Диссертация (Квантовоэлектродинамические и корреляционные поправки к энергии основного состояния бериллиеподобных ионов), страница 2

Некоторые из этих работвключают радиационные поправки и поправки на отдачу ядра. Однако, какправило, учтены только одноэлектронные КЭД эффекты. МногоэлектронныеКЭД эффекты рассматриваются либо полуэмпирически, либо в рамках какихлибо одноэлектронных приближений. При этом отмечается необходимость более строгого КЭД рассмотрения для улучшения точности получаемых теоретических предсказаний [42]. В связи с этим, главная цель данной работы заключается в выполнении высокоточного расчета энергий основного состояния—9—бериллиеподобных ионов с учетом всех необходимых КЭД вкладов и поправокна корреляционное взаимодействие.В диссертации использована релятивистская система единиц (~ = m = c =1) и хевисайдовы единицы заряда (α = e2 /(4π), e < 0).

Греческие индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3, латинские — 1, 2, 3; по повторяющимся значкам подразумевается суммирование. Метрика пространства: g µν = diag(1, −1, −1, −1).Для 4-векторов использовано обозначение pµ = (p0, p). Также применяютсяследующие обозначения: /p ≡ γ µpµ , γ µ = (β, βα) — матрицы Дирака.1.1Релятивистское одноэлектронное приближениеВ многозарядных ионах на каждый электрон действует сильное электрическоеполе со стороны ядра. Поскольку число электронов N в таких системах значительно меньше, чем заряд ядра Z, взаимодействие типа “электрон–электрон”подавлено фактором 1/Z по сравнению со взаимодействием “электрон–ядро”.Взаимодействие электрона с квантованным электромагнитным полем, в своюочередь, подавлено фактором α. В связи с этим, хорошим стартовым приближением для описания многозарядных ионов является так называемая картина Фарри [43]. В данном представлении в нулевом приближении полностьюпренебрегают взаимодействием электронов.

С другой стороны, взаимодействиеэлектронов с кулоновским полем ядра с самого начала учитывается во всех порядках по αZ. Межэлектронное взаимодействие и КЭД эффекты необходиморассматривать по теории возмущений.Уравнение Дирака для электрона в классическом электромагнитном поле Aµимеет вид [44, 45][γ µ(∂µ − eAµ (x)) − m] ψ(x) = 0.(1.1)Нас в дальнейшем будет интересовать только случай не зависящего от времени— 10 —потенциального электрического поля. Уравнение (1.1) для такого постоянногопотенциала Aµ (r) = (Vnucl (r), 0) можно свести к стационарному уравнению:hD ψ(r) = [−iα · ∇ + βm + Vnucl (r)] ψ(r) = εψ(r).(1.2)Более того, эффектами, связанными с поляризацией и деформацией ядра, внулевом приближении можно пренебречь, а соответствующие поправки учестьна конечной стадии расчетов [46–51].

Таким образом, в уравнении (1.2) ограничимся случаем сферически-симметричного потенциала Vnucl (r). В этом случаеможно явно разделить радиальную и угловую зависимости волновой функции:g(r)Ωκm(n̂).(1.3)ψ(r) = if (r)Ω−κm(n̂)Здесь n̂ = r/r, Ωκm — сферический спинор, κ — релятивистское кванто-вое число, характеризующее полный угловой момент и четность состояния(j = |κ| − 1/2, l = |κ + 1/2| − 1/2), m — проекция полного углового момента j. Разделяя переменные в уравнении (1.2), приходим к следующей системедифференциальных уравнений на радиальные волновые функции g и f :−κ−1df (r) +f (r) + (Vnucl (r) + m)g(r) = εg(r),drrdκ+1g(r) +g(r) + (Vnucl (r) − m)f (r) = εf (r).drr(1.4)(1.5)Естественно, что подобный подход работает хорошо, только когда межэлектронное взаимодействие мало по сравнению с энергиями связи всех электроновсистемы. В противном случае сходимость рядов теории возмущений зачастуюоказывается очень медленной.

Существует возможность ускорить сходимостьтеории возмущений путем перехода к так называемому расширенному представлению Фарри. Данная процедура подразумевает замену потенциала ядра в(1.2) неким эффективным потенциалом:Vnucl (r) → Veff (r) = Vnucl (r) + Vscr (r).(1.6)— 11 —Локальный экранирующий потенциал Vscr (r) моделирует в уравнении (1.2)экранировку потенциала ядра остальными электронами системы, что позволяет уже в гамильтониане нулевого приближения частично учесть эффектымежэлектронного взаимодействия. Сразу следует отметить, что во избежаниедвукратного учета экранировочных эффектов, по теории возмущений необходимо учесть взаимодействие с потенциалом δV (r) = −Vscr(r).Кроме того, при проведении расчетов уровней энергии с использованием кулоновского поля в качестве потенциала нулевого приближения можно столкнуться с трудностью, связанной с квазивырожденностью некоторых близкихуровней c одинаковой четностью.

Например, основное состояние бериллиеподобных ионов 1s22s2 , которое является предметом настоящей диссертации, внулевом приближении в кулоновском потенциале квазивырождено с уровнем1s2(2p1/2)2 (в кулоновском потенциале точечного ядра энергии уровней 2s и2p1/2 в точности совпадают, при учете эффектов конечного размера ядра квазивырождение не снимается). Применение некоторых экранирующих потенциаловпозволяет снять вырождение, что значительно упрощает проведение расчетов.Как и потенциал, создаваемый ядром, эффективный потенциал в дальнейшем будет предполагаться сферически-симметричным. Конкретный выбор испособы построения экранирующих потенциалов будут обсуждаться ниже.

Расширенное представление Фарри успешно было применено ранее к КЭД расчетам уровней энергии [28–31, 52–55], сверхтонкого расщепления [56–61], и gфактора [62–64].1.2Метод двухвременной функции ГринаНа сегодняшний день существует целый ряд методов для получения формальных выражений для сдвигов энергии, вызванных взаимодействием электроновв связанных состояниях с квантованным электромагнитным полем.

Историче-— 12 —ски первым таким методом учета КЭД поправок к уровням энергии был методадиабатической S-матрицы, предложенный Гелл-Маном и Лоу [65] и Сьючером [66]. Данный метод подробно изложен, например, в [44, 67]. Нашел такжеширокое применение метод оператора эволюции, описание которого представлено, например, в [68,69]. В данной диссертации мы будем применять метод двухвременной функции Грина. Этот метод был разработан в серии работ [70–74] иподробно описан в обзорной статье [75].Рассмотрим ключевые положения метода двухвременной функции Грина.Предположим, что нас интересуют уровни энергии N -электронного атома илииона.

Исчерпывающая информация об уровнях энергии данной системы содержится в функции Грина с 2N хвостами:G(x′1, · · · , x′N ; x1, · · · , xN ) = h0|T ψ(x′1) · · · ψ(x′N )ψ̄(xN ) · · · ψ̄(x1)|0i,(1.7)здесь ψ(x) — оператор электрон-позитронного поля (в представлении Гейзенберга), T — оператор упорядочивания по времени.Извлекать данные о сдвиге энергии связанного состояния системы за счетвзаимодействия электронов друг с другом и с квантованным электромагнитным полем можно непосредственно из функции Грина (1.7). Однако, оказывается, что более удобным является сперва редуцировать функцию (1.7) до такназываемой двухвременной функции Грина:G̃(t′ , t) ≡ G(t′1 = t′2 = · · · = t′N ≡ t′ ; t1 = t2 = · · · = tN ≡ t).(1.8)Данный объект, так же как и функция (1.7), содержит полную информациюоб уровнях энергии, что можно увидеть, исследуя спектральное представлениефункции G̃.Введем Фурье преобразование двухвременной функции Грина (1.8):G(E; x′1, · · · , x′N ; x1, · · · , xN )δ(E − E ′ )— 13 —1 1=2πi N !Z∞−∞dx0dx′0 exp(iE ′x′0 − iEx0)× h0|T ψ(x′0, x′1) · · · ψ(x′0, x′N )ψ̄(x0, xN ) · · · ψ̄(x0, x1)|0i.

(1.9)Уравнение (1.9) определяет функцию G при вещественных значениях энергии E. Совершив аналитическое продолжение данной функции в комплекснуюплоскость, можно показать, что связанным состояниям системы из N электронов соответствуют изолированные полюса по E на положительной вещественной полуоси. Здесь предполагается, что введена малая ненулевая масса фотонаµ. В противном случае, разрезы, соответствующие состояниям, которые включают помимо электронов фотоны, будут вплотную подходить к полюсам, превращая их в точки ветвления (см. [75]).Рассмотрим сдвиг энергии ∆Ea одиночного (невырожденного) уровня a. Висследуемом нами случае основного состояния бериллиеподобных ионов волновая функция нулевого приближения имеет вид одного детерминанта Слейтера:1 X(−1)P ψP a1 (x1) · · · ψP aN (xN ),(1.10)ua (x1, · · · , xN ) = √N! Pздесь ψn являются решениями уравнения (1.2), P — оператор перестановки, (−1)P — четность перестановки.

Для состояния 1s22s2 имеем N = 4 и{a1, a2 , a3 , a4} = {1s↑, 1s↓, 2s↑, 2s↓}. Для вычисления потенциалов ионизациибериллиеподобных ионов, которые можно найти как разность энергий связибериллие- и литиеподобных ионов, нам также потребуется волновая функцияосновного состояния литиеподобных ионов: N = 3 и {a1 , a2, a3 } = {1s↑, 1s↓, 2s}.Следует отметить, что все формулы, получаемые в рамках метода двухвременной функции Грина, легко можно обобщить на случай состояний, описываемыхв нулевом приближении многодетерминантными волновыми функциями.Энергия состояния a в нулевом приближении дается суммой дираковскихэнергий εn , соответствующих одноэлектронным волновым функциям ψn :Ea(0) = εa1 + · · · + εaN .(1.11)— 14 —Введем функцию gaa (E)gaa (E) ≡ hua |G(E)γ10 · · · γN0 |ua iZ= dx1 · · · dxN dx′1 · · · dx′N u†a (x′1, · · · , x′N )× G(E, x′1, · · · , x′N ; x1, · · · , xN )γ10 · · · γN0 ua(x1, · · · , xN ).

(1.12)Тогда сдвиг энергии определяется выражением:I1dE (E − Ea(0) )∆gaa(E)2πi ΓI∆Ea =,11+dE ∆gaa (E)2πi Γ(1.13)(0)где ∆gaa = gaa − gaa , контур Γ ориентирован против часовой стрелки и охватывает полюс функции Грина, соответствующий рассматриваемому состоянию.Функция Грина (1.12) в нулевом приближении равна(0)gaa=1(0)E − Ea.(1.14)Функцию Грина ∆gaa можно вычислять по теории возмущений, малым параметром является постоянная тонкой структуры α. Диаграммная техника,необходимая для построения G̃, подробно изложена, например, в обзоре [75].В результате для сдвига энергии уровня a получаем:∆Ea = ∆Ea(1) + ∆Ea(2) + · · · ,(1.15)где для поправок первого и второго порядка справедливы следующие выражения:∆Ea(1)∆Ea(2)I1(1)dE (E − Ea(0) )∆gaa(E),(1.16)=2πi IΓ1(2)=dE (E − Ea(0) )∆gaa(E)2πi ΓII11(1)(1)dE (E − Ea(0) )∆gaa(E)dE ∆gaa(E) .(1.17)−2πi Γ2πi Γ— 15 —−Рис.

1: Диаграмма собственной энергии с массовым контрчленомПри выводе формул для сдвигов энергии оказывается удобным выразитьфункцию gaa (E) через Фурье преобразование от первоначальной 2N -временнойфункции Грина (1.7):Z ∞2π 1′0gaa (E)δ(E − E ) =dp01 · · · dp0N dp′01 · · · dpNi N ! −∞′0×δ(E − p01 − · · · − p0N )δ(E ′ − p′01 − · · · − pN )′000′00×hua |G(p′01 , · · · , pN ; p1 , · · · , pN )γ1 · · · γN |ua i, (1.18)000′00hua |G(p′01 , · · · , pN ; p1 , · · · , pN )γ1 · · · γN |ua iZ≡ dx1 · · · dxN dx′1 · · · dx′N u†a (x′1, · · · , x′N )00′0′′× G((p′01 , x1 ), · · · , (pN , xN ); (p1, x1 ), · · · , (pN , xN ))× γ10 · · · γN0 ua(x1, · · · , xN ).1.3(1.19)Вывод формул для КЭД поправокВ §1.2 было дано описание метода двухвременной функции Грина, применяякоторый можно достаточно легко получать формальные выражения для сдвигов уровней энергии в многозарядных ионах. Продемонстрируем возможностиданного метода на нескольких примерах.В первом порядке по α радиационные поправки к уровню энергии определяются диаграммами собственной энергии и вакуумной поляризации.