Диссертация (Квантовоэлектродинамические и корреляционные поправки к энергии основного состояния бериллиеподобных ионов), страница 4

Выражение из— 24 —первых больших круглых скобок, как будет показано ниже, сокращается, если рассматривать его вместе с приводимым вкладом от двухэлектронной частипоправки на двухфотонный обмен. Наконец, выражение из вторых круглых скобок вместе с частью (1.34) от трехэлектронного приводимого вклада сокращаетвклад несвязанных диаграмм двухфотонного обмена.Перейдем теперь к рассмотрению вклада несвязанных диаграмм (Рис. 4).Применяя правила Фейнмана, получаем 5 Zi1X(2)(−1)P +Qdp1 dp′1dp3 dp′3dq∆gdisc =82πPQIP 1P 2Q1Q2(p′1 − p1)× ′(p1 − εP 1 + i0)(q − p′1 − εP 2 + i0)(p′3 − εP 3 + i0)IP 3P 4Q3Q4(p′3 − p3 )×(p1 − εQ1 + i0)(q − p1 − εQ2 + i0)(p3 − εQ3 + i0)1×.′(E − q − p3 − εP 4 + i0)(E − q − p3 − εQ4 + i0)(1.39)Множитель 1/8 возникает из комбинаторных соображений: в диаграмме наРис.

4 можно переставлять местами две несвязанные двухэлектронные части,а также независимо зеркально отображать каждую из поддиаграмм.Не составляет труда убедиться, что данное выражение имеет полюс второгопорядка по ∆E только в случае, если выполнено условие:εP 1 + εP 2 = εQ1 + εQ2.Считая данное условие выполненным и применяя тождество2π11=δ(x) +,x + i0ix − i0имеем(2)∆gdisc1X(−1)P +Q=8PQ×i2π5 Zdp1 dp′1dp3 dp′3dqIP 1P 2Q1Q2(p′1 − p1 )(q − p′1 − εP 2 + i0)(E − q − p′3 − εP 4 + i0)(1.40)— 25 —IP 3P 4Q3Q4(p′3 − p3 )×(q − p1 − εQ2 + i0)(E − q − p3 − εQ4 + i0)2π ′112π ′δ(p1 − εP 1) + ′δ(p3 − εP 3) + ′×ip1 − εP 1 − i0ip3 − εP 3 − i02π2π11δ(p1 − εQ1) +δ(p3 − εQ3) +.×ip1 − εQ1 − i0ip3 − εQ3 − i0(1.41)Необходимый полюс второго порядка по ∆E возникает, только если при раскрытии скобок в (1.41) три раза “выбирать” дельта-функцию. Таким образом,окончательно для вклада несвязанных диаграмм получаемZ−11XP +Q idisc(−1)dp{IP 3P 4Q3Q4(εP 3 − εQ3)∆E=82π(p + i0)2PQ×[IP 1P 2Q1Q2(εP 1 − εQ1 + p) + IP 1P 2Q1Q2(εP 1 − εQ1 − p)]+IP 1P 2Q1Q2(εP 1 − εQ1 )×[IP 3P 4Q3Q4(εP 3 − εQ3 + p) + IP 3P 4Q3Q4(εP 3 − εQ3 − p)]}.

(1.42)Для основного состояния бериллиеподобных ионов выражение (1.42) приобретает вид3el∆E disc = −∆Ẽred,3 Zi−1+{[Iab;ab(p) + Iab;ab(−p)]Icd;cddp2π(p + i0)2+[Icd;cd (p) + Icd;cd (−p)]Iab;ab + [Iac;ac(p) + Iac;ac (−p)]Ibd;bd+[Ibd;bd(p) + Ibd;bd (−p)]Iac;ac + [Iad;ad (p) + Iad;ad (−p)]Ibc;bc+ [Ibc;bc(p) + Ibc;bc(−p)]Iad;ad} .(1.43)Теперь становится очевидным, что вклад несвязанных диаграмм сокращается,если его рассматривать вместе с частью (1.34) неприводимого трехэлектронноговклада и с вкладом вычитания (1.38).Рассмотрим теперь вклад двухэлектронных диаграмм. Вновь, как и при рассмотрении трехэлектронного вклада, удобно ввести разбиение на приводимую и— 26 —неприводимую части.

“Кросс” диаграмма является неприводимой, приводимаячасть “лестничной” диаграммы определяется тем условием, что сумма энергийна внутренних электронных линиях совпадает с энергией начального состояния.Приведем выражение для неприводимого двухэлектронного вклада [27](v,wX i ZFlad,dir(ω, n1n2)′2el∆Eirr =dω2π(εv − ω − uεn1 )(εw + ω − uεn2 )n ,n1++2v,w(ω, n1n2 )Flad,exc(εw − ω − uεn1 )(εv + ω − uεn2 )v,wFcr,dir(ω, n1n2)(εv − ω − uεn1 )(εw − ω − uεn2 )v,wFcr,exc(ω, n1n2),+(εw − ω − uεn1 )(εw − ω − uεn2 )(1.44)гдеv,wFlad,dir(ω, n1n2)=Xµ1 ,µ2v,w−Flad,exc(ω, n1n2) =v,wFcr,dir(ω, n1n2) =Xµ1 ,µ2Xµ1 ,µ2v,w−Fcr,exc(ω, n1n2)=Xµ1 ,µ2hvw|I(ω)|n1 n2ihn1 n2|I(ω)|vwi,hwv|I(ω)|n1 n2ihn1 n2|I(ω − ∆)|vwi,hvn2 |I(ω)|n1wihn1 w|I(ω)|vn2i,hwn2 |I(ω)|n1wihn1 v|I(ω − ∆)|vn2i.(1.45)Здесь v и w обозначают два произвольных одноэлектронных состояния, и∆ = εw −εv .

Штрих над знаком суммы означает, что некоторые члены суммирования опущены. Во-первых, в данной сумме опущены слагаемые, дающие вкладв приводимую часть “лестничной” диаграммы, (εn1 , εn2 ) = (εv , εw ), (εw , εv ). Кроме того, из суммирования исключены также вклады с сингулярным поведением в инфракрасной области: из прямой части “кросс” диаграммы убран вклад(εn1 , εn2 ) = (εv , εw ), из обменного части — вклады (εn1 , εn2 ) = (εv , εv ), (εw , εw ).Как уже отмечалось выше, для основного состояния бериллиеподобных ионов,двухэлектронный вклад необходимо учесть для взаимодействия внутри 1s2 и— 27 —2s2 оболочек, а также для взаимодействия электронов из разных оболочек, например, (v, w) = (1s, 2s) с учетом всех возможных ориентаций спинов.Наибольшая трудность при выводе выражения для двухэлектронной поправки связана с правильным учетом приводимого вклада в “лестничную” диаграмму.

Данный вопрос подробно был рассмотрен в работе [76]. Применяя выражение, полученное там, и переписывая его в обозначениях, используемых здесь,получаемlad∆Ered=Xεn1 +εn2 =εv +εwi4πZdω−1(ω + i0)2×[Ivw;n1 n2 (−ω)In1n2 vw (∆n2w + ω)+Ivw;n1 n2 (ω)In1n2 vw (∆n2 w ) + Ivw;n1 n2 In1 n2 vw (∆n2w − ω)+ · · · + {ω → −ω} + · · · ].(1.46)Сумма по n1 и n2 ограничена условиями (n1, n2) = (w̃, ṽ), (ṽ, w̃), где εṽ = εv ,εw̃ = εw , при этом проекции угловых моментов µṽ и µw̃ произвольны.Используем формулу (1.46), явно раскрывая суммы по n1 и n2 , для всех двухэлектронных вкладов, необходимых для вычисления энергии основного состояния бериллиеподобных ионов. Кроме того, чтобы увидеть взаимное сокращениемежду различными вкладами, частично раскроем суммирование по проекцияммоментов.

Для взаимодействия внутри 1s2 и 2s2 оболочек получаем Zi−1lad,1s2∆Ered[Iab;ab(ω) + Iab;ab(−ω)]Iab;ab=dω2π(ω + i0)2 Z−1i22dω[Iab;ab(ω) + Iab;ab(−ω)] ,+24π(ω + i0)lad,2s2∆Ered(1.47)Z−1i[Icd;cd (ω) + Icd;cd (−ω)]Icd;cd=dω2π(ω + i0)2 Z−1i22[I(ω) + Icd;cd (−ω)] .dω+4π(ω + i0)2 cd;cd(1.48)Для взаимодействия электронов из разных оболочек, с учетом суммирования— 28 —по всем возможным ориентациям проекций моментов:lad,1s2s3el∆Ered= −∆Ẽred,2Z−1idω+{[Iac,ac(p) + Iac,ac(−p)]Iac,ac2π(ω + i0)2+ [Iad,ad (p) + Iad,ad (−p)]Iad,ad + [Ibc,bc(p) + Ibc,bc(−p)]Ibc,bc!+ [Ibd,bd (p) + Ibd,bd(−p)]Ibd,bd}X+µa ,µc ,µã ,µc̃i4πZdω−1(ω + i0)2!× [Iac;ãc̃ (ω)Iãc̃;ac (ω) + Iac;ãc̃ (−ω)Iãc̃;ac (−ω)] .(1.49)Выражение из первой строки в (1.49) сокращает часть приводимого вкладатрехэлектронной поправки.

Сумма выражений из первых строк в (1.47), (1.48) ииз первых круглых скобок в (1.49) сокращается вкладом (1.38). Таким образом,полный приводимый вклад от двухэлектронных “лестничных диаграмм” имеетвид:lad,1s∆Ered22s2Zi−122[Iab;ab(ω) + Iab;ab(−ω)]=dω24π(ω + i0) Zi−122[I(ω) + Icd;cd (−ω)]+dω4π(ω + i0)2 cd;cdZXi−1+dω4π(ω + i0)2µ ,µ ,µ ,µacãc̃!× [Iac;ãc̃ (ω)Iãc̃;ac (ω) + Iac;ãc̃ (−ω)Iãc̃;ac (−ω)] . (1.50)Остается отметить, что вместе с данным приводимым вкладом необходимо рассматривать также части неприводимого вклада от “кросс” диаграммы, которыебыли опущены в выражении (1.44):cr∆EIR=i2πZdω1(−ω + i0)2(c,da,b˜(ω, c̃d)(ω, ãb̃) + Fcr,dirFcr,dir— 29 —a,bc,d˜+Fcr,exc(ω, ãb̃) + Fcr,exc(ω, c̃d))X a,ca,c˜ + F a,c (ω + ∆, ãb̃)] .

(1.51)[Fcr,dir(ω, ãc̃) + Fcr,exc(ω, c̃d)+cr,excµa ,µcНа этом можно закончить обсуждение формул для учета поправки на межэлектронное взаимодействие во втором порядке теории возмущений.Завершая данный параграф, рассмотрим еще два простых показательныхпримера сокращения вкладов несвязанных диаграмм. Будем проводить рассмотрение для двухэлектронного состояния, описываемого однодетерминантнойволновой функцией1 X(−1)P ψP v (x1)ψP w (x2)u(x1, x2) = √2 P1= √ (ψv (x1)ψw (x2) − ψw (x1)ψv (x2)) .2(1.52)Данный вывод без труда можно обобщить на случай более сложных волновыхфункций.Первым делом рассмотрим диаграмму, изображенную на Рис.

5. Здесь кругс крестом обозначает вершину взаимодействия с некоторым внешним потенциалом δV (x) (например, это может быть контрчлен, необходимо возникающийпри работе в расширенном представлении Фарри):Z2π 0γ δ(ω − ω ′ ) dx δV (x).i(1.53)Используя правила Фейнмана, для данной диаграммы получаем следующеевыражение:i(2)∆gaa(E) =2πhP v|δV |vi(p − εv + i0)(E − p − εw + i0)hP w|δV |wi.×(p − εP v + i0)(E − p − εP w + i0)Zdp(1.54)Применяя тождество2π d11=−δ(x)+,(x + i0)2i dx(x − i0)2(1.55)— 30 —Рис. 5: Несвязанная диаграмма, описывающая взаимодействие с двумя внешними потенциаламипрямую часть (для которой (P v, P w) = (v, w)) можно переписать в виде:Zihv|δV |vihw|δV |wi(2)∆gdir (E) =dp2π(p − εv − i0)2(E − p − εw + i0)22hv|δV |vihw|δV |wi.(1.56)+(E − εv − εw )3Подинтегральное выражение в первой строке в (1.56) не имеет особенности вточке E = εv + εw .

Слагаемое во второй строке имеет полюс третьего порядка.Таким образом, применяя формулу (1.17), получаем, что прямая часть диаграммы на Рис. 5 не приводит к сдвигу энергии. Покажем теперь, что тот жерезультат справедлив и для обменной части: (P v, P w) = (w, v). Если εv = εw ,то можно повторить вывод, проделанный выше. Следовательно, обменная частьв этом случае также обращается в ноль. Рассмотрим теперь ситуацию, когдаεv 6= εw . Вычислим интеграл по p по вычетам, замкнув контур интегрированияв нижней полуплоскости:(2)∆gexc(E) =2hw|δV |vihv|δV |wi.(E − εv − εw + i0)(E − 2εv + i0)(E − 2εw + i0)(1.57)Из (1.57) видно, что функция Грина в этом случае имеет полюс первого порядка. Следовательно, обменная часть вклада в сдвиг энергии не дает.Вклад вычитания в формуле (1.17), который следует рассматривать вместе сданной несвязанной диаграммой, также обращается в ноль, поскольку функцияГрина для диаграммы взаимодействия с потенциалом δV первого порядка имеет— 31 —Рис.

6: Несвязанная диаграмма двух собственных энергийвид(1)∆gV =hv|δV |vi + hw|δV |wi,(E − εv − εw )2(1.58)и второй множитель в вычитании в (1.17) равен нулю.Наконец, рассмотрим несвязанную диаграмму, изображенную на Рис. 6.Функция Грина имеет вид: 3 ZX IP vn n v (ω1)IP wn2 n2 w (ω2)i1 1(2)∆gaa(E) =dω1 dω2dp2πp − ω1 − uεn1 E − p − ω2 − uεn2n n1 21(p − εv + i0)(E − p − εw + i0)1.×(p − εP v + i0)(E − p − εP w + i0)×(1.59)Как и в случае диаграммы, представленной на Рис.

5, рассмотрим отдельнопрямой и обменный вклады. Применяя тождество (1.55) к прямому вкладу иотбрасывая вклад без производной от дельта-функции как не имеющий полюсапо ∆E, получаем(2)∆gdir (E)i=2π×2 Zdω1 dω2XIvn1 n1 v (ω1)Iwn2n2 w (ω2)n1 n2−11×(εv − ω1 − uεn1 )2 (E − εv − ω2 − uεn2 ) (∆E)211×+(εv − ω1 − uεn1 )(E − εv − ω2 − uεn2 )2 (∆E)221+×.(1.60)(εv − ω1 − uεn1 )(E − εv − ω2 − uεn2 ) (∆E)3— 32 —Подставляя функцию Грина (1.60) в формулу (1.17), окончательно для сдвигаэнергии имеемdir∆Esesei=2π×2 Zdω1dω2XIvn1 n1 v (ω1)Iwn2 n2 w (ω2)n1 n2−1(εv − ω1 − uεn1 )(εw − ω2 − uεn2 )2−1+(εv − ω1 − uεn1 )2(εw − ω2 − uεn2 )= hv|Σ(εv )|vihw|Σ′ (εw )|wi + hv|Σ′ (εv )|vihw|Σ(εw )|wi,(1.61)где введено обозначение Σ′(εv ) = dΣ(ε)/dε|ε=εv . Использовав функцию Гринадля диаграммы собственной энергии первого порядка (1.23), без труда можноубедиться, что вклад (1.61) в точности сокращается, если его рассматриватьвместе с вычитанием в формуле (1.17).Покажем теперь, что обменный вклад обращается в нуль.