dt d x pab ḣab N H?2{aN Hai(1.11)Из действия хорошо видно, что динамические переменные являются метриками 3хмерных геометрий и их сопряженными импульсами, а гамильтонианы H? и Ha являются связями,ph (3)H? = 2{Gabcd pab pcdR⇡0(1.12)2{Ha =2Db pba ⇡ 0(1.13)Практически, когда мы проквантуем эту систему в каноническомформализме, мы получим бесконечномерные уравнения из-за того, чтометрика, вообще говоря, имеет разные величины в разных точках пространства. Поэтому решать квантовые уравнения, т.е."#p ⇣⌘2h (3)Ĥ? =2{~2 GabcdR=0(1.14)hab hcd2{~=0(1.15)i hbcреально невозможно, потому что вышеприведенные функциональныеуравнения - бесконечномерные.Здесь, первое уравнение Eq.(1.14) называется уравнением УилераДеВитта, второе Eq.(1.15) называется связью квантового импульса илисвязью диффеоморфизма, которая гарантирует, что волновой функционал инвариантен относительно 3хмерного координатного преобразования.Ĥa1.3=2Da hacПервичное квантование континуальнойсистемыТрудности мы уже встречаем при квантовании континуальнной системы[52].

Давайте рассмотрим такой пример, первичное квантование скаляр13ного поля. Гамильтонианом системы является✓◆Z1 2 132H = dx⇡ + (r ) + V ( )22(1.16)затем превратим все переменные в операторы, которые образуют некоторую алгебраическую структуру, и эти операторы имеют дифференциальное представление⇡ˆ (x) !i(x) ,ˆ(x) ! (x)(1.17)Однако, если используем эти операторы для построения уравнения Шредингера, получим бесконечномерное (функциональное) дифференциальное уравнение, потому что - функция, зависящая от координат, т.е. вкаждой точке мы имеем одну динамическую переменную, и, вообще говоря, значения поля - разные в разных пространственных точках.

Такимобразом, конфигурационное пространство континуальной системы является бесконечномерным. Кроме того, с (r )2 как потенциалом нелегкоразбираться. Все это определяет вторичное квантование.Это то, что случается, когда квантуем гравитационую систему по схеме канонического квантования, потому что метрики как динамическиепеременные являются континуальными относительно x. Однако, нарядус вторичным квантованием, развивалась и другая, упрощенная схема,которая известна как приближение минисуперпространства. В соответствии с этим подходом, мы не квантуем на всем конфигурационном пространстве, но на его части при наложении некоторой симметрии.

Дляскалярного поля, мы реализуем приближение минисуперпространства,предполагая, что поле является пространственно однородным, тогда гамильтониан упрощается1(1.18)H = ⇡2 + V ( )2Самое важное, что теперь размерность конфигурационного пространства оказывается конечной. Тогда уравнение Шредингера становится1 2@ +V( ) ( )= 2 ( )(1.19)21.4Приближение минисуперпространстваВ космологии подробную идею реализуют, налагая требование наибольшей симметричности метрики, однородности и изотропности распреде14ления материи, т.е.

метрика имеет видds2 = N 2 dt2ij a2(1.20)dxi dxjгде ij – метрика 3-сферы, 3-плоскости или 3-гиперболоида. a = exp(↵) –масштабный фактор, а поле – лишь функция времени. Тогда действиеВселенной с одним скалярным полем можно записать так,!Z2˙23↵˙1S = dt N e3↵+V( )(1.21){ N2 2 N2Используя канонические импульсы6 3↵ ↵˙e,{ Np↵ =p = e3↵˙N,pN = 0(1.22)построим гамильтонианH = Ne3↵✓{ 2 1 2p↵ + p + V ( )e6↵122◆=0(1.23)Чтобы проквантовать систему, превращаем импульсы в операторыp↵ !p !i~@↵ ,(1.24)i~@и тогда получим уравнение Уилера–ДеВитта✓ 2◆{~ 2 ~2 2@↵@ + V ( )e6↵(↵, ) = 0122(1.25)Для произвольного потенциала, это уравнение не всегда интегрируемо,поэтому, как пример, мы рассмотрим разложение потенциала в окрестности заданной классической конфигурации 0V ( ) ⇠ V0 + V1 (0)+ V2 (0)2+ ...так что уравнение сокращается до✓ 2◆{~ 2 ~2 26↵@@ + V0 e(↵, ) = 012 ↵2(1.26)(1.27)затем подставим следующий анзацi(↵, ) = e ~15pf (↵)(1.28)получим{~2 00f (↵) +12✓◆p2+ V0 e6↵ f (↵) = 02Для V0 < 0, мы имеем следующую комбинацию решений!!rr2 V0 3↵2 V0 3↵f (↵) = c1 Ki⌫e+ c2 Ii⌫e~ 3{~ 3{где(1.29)(1.30)r2 |p |(1.31)3{ ~Учитывая граничное условие ограниченности волновой функции при↵ ! ±1, уберем одно из них, и построим полное решение, используяформу волнового пакета!rZi2V0 3↵(↵, ) = dp A(p )e ~ p Ki⌫e.(1.32)~ 3{⌫=1.5РТ-симметричная квантовая механикаРТ-симметричная квантовая механика является обобщением эрмитовойквантовой теории.