Диссертация (Квантовоэлектродинамические и корреляционные поправки к энергии основного состояния бериллиеподобных ионов), страница 5

Рассмотрим сперва ситуацию, когда εv = εw . В обменном вкладе возникает матричный элементвида Iwnnv . Так как оператор I сохраняет сумму проекций угловых моментов,для того чтобы данный матричный элемент был отличен от нуля, необходимо,чтобы выполнялось условие µv = µw (более того, можно показать, что оператор собственной энергии Σ сохраняет релятивистское квантовое число κ).

Таким образом, у одноэлектронных состояний v и w равны и энергии, и проекциимоментов. Мы развиваем здесь теорию возмущений для одиночных уровней, поэтому предполагаем, что не существует вырождения, а значит, принцип Паулизапрещает наличие двух таких состояний v и w.Остается рассмотреть случай разных энергий: εv 6= εw . Функция Грина дляобменного вклада имеет вид 3 ZX Iwn n v (ω1)Ivn2n2 w (ω2)i1 1(2)dω1dω2 dp(E) =∆gexc2πp − ω1 − uεn1 E − p − ω2 − uεn2n n1 211. (1.62)×(p − εv + i0)(E − p − εw + i0) (p − εw + i0)(E − p − εv + i0)— 33 —Вводя ненулевую массу фотона и вычисляя в (1.62) интеграл по p, аналогичнотому, как это было сделано в (1.57), можно легко показать, что полюс второгопорядка по ∆E в данном выражении не возникает.

Следовательно, подставляяданное выражение в формулу (1.17), убеждаемся, что соответствующий вкладобращается в ноль. Таким образом, вклад диаграммы на Рис. 6 полностью сокращается.На этом закончим обсуждение процедуры получения формальных выражения для учета радиационных и корреляционных поправок. В следующем параграфе будет обсуждаться вопрос об устранении расходимостей в полученныхвыражениях.1.4Устранение расходимостей в формальныхвыраженияхВыражения, получаемые в рамках метода двухвременной функции Грина, являются формальными, в том смысле, что они могут содержать ультрафиолетовые (УФ) и/или инфракрасные (ИК) расходимости.

Инфракрасные расходимости появляются, когда в выражении видаh..|I(ω)|..i(εv − ω − uεn1 )(εw − ω − uεn2 )(1.63)оба полюса оказываются в точке ω = 0. Введение ненулевой массы фотонапозволяет регуляризовать каждое такое слагаемое в отдельности. После этого всегда можно сгруппировать инфракрасно расходящиеся слагаемые такимобразом, чтобы их сумма была конечной.С устранением ультрафиолетовых расходимостей связаны главные успехиквантовой электродинамики. Рассмотрим процедуру перенормировки на примере собственноэнергетических поправок.

Первым делом обсудим перенормировку одноэлектронного вклада собственной энергии (1.24). Для общности будем— 34 —+=+Рис. 7: Разложение собственно-энергетической поправки на 0-, 1- и много- потенциальныевкладыработать с недиагональным матричным элементом собственноэнергетическогооператора hv|Σ(εse)|wi.В данной работе мы придерживаемся схемы ренормировки, предложеннойСнайдерманом [77], с учетом модификаций, рассмотренных в [78]. Главная идеяданного подхода заключается в разложении электронного пропагатора по степеням потенциала V , в котором распространяется электрон (см.

Рис 7):(0)(1)(2+)∆ESE = ∆ESE + ∆ESE + ∆ESE .(1.64)УФ-расходимости содержатся только в первом и втором слагаемых в (1.64), этичлены принято называть 0- и 1-потенциальными вкладами, они вычисляются вимпульсном представленииZ 3dp(0)(0)∆ESE =ψ̄v (p) Σ (p) − δm ψw (p),(2π)3Z 3d p d3 p ′(1)∆ESE =ψ̄v (p)Γ0(p, p′)V (|p′ − p|)ψw (p′),33(2π) (2π)(1.65)(1.66)где p = (p0, p) обозначает 4-вектор, p0 = p′0 = εse , ψ(p) — волновая функция в импульсном представлении, V (|q|) — Фурье образ от потенциала, Σ(0)представляет собой собственно-энергетический оператор свободного электронаZ 4pdk 1/ − k/ + m σ(0)Σ (p) = −4πiαγγ ,(1.67)σ(2π)4 k2 (p − k)2 − m2а Γ0 — временная компонента вершинного оператора для свободного электрона:Z 4/+m µ ppdk 1/−k/′ − k/ + m σµ′γσγγ .

(1.68)Γ (p, p ) = −4πiα(2π)4 k2 (p − k)2 − m2 (p′ − k)2 − m2— 35 —Здесь использовано выражение для фотонного пропагатора в фейнмановскойкалибровке.(2+)Многопотенциальный член ∆ESEУФ конечен, его удобно рассчитывать вкоординатном представлении. Для данного вклада можно записать следующеевыражение [79, 80].(2+)∆ESEi=2πZ∞dω−∞X hvñ|I(ω)|ñwi|ñi =εse − ω − uεnnX |f ihf |V |nifεse − ω − εf,(1.69),(1.70)где индекс n пробегает по спектру уравнения Дирака в потенциале V , а индексf — по спектру свободных состояний.Для регуляризации выражений (1.67) и (1.68) удобно использовать методразмерной регуляризацииdD kd4 k→,(2π)4(2π)D(1.71)отступая от логарифмической размерности на малую величину: D = 4 − ǫ.Данная процедура позволяет выделить ультрафиолетовые расходимости в 0- и1-потенциальных вкладах:α(0)∆ǫ (p/ − m) + ΣR (p),4παΓµ (p, p′) =∆ǫ γ µ + ΓµR (p, p′),4π2∆ǫ = − γE + ln 4π − ln m2 ,ǫΣ(0)(p) = δm −(1.72)(1.73)(1.74)где γE — постоянная Эйлера.Применяя уравнение Дирака, записанное в импульсном представлении,Z 3 ′dp0(/p − m)ψ(p) = γV (|p − p′ |)ψ(p′),(1.75)3(2π)можно увидеть, что вклады с ∆ǫ из (1.72) и (1.73) взаимно сокращаются в(0)(1)сумме ∆ESE +∆ESE .

В результате мы получаем следующие перенормированные— 36 —выражения для 0- и 1- потенциальных вкладов [78]Z 3dp(0)(0)ψ̄v (p)ΣR (p)ψw (p),∆ESE =3(2π)Z 3d p d3 p ′(1)∆ESE =ψ̄v (p)Γ0R(p, p′)V (|p′ − p|)ψw (p′).33(2π) (2π)(1.76)(1.77)При этом выражение для перенормированного собственно-энергетического оператора имеет вид2−ρ2ρρα(0)ln ρ − pln ρ , (1.78)2m 1 +1+ΣR (p) =/4π1−ρ1−ρ1−ρгде ρ = 1 − p2 /m2, а перенормированная вершинная функция записываетсяследующим образом:ΓµR (p, p′) =αµ′µ′µ′µ{Aγ µ + p/(B1p + B2 p ) + p/ (C1p + C2 p )4πµ ′µ′µ+D(p/γ p/ ) + H1 p + H2 p },(1.79)A = C24 − 2 + p2 C11 + p′2 C12 + 4(p · p′ )(C0 + C11 + C12)+m2 (−2C0 + C11 + C12),B1 = −4(C11 + C21),(1.81)B2 = −4(C0 + C11 + C12 + C23),(1.82)C1 = −4(C0 + C11 + C12 + C23),(1.83)C2 = −4(C12 + C22),(1.84)D = 2(C0 + C11 + C12),(1.85)H1 = 4m(C0 + 2C11),H2 = 4m(C0 + 2C12),Z 1dy(− ln X),C0 =′ 20 (yp + (1 − y)p )Z 1yCdy (1 − Y ln X), 11  =′ )2(yp+(1−y)p01−yC12(1.80)(1.86)(1.87)(1.88)(1.89)— 37 —(a)(b)Рис.

8: Диаграммы экранированой собственной энергииC 21 C23C232yZ 1dy (1 − y)2 =′20 (yp + (1 − y)p ) y(1 − y)C24 = −Z01 1 × − + Y − Y 2 ln X ,2dy ln(y 2q2 /m2 − yq2 /m2 + 1),1,Ym2 − yp2 − (1 − y)p′2Y =,(yp + (1 − y)p′ )2X = 1+(1.90)(1.91)(1.92)(1.93)и q = p − p′ .Рассмотрим кратко сокращение ультрафиолетовых расходимостей в двухэлектронных собственно-энергетических поправках, см. Рис.

8. Приведем сперва для этих поправок формальные выражения [81], которые можно легко получить, применяя метод двухвременной функции Грина. Как и в случае двухэлектронных корелляционных вкладов, при рассмотрении данных поправок к— 38 —основному состоянию бериллиеподобных ионов, их необходимо учесть для всехвозможных пар электронов.Вклад диаграмм (a) на Рис. 8 удобно разделить на приводимую и неприводимую части аналогично тому, как это было сделано для диаграмм двухфотонногообмена.

Вклад неприводимой части может быть записан следующим образом:ScrSE∆Eirr= 2{hv|Σ(εv )|ξv i + hw|Σ(εw )|ξw i},(1.94)где введены обозначения|ni X(−1)P hP vP w|I(∆)|nwi,εv − εnPεn 6=εvX |ni X|ξw i =(−1)P hP vP w|I(∆)|vni,εw − εnX|ξv i =εn 6=εw(1.95)(1.96)Pи ∆ = εP v − εv . Таким образом, неприводимая часть двухэлектроннойсобственно-энергетической поправки выражается через недиагональный матричный элемент оператора Σ, и процедура устранения УФ-расходимостей вэтом вкладе полностью аналогична одноэлектронному случаю.Далее обратимся к приводимой части.

Этот вклад традиционно рассматривают вместе с вкладом от вычитания в формуле (1.17) и представляют в видесуммы двух слагаемых:ScrSEAB∆Ered= ∆Ered+ ∆Ered,(1.97)A∆Ered= hwv|I ′ (∆)|vwi[hv|Σ(εv )|vi − hw|Σ(εw )|wi],(1.98)XB∆Ered =(−1)P hP vP w|I(∆)|vwi[hv|Σ′ (εv )|vi + hw|Σ′ (εw )|wi]. (1.99)PЧасть A приводимого вклада (1.98) имеет вид обычной собственноэнергетической поправки, ее можно рассматривать вместе с неприводимымвкладом. В части B (1.99) производная по энергии от оператора Σ дает квадрат энергетического знаменателя, что приводит к появлению ИК расходимости.Кроме того, данный вклад УФ расходится.

Для того чтобы устранить оба типа— 39 —расходимостей, выражение (1.99) необходимо рассматривать вместе с вкладомдиаграмм (b) на Рис. 8. Данные диаграммы называют “вершинными”, и применение метода двухвременной функции Грина позволяет написать для нихследующее выражение∆EverX i Zhn1 P w|I(∆)|n2 wihP vn2 |I(ω)|n1vidω(−1)=2π(εP v − ω − uεn1 )(εv − ω − uεn2 )n1 n2PhP vn1 |I(∆)|vn2ihP wn2 |I(ω)|n1 wi+.(1.100)(εP w − ω − uεn1 )(εw − ω − uεn2 )XPДля того чтобы сократить УФ расходимости в (1.99) и (1.100), необходимо вэтих выражениях провести разложение по степеням потенциала V и выделитьвклады свободных пропагаторовB(0)many∆Ever + ∆Ered= ∆Evr+ ∆Evr,B(0)(0)(0)∆Evr= ∆Ever+ ∆Ered ,B,manymanymany∆Evr= ∆Ever+ ∆Ered.(1.101)(1.102)(1.103)Как и в случае простой одноэлектронной собственно-энергетической поправки,(0)B(0)УФ расходящиеся вклады ∆Ever и ∆Ered удобно рассмотреть в импульсномпредставлении, используя размерную регуляризацию.