Диссертация (Квантовоэлектродинамические и корреляционные поправки к энергии основного состояния бериллиеподобных ионов), страница 3

Рассмотрим— 16 —первую из этих двух поправок. Диаграмма собственной энергии с соответствующим массовым контрчленом показана на Рис. 1. Двойная линия обозначаетэлектронный пропагатор в эффективном потенциале (1.6). Волнистая линия соответствует фотонному пропагатору. Используя диаграммную технику из [75],для вклада собственной энергии имеемZ2π(1)′dx′ dydzdx ψa† (x′)∆gaa (E)δ(E − E ) =iZ ∞Z ∞i X ψn1 (x′)ψ̄n1 (y) ii×dp0dω′2π n E − εn1 (1 − i0) 2π −∞2π −∞1X ψn (y)ψ̄n(z)′0ρ 2πδ(E − p − ω)D (ω, y − z)×eγ0 − ε (1 − i0) ρσipnn2πi X ψn2 (z)ψ̄n2 (x) 0×eγ σ δ(p0 + ω − E)γ ψa (x), (1.20)i2π n E − εn2 (1 − i0)2гдеDρσ (ω, x − y) = −gρσZdk exp(ik · (x − y))(2π)3 ω 2 − k2 − µ2 + i0(1.21)представляет фотонный пропагатор с ненулевой массой µ, добавляемой длярегуляризации [75].

Вводя оператор собственной энергии согласноZ ∞X han|e2 αρ ασ Dρσ (ω)|nbiiha|Σ(E)|bi =dω,2π −∞E−ω−ε(1−i0)nn(1.22)уравнение (1.20) можно переписать в виде:(1)∆gaa(E) =ha|Σ(E)|ai.(E − εa )2(1.23)Подставляя (1.23) в (1.16), окончательно для собственно-энергетической поправки имеем:∆Ea(1)I1(1)dE (E − εa )∆gaa(E)=2πi ΓI1ha|Σ(E)|ai== ha|Σ(εa )|ai.dE2πi ΓE − εa(1.24)Рассмотрим теперь поправку второго порядка на корреляционное взаимодействие. На диаграммном языке данному вкладу соответствуют диаграммы— 17 —(a)(b)(c)Рис. 2: Диаграммы двухфотонного обменадвухфотонного обмена, представленные на Рис. 2 (при проведении расчетов врасширенном представлении Фарри ко вкладу второго порядка также следуетотнести контрчленные диаграммы, которые будут рассмотрены ниже). Естественным образом возникает разбиение данной поправки на двухэлектронные(“лестничная” диаграмма (a) и “кросс” диаграмма (b)) и трехэлектронные (диаграмма (c)) вклады.

При рассмотрении основного состояния 1s22s2 бериллиеподобных ионов необходимо учесть двухэлектронные вклады для взаимодействия электронов внутри 1s2 оболочки, для взаимодействия между 1s и 2s электронами (всего 4 диаграммы с учетом всех возможных проекций спина обоихэлектронов) и, наконец, для взаимодействия внутри 2s2 оболочки.

Трехэлектронные вклады определяют взаимодействие внутри 1s22s и 1s2s2 поднаборов(каждый поднабор возникает дважды по количеству проекций момента неспаренного электрона). Вклады вида 2s2 и 1s2s2 не рассматривались ранее прирасчетах энергий связи и энергий переходов в гелие-, литие- и бороподобныхионах.Поскольку поправка на двухфотонный обмен относится ко второму порядку,необходимо использовать формулу (1.17). Главное отличие от формулы (1.16)заключается в появлении вычитания.

В случае четырехэлектронной системыэто вычитание определяется (с учетом всех возможных перестановок электронов) диаграммой, изображенной на Рис. 3.— 18 —Рис. 3: Диаграмма, дающая вклад в вычитание ∆E subt в поправке на двухфотонный обменНесмотря на то, что в конкретных расчетах вклады двухэлектронных и трехэлектронных диаграмм можно рассматривать полностью независимо, при выводе формальных выражений оказывается удобным работать сразу со всемивкладами, возникающими для исследуемого состояния. Это позволяет уже науровне формул провести значительное сокращение. В частности, вклад вычитания в формуле (1.17) полностью сокращается, если его рассматривать вместес другими поправками. Кроме того при исследовании бериллиеподобных ионовне следует забывать о появлении во втором порядке несвязанных диаграммдвухфотонного обмена, см.

Рис. 4. Вклад данных диаграмм также полностьюсокращается, но их учет необходим для получения правильных окончательныхвыражений.Рассмотрим далее кратко вывод формальных выражений для поправок, описываемых диаграммами двухфотонного обмена. Сперва обсудим трехэлектронные вклады. Правила Фейнмана [75] для диаграммы (c) из Рис. 2 дают [27]X i 4 ZXP +Q(2)(−1)∆gaa (E) =dp1dp2 dp′1dp′22πnPQ1(p′1 − uεP 1)(p′2 − uεP 2)(E − p′1 − p′2 − uεP 3)1×(p1 − uεQ1)(p2 − uεQ2)(E − p1 − p2 − uεQ3)IP 2P 3nQ3(p1 + p2 − p′1 − p′2)IP 1nQ1Q2(p1 − p′1 )×,p1 + p2 − p′1 − uεn×(1.25)где u = 1 − i0, Q и P — операторы перестановки, действующие на начальные и— 19 —Рис.

4: Несвязанная диаграмма во втором порядке теории возмущенийконечные электроны, соответственно. Также введены следующие удобные обозначения:I(ω) = e2 αρ ασ Dρσ (ω),Iabcd(ω) = hab|I(ω)|cdi.В (1.25) и в последующих выражениях с целью упрощения обозначений у переменных интегрирования p0 опущен верхний индекс “0” (сравните, напримерс (1.20)). Кроме того, в дальнейшем будут использованы обозначения:Iab;cd = Iabcd (∆bd) − Ibacd (∆ad),∆ab = εa − εb ,Iab;cd(p) = Iabcd (∆bd + p) − Ibacd (∆ad + p),I ′ (ω) = dI(ω)/dω.(2)(2)Функцию ∆gaa из (1.25) обычно разделяют на неприводимую ∆girr и при(2)водимую ∆gred части.

Приводимая часть определяется как вклад, в которомэнергия промежуточного трехэлектронного состояния совпадает с энергией начального состояния, иными словами выполняется тождествоεn = εQ1 + εQ2 − εP 1.Неприводимой части соответствует все остальное.После несложных преобразований можно убедиться, что для произвольного(2)трехэлектронного состояния неприводимая часть функции ∆gaa имеет следу-— 20 —ющий вид(2)∆girr (E) 2Xi1 XP +Q(−1)=(∆E)22πPQεn 6=εQ1 +εQ2 −εP 1Z11× dp2 dp′2+p′2 − uεP 2 E − εP 1 − p′2 − uεP 311×+p2 − uεQ2 E − εQ1 − p2 − uεQ3IP 2P 3nQ3(εQ1 + p2 − εP 1 − p′2)IP 1nQ1Q2(∆Q1P 1)×εQ1 + p2 − εP 1 − uεn+ менее сингулярные по ∆E вклады.(1.26)Подинтегральное выражение является аналитической функцией внутри контура Γ.

Таким образом, сдвиг энергии за счет неприводимой части оказываетсяравным [27]3el∆EirrI1(2)dE ∆E∆girr (E)=2πi ΓXX IP 2P 3nQ3(∆P 3Q3)IP 1nQ1Q2(∆Q1P 1)′=(−1)P +Q,ε+ε−ε−εQ1Q2P1nn(1.27)PQгде штрих у знака суммы означает, что вклад с обращающимся в ноль знаменателем должен быть опущен.Рассмотрим теперь выражение для приводимой части. Сразу выделяя осо(2)бенности порядка 1/(∆E)2 и старше в приводимой части функции ∆gaa , получаем 2XX1i(2)∆gred (E) =(−1)P +Q∆E2πεn =εQ1 +εQ2 −εP 1PQZIP 2P 3nQ3(E − εQ3 − εP 1 − p′2)′× dp2dp2 ′(p2 − uεP 2)(E − εP 1 − p′2 − uεP 3)IP 1nQ1Q2(E − εQ3 − εP 1 − p2 )×(E − p2 − εQ3 − uεQ1)(p2 − uεQ2)+ менее сингулярные по ∆E вклады.(1.28)Итоговое выражение для сдвига энергии за счет приводимой части трехэлек-— 21 —тронной диаграммы удобно представить в виде суммы двух слагаемых [27]I1(2)3el3eldE ∆E∆gred(E) = ∆Ered+ ∆Ẽred,(1.29)2πi Γгде3el∆Ered=X1X(−1)P +Q2εn =εQ1 +εQ2 −εP 1PQ ′IP 2P 3nQ3(∆P 3Q3)IP 1nQ1Q2(∆Q1P 1) + IP 2P 3nQ3(∆P 3Q3)IP′ 1nQ1Q2(∆Q1P 1) ,(1.30)3el∆Ẽred1X(−1)P +Q= −2εPQXn =εQ1 +εQ2 −εP 1i2πZdp1(p + i0)2× {[IP 2P 3nQ3(∆P 3Q3 + p) + IP 2P 3nQ3(∆P 3Q3 − p)]IP 1nQ1Q2(∆Q1P 1)+ IP 2P 3nQ3(∆P 3Q3)[IP 1nQ1Q2(∆Q1P 1 + p) + IP 1nQ1Q2(∆Q1P 1 − p)]} .(1.31)3elдает полный неприводимый вклад, в тоОказывается, что выражение ∆Ered3elполностью сокращается, если его рассматриватьвремя как выражение ∆Ẽredвместе с вкладом вычитания в формуле (1.17), вкладом несвязанных диаграмми вкладом приводимой части двухэлектронной поправки.

Чтобы увидеть данное сокращение, необходимо выписать суммы по n и по перестановкам P и Qявно. Проделаем это для рассматриваемого в данной диссертации основногосостояния 1s22s2 бериллиеподобных ионов.Будем обозначать через a и b электроны из 1s2 оболочки, через c и d —электроны из оболочки 2s2 . Пусть µ обозначает проекцию соответствующего3elдля 1s22s2электрона, µā = −µa = µb , µc̄ = −µc = µd . Полный вклад ∆Ẽred3el3elи, ∆Ẽred,2состояния удобно представить в виде суммы трех членов, ∆Ẽred,13el:∆Ẽred,33el∆Ẽred,1i= −2πZdp1{[Ibc;bc(p) + Ibc;bc(−p)] × [Iac;ac + Iab;ab](p + i0)2— 22 —+ [Ibd;bd (p) + Ibd;bd (−p)] × [Iad;ad + Iab;ab]+ [Iac;ac(p) + Iac;ac (−p)] × [Ibc;bc + Iab;ab]+ [Iad;ad (p) + Iad;ad (−p)] × [Ibd;bd + Iab;ab]+ [Iab;ab(p) + Iab;ab(−p)] × [Iac;ac + Ibc;bc]+ [Iab;ab(p) + Iab;ab(−p)] × [Iad;ad + Ibd;bd]+ [Iad;ad (p) + Iad;ad (−p)] × [Iac;ac + Icd;cd ]+ [Ibd;bd (p) + Ibd;bd (−p)] × [Ibc;bc + Icd;cd ]+ [Iac;ac(p) + Iac;ac (−p)] × [Iad;ad + Icd;cd ]+ [Ibc;bc(p) + Ibc;bc(−p)] × [Ibd;bd + Icd;cd ]+ [Icd;cd (p) + Icd;cd (−p)] × [Iac;ac + Iad;ad ]+ [Icd;cd (p) + Icd;cd (−p)] × [Ibc;bc + Ibd;bd ]} ,3el∆Ẽred,2(1.32)X i Z1=dp4π(p + i0)2µ ,µac× {[Ica;c̄ā (p) + Ica;c̄ā (−p)]Iāc̄;ac + Ica;c̄ā [Iāc̄;ac (p) + Iāc̄;ac (−p)]} ,(1.33)3el∆Ẽred,3X i Z1dp=4π(p + i0)2µ ,µac× {[Iac;āc̄ (p) + Iac;āc̄ (−p)]Ic̄ā;ca + Iac;āc̄ [Ic̄ā;ca (p) + Ic̄ā;ca (−p)]}Zi1={[Iad;bc(p) + Iad;bc(−p)]Ibc;addp2π(p + i0)2+Iad;bc[Ibc;ad (p) + Ibc;ad (−p)]}.(1.34)В последнем равенстве в формуле (1.34) принято во внимание, что оператормежэлектронного взаимодействия I сохраняет полную проекцию углового момента.

Кроме того подразумевается, что µa = µc .Обратимся теперь к вкладу вычитанияII11(1)(1)dE ∆E∆gaa(E)dE ′ ∆gaa(E ′).∆E subt = −2πi Γ2πi Γ(1.35)— 23 —Для одной отдельно взятой диаграммы, описывающей взаимодействие двухпроизвольных электронов 1 и 2, имеем [27]ZIP 1P 212(∆1P 1 − p) + IP 1P 212(∆1P 1 + p)1 X(1)P i∆gaa,12 =(−1)dp∆E2π(p − i0)(∆E − p + i0)P1 X+(−1)P IP 1P 212(∆1P 1)2(∆E)P+ вклады, аналитические при E = Ea(0) .(1.36)Принимая во внимание в (1.36) все перестановки электронов, возможные дляосновного состояния бериллиеподобных ионов, и подставляя получившееся выражение в (1.35), окончательно для вклада вычитания получаемZ1isubtdp∆E={[Iab;ab(p) + Iab;ab(−p)] + [Iac;ac(p) + Iac;ac(−p)]2π(p + i0)2+[Iad;ad (p) + Iad;ad (−p)] + [Ibc;bc(p) + Ibc;bc(−p)]+[Ibd;bd(p) + Ibd;bd (−p)] + [Icd;cd (p) + Icd;cd (−p)]}×{Iab;ab + Iac;ac + Iad;ad + Ibc;bc + Ibd;bd + Icd;cd }.(1.37)Перепишем последнее выражение в следующем виде3el∆E subt = −∆Ẽred,1 Zi1dp+{ [Iab,ab(p) + Iab,ab(−p)]Iab,ab2π(p + i0)2+ [Iac,ac(p) + Iac,ac(−p)]Iac,ac + [Iad,ad (p) + Iad,ad (−p)]Iad,ad+ [Ibc,bc(p) + Ibc,bc(−p)]Ibc,bc + [Ibd,bd (p) + Ibd,bd(−p)]Ibd,bd+ [Icd,cd(p) + Icd,cd (−p)]Icd,cd} Z1i{ [Iab,ab(p) + Iab,ab(−p)]Icd,cddp+2π(p + i0)2+ [Iac,ac(p) + Iac,ac(−p)]Ibd,bd + [Iad,ad (p) + Iad,ad (−p)]Ibc,bc+ [Ibc,bc(p) + Ibc,bc(−p)]Iad,ad + [Ibd,bd(p) + Ibd,bd(−p)]Iac,ac+ [Icd,cd(p) + Icd,cd (−p)]Iab,ab} .(1.38)Слагаемое из первой строки в (1.38) очевидным образом сокращается с ча-стью (1.30) от приводимого вклада трехэлектронной поправки.