Диссертация (Квантовоэлектродинамические и корреляционные поправки к энергии основного состояния бериллиеподобных ионов), страница 7

Кроме того, как уже упоминалось ранее, в двухэлектронных поправкахсуммы по проекциям взяты без учета принципа Паули. Чтобы получить конечный ответ для вклада “вершинной” диаграммы (1.110) необходимо дваждыучесть прямой вклад для (a, b) = (v, w), (w, v) и добавить удвоенный обмен-— 48 —ный вклад, после чего при необходимости провести усреднение по магнитнымквантовым числам.Первым делом рассмотрим угловое интегрирование в прямом вкладе. Векторная часть оператора Γ в (2.14) после суммирования по проекциям даст ноль.Поэтому прямой вклад в значительной мере схож с 1-потенциальным вкладомодноэлектронной собственной энергии. В некотором смысле, роль потенциала Vздесь играет сферически-симметричный потенциал, создаваемый вторым электроном.

Приведем выражение для прямой части поправки (1.110):Z ∞ Z ∞ Z 1pp′2p2α2′(0),dirdpdξ 2dp∆Ever=(2ja + 1) 2jb + 12(2π)6q0−10on1,bbaa′aa′×R0 (q) F1 (p, p , ξ)Pla (ξ) + F2 (p, p , ξ)Pl̄a (ξ) , (2.24)здесь введено обозначениеRl1,ab (q)= 4πZ∞dz z 2 jl (qz)[gbga + fb fa ]Gl (κb , κa ).(2.25)0Прямой вклад совпадает в фейнмановской и кулоновской калибровках.Перейдем теперь к обменному вкладу. Используя технику биполярных сферических гармоник (см., например, [82]), в фейнмановской калибровке для обменного вклада можно получить:Z ∞Z ∞Z 1 p2(2ja + 1)(2jb + 1)αla −lb2′ ′2(0),excidppdppdξ∆Ever= −(2π)5q 2 − ∆2ab − i00−1 0rlXp2l + 1 X l  X1−lja + 21 1 1,ablc2lc + 1Plc (ξ) i(−1)×clx lyR (q)(−1)4πi lllx ly lc l la lb  l ¯la ¯lb Bllxcllcy0l,lalb l + F2abBllxc llcy0l,l̄a l̄b l ×  F1ab1 j j 1 j j 2ba2ba√ X2,ab(2J + 1)RJl(q){l1J}− 6J— 49 —JjjJjjbaball0l l 0abl̄labc cb¯¯× R1l lb la (−1) b Blxc lcy l,l̄alb l l lb la (−1) Blxly l,la¯lb l + R21 1 1 1 1 1 2222XXp√lc 1 ld12,ab−(−1)ja+ 2(−1)J 2J + 1RJl(2lc + 1)(2ld + 1) (q){l1J}0 0 0Jlc ldhiJ la lb lc ld 1ab′ ab×  pR3 Pld (ξ) + p R4 Plc (ξ) Blx ly l,la lb J1 j j 2ba J ¯la ¯lb   hilc ld 1ab′ ab+ pR5 Pld (ξ) + p R6 Plc (ξ) Blxly l,l̄a¯lb J,1 j j  ba2(2.26)где использованы следующие обозначенияZ ∞2,abRJl (q) = 4πdz z 2 jl (qz) gb fa HlJ (κb , −κa) − fb ga HlJ (−κb , κa ) .

(2.27)0 ′1/2′′′′′′′′(2l+1)(2l+1)(2l+1)(2l+1)(2L+1)(2L+1)1212Bll′1ll′2LL′,l′′ l′′ L′′ =21 21 2(4π)′′′l l l 1 1 1l2 0l1 0(2.28)×Cl′ 0,l′′0 Cl′ 0,l′′0 l2′ l2′′ l2 ,22 11L′ L′′ L1/2 l1 ′ l24π(2L + 1)!p (p )Lcl1 l2 =(−1)l2 .(2.29)L(2l1 + 1)!(2l2 + 1)!qВ кулоновской калибровке данная поправка выглядит следующим образом.В формуле (2.26) во вкладе от скалярной части вершинного оператора Γ0 (слагаемые с функциями F1ab и F2ab ) величину ∆ab необходимо приравнять нулю.В векторной части (1.113) поперечный проектор можно разбить на два слагаемых. Символ Кронекера приводит в точности к такому же вкладу, как и вслучае фейнмановской калибровки.

Таким образом, остается только рассмот-— 50 —реть добавку от −qk qn /q2:Z 1 pZ ∞Z ∞12(2ja + 1)(2jb + 1) (−1)ja+ 2α′ ′22la −lb(0),Couldξdp pdp pi∆Ever= −(2π)5q 2 − ∆2ab − i0q−100rJXX√2l + 12,ab1−lJ0l+1i×2l + 1Cl010RJl (q)cJlx ly(−1)4πJllx lyXp  J la lb  l l 0labc c(−1)c 2lc + 1Plc (ξ) ×Blx ly J,lalb J p′ Rab1 − pR21 j j lcba2 J ¯la ¯lb lc lc 02′ab′′2ab+(p − pp ξ)R3 + (pp ξ − p )R4 +Blxly J,l̄a l̄b J − pRab11 j j ba2′ ab2′ab′′2ab +p R2 + (p − pp ξ)R5 + (pp ξ − p )R6  . (2.30)Перейдем теперь к обсуждению вкладов, вычисляемых в координатном пред-ставлении.

Главная трудность заключается в вычислении интеграла по энергииω виртуального фотона. При больших вещественных значениях ω выражение(2.2) быстро осциллирует. Для того чтобы избежать данные осцилляции, можно совершить виков поворот контура интегрирования в комплексную плоскость.При этом необходимо очень аккуратно следить за аналитической структуройподинтегральных выражений. Помимо энергетических знаменателей, которымотвечают полюса над или под вещественной осью, следует также иметь в видуразрезы, соответствующие фотонным пропагаторам.

Данные разрезы соединяют различные листы римановой поверхности. При повороте контура интегрирования, контур может “зацепляться” за полюса, что приводит к необходимостивычислять вычеты в соответствующих точках.На Рис. 9-12 в качестве примера изображены полюса и разрезы подинтегральных выражений различных неприводимых вкладов в двухэлектроннуюпоправку на двухфотонный обмен (1.44) и повернутые контуры интегрирова-— 51 —ния, используемые в данной работе. Здесь, для общности, рассмотрены болеесложные ситуации, чем это необходимо при исследовании основного состояниябериллиеподобных ионов. По сравнению с литиеподобными ионами главное отличие заключается в том, что оба электрона в формуле (1.44) могут отличаться от основного состояния 1s. Аналогичная ситуация, в принципе, возникалапри исследовании энергий перехода 1s2 2s22p3/2 − 1s2 2s22p1/2 в бороподобныхионах [30,31].

Полностью новое явление заключается в расчете взаимодействиятождественных электронов, находящихся выше основного состояния, например,взаимодействие внутри 2s2-оболочки. Как видно из Рис. 10(b) в этом случаевозникает дополнительный полюс второго порядка, заметаемый контуром интегрирования при виковом повороте. Сходная ситуация имеет место и при рассмотрении вкладов экранированной собственной энергии.При расчете обменных вкладов в поправке на двухфотонный обмен, контур интегрирования обязательно должен пройти через два “перешейка”, соответствующих двум фотонным пропагаторам, см.

Рис. 11 и Рис. 12. При этомна участке между двумя перешейками может встретиться полюс. Присутствиеэтого полюса значительно усложняет интегрирование по данному отрезку, еслиего проводить вдоль вещественной оси [27, 83]. В связи с этим, в данной работе контур интегрирования был сдвинут в комплексную плоскость так, как этопоказано на рисунках. Кроме того был рассмотрен контур, вообще не пересекающий вещественную ось на отрезке между двумя “перешейками”.

Результатырасчетов для произвольных состояний в обоих случаях оказались стабильнымии находились в прекрасном согласии друг с другом. В итоге предпочтение былоотдано контуру, представленному здесь, как наиболее симметричному.После учета всех вычетов и полувычетов остается, как правило, вычислитьинтеграл вдоль мнимой оси в смысле главного значения, см., например, Рис. 9или Рис.

10. Подинтегральная функция содержит энергетические знаменате-— 52 —Рис. 9: Полюса и разрезы подинтегрального выражения и контур интегрирования в прямом“лестничном” вкладе.(a)(b)Рис. 10: Полюса и разрезы подинтегрального выражения и контур интегрирования в прямом“кросс” вкладе. Рис. (a) — электроны v и w в (1.44) с разных электронных оболочек, Рис.

(b)— случай тождественных электронов.Рис. 11: Полюса и разрезы подинтеграль-Рис. 12: Полюса и разрезы подинтеграль-ного выражения и контур интегрирования вного выражения и контур интегрирования вобменном “лестничном” вкладе.обменном “кросс” вкладе.— 53 —ли, поэтому если соответствующие полюса располагаются вблизи точки ω = 0,то прямое вычисление интеграла становится более сложной задачей. Обсудимвопрос о вычислении данного интеграла на примере многопотенциального вклада собственно-энергетической поправки. Этот пример позволяет уловить общиезакономерности применяемой процедуры.Вклад от отдельного состояния на внутренней электронной линии можносхематично записать в видеZ i∞Z i∞iiF (ω)F (ω)∆En =p.v.= − p.v..dωdω2πε − ω − εn2πω − ∆n−i∞−i∞(2.31)Для улучшения сходимости делается следующий трюк: на отрезке [−iω0, iω0],где по порядку величины ω0 ∼ αZ, производится подстановкаF (ω) = [F (ω) − F (0)] + F (0).(2.32)Выражение в квадратных скобках стремится к нулю вместе со своей производной по мере приближения к точке ω = 0.

Вклад от данного выражения удобносчитать численно. Вклад от добавки F (0) в (2.32) можно вычислить аналитически:arctg(ω0/|∆n|)F (0), ∆n < 0Z iω0πiF (0)∆En0 = − p.v.=dω0,∆n = 0 (2.33)2πω − ∆n −iω0 − arctg(ω0/∆n) F (0), ∆n > 0πТаким образом, выражение (2.31) окончательно можно переписать в видеZ −iω0 Z i∞ iF (ω)∆En = −dω+2πω − ∆n−i∞iω0Z i∞iF (ω) − F (0)− p.v.+ ∆En0 .(2.34)dω2πω − ∆n−i∞Здесь все вклады по отдельности ведут себя регулярно.Выполнив аналитические преобразования над полученными ранее формальными выражениями, мы теперь готовы применять их к расчетам уровней энергии в многозарядных ионах.— 54 —2.2Выбор экранирующего потенциалаКак было указано в первом параграфе главы 1, применение расширенного представления Фарри позволяет ускорить сходимость рядов теории возмущений.Кроме того в некоторых случаях, добавляя экранирующий потенциал к гамильтониану нулевого приближения, возможно снять вырождение между близкимиуровнями с одинаковой четностью.

Однако, какой эффективный потенциал является наилучшим для данной конкретной системы, априори не известно. Дляоценки погрешности следует проводить расчеты с разными типами экранирующего потенциала и сравнивать получающиеся конечные результаты.В данном параграфе мы обсудим выбор экранирующих потенциалов, которые применялись в расчетах энергий связи и потенциалов ионизации основногосостояния бериллиеподобных ионов.

При исследовании энергии связи основного состояния были использованы три разных экранирующих потенциала. Послеэтого более основательно были исследованы потенциалы ионизации 2s электрона из состояния 1s22s2 . При этом к расчетам были подключены еще четыредругих потенциала, так что их общее количество в этом случае равнялось семи.Ниже кратко охарактеризуем все применявшиеся потенциалы.Как уже было отмечено выше, все используемые эффективные потенциалы являются сферически-симметричными по построению. Наиболее простымвыбором является потенциал кор-Хартри (CH), создаваемый замкнутой оболочкой 1s2.