Диссертация (Квантовоэлектродинамические и корреляционные поправки к энергии основного состояния бериллиеподобных ионов), страница 6

Для части B приводимого вклада можно получить [81]"#XB(0)(−1)P hP vP w|I(∆)|vwi∆Ered =P×Zdp(2π)3(∂Σ(0)(p) ψv (p)ψ̄v (p)∂p0 p0 =εv)(0)∂Σ (p) + ψ̄w (p)ψw (p) ,∂p0 p0 =εw(1.104)где производная от оператора Σ(0) из (1.72) равна(0)∂pα∂ΣR (p)∂Σ(0)(p)/= − ∆ǫ 0 +∂p04π ∂p∂p0pα/= −γ 0∆ǫ + 2 a1 (ρ) + γ 0a2 (ρ) + a3 (ρ) ,4πm(1.105)— 40 —2p02ln ρ ,a1 (ρ) = −3−ρ+(1 − ρ)21−ρρ2−ρa2 (ρ) = 2 +ln ρ ,1+1−ρ1−ρ18p0ln ρ .1+a3 (ρ) =m(1 − ρ)1−ρ(1.106)(1.107)(1.108)Таким образом,B(0)∆Ered= −"XP#(−1)P hP vP w|I(∆)|vwiαB(0)∆ǫ + ∆Ered,R ,2π(1.109)B(0)где ∆Ered,R УФ конечно.Для свободного вклада “вершинной” диаграммы имеемZZXdp′dp(0)P∆Ever = α(−1)(2π)3 (2π)3P× ψ̄P v (p)APµ ww (q)Γµ(p, p′)ψv (p′)p′0 =εvp0 =εPv+ ψ̄P w (p)APµ vv (q)Γµ(p, p′)ψw (p′ )p′0 =εp0 =εwPw,(1.110)где для произвольных двух состояний a и b в фейнмановской калибровкеZ4πdz ψa† (z)αµψb (z)e−iqz,(1.111)Aabµ (q) =22q − ∆ab − i0в кулоновской калибровкеZ4πAabdz ψa† (z)α0ψb (z)e−iqz,(1.112)0 (q) =2q − i0Z4πqk qnabAk (q) = 2δkn − 2dz ψa† (z)αnψb (z)e−iqz, (1.113)2q − ∆ab − i0qи ∆ab = εa − εb, q = p − p′ , δkn — символ Кронекера.

Следует подчеркнуть, чтов двухэлектронных диаграммах собственной энергии мы меняем калибровку— 41 —только у фотона, соединяющего в диаграмме две разные электронные линии.Фотон внутри петли всегда рассматривается в фейнмановской калибровке. Подставляя в (1.110) вершинную функцию Γ в виде (1.73), получаем, что"#Xα(0)(0)∆Ever=(−1)P hP vP w|I(∆)|vwi∆ǫ + ∆Ever,R .2π(1.114)PУФ расходимости в сумме выражений (1.109) и (1.114) взаимно сокращаются,и итоговое выражение оказывается УФ конечным.

Возвращаясь к обсуждениюИК расходимостей, следует отметить, что оба слагаемых в сумме (1.103) ИКрасходятся. Не составляет труда выделить расходящиеся члены, с тем чтобырассчитать их вместе и получить конечный результат.На этом мы завершаем обсуждение общих положений теории многозарядныхионов. В последующих разделах будут рассмотрены применения полученныхздесь результатов к конкретным расчетам в бериллиеподобных ионах.— 42 —Глава 2Расчеты уровней энергии2.1Аналитические преобразованияОбщие выражения, полученные в главе 1, необходимо преобразовать перед тем,как применять их к конкретным расчетам уровней энергии.Первым делом следует выполнить суммирование по магнитным квантовымчислам. Матричный элемент оператора I между четырьмя произвольными одноэлектронными состояниями можно переписать в следующем видеXja J jc(−1)ja−µa +J−M +jb−µb hab|I|cdi =−µa M µcJMjbJ jd hab||I||cdiJ ,×−µb −M µd(2.1)выделив при помощи двух 3jm-символов всю зависимость от проекций.

Приве-денный матричный элемент hab||I||cdiJ зависит только от квантовых чисел κ изадается двойным радиальным интеграломZhab||I(ω)||cdiJ = α dr1dr2((−1)J GJ (κa , κc )GJ (κb , κd )gJ (ω)[Ga(r1)Gc (r1) + Fa (r1)Fc(r1)]×[Gb (r2)Gd (r2) + Fb(r2)Fd (r2)] +XL(−1)L+1(2J + 1)gL(ω)— 43 —×[Ga (r1)Fc(r1)HLJ (κa , −κc ) − Fa (r1)Gc (r1)HLJ (−κa , κc )])×[Gb (r2)Fd (r2)HLJ (κb , −κd ) − Fb(r2)Gd (r2)HLJ (−κb , κd )](2.2)в фейнмановской калибровке иZhab||I(ω)||cdiJ = α dr1dr2(g(ω)−g(0)JJ(−1)J GJ (κa , κc)GJ (κb , κd ) gJ (0) − (εa − εc )(εb − εd )ω2×[Ga (r1)Gc (r1) + Fa (r1)Fc(r1)]×[Gb(r2)Gd (r2) + Fb (r2)Fd(r2)]X+(−1)L+1(2J + 1)gL(ω) Ga (r1)Fc(r1)HLJ (κa , −κc )L −Fa (r1)Gc (r1)HLJ (−κa, κc ) × Gb (r2)Fd(r2)HLJ (κb , −κd ))−Fb (r2)Gd (r2)HLJ (−κb, κd )(2.3)в кулоновской калибровке.

Здесь G(r) = rg(r), F (r) = rf (r), а функция glвыражается через сферические функции Бесселя(1)gl (ω, r<r> ) = iω(2l + 1)jl (ωr< )hl (ωr>),lr<.gl (0, r<r> ) = l+1r>(2.4)(2.5)Также в формулах (2.2) и (2.3) использованы следующие обозначенияp(2ja + 1)(2jb + 1)(2la + 1)(2lb + 1)ja l jb la l lb1(−1)jb+ 2 ,×0 0 0  lb 21 la pHlx (κa , κb ) ≡6(2ja + 1)(2jb + 1)(2la + 1)(2lb + 1)1ja 2 la la l lb x 1 l (−1)la .×0 0 0 j 1 l bb 2Gl (κa , κb ) ≡(2.6)(2.7)Применение представления (2.1) и формул для сумм произведений 3jmсимволов [82] позволяет вычислять суммы по магнитным квантовым числам.— 44 —При этом суммировать можно не только по проекциям моментов на внутреннихлиниях диаграмм, но и по проекциям внешних электронов.

Разделив итоговоевыражение на полное число 2j + 1 возможных проекций момента конкретногосостояния, можно при необходимости получить значение, усредненное по соответствующим магнитным состояниям.В двухэлектронных вкладах для тождественных электронов (взаимодействие внутри оболочек 1s2 или 2s2) мы суммируем по проекциям внешних состояний, не принимая во внимание принцип Паули, и делим результат суммирования пополам. Слагаемые, которые нарушают принцип Паули автоматическисокращаются между прямой и обменной частями, в чем легко убедиться напримере однофотонного обмена:1ph∆E1s21 XX(−1)P hP vP w|I|vwi=2 µ ,µP!#!"v wXX1hwv|I|vwihvw|I|vwi −=2µv ,µwµ ,µ" v w!1=hab|I|abi + haa|I|aai + hbb|I|bbi + hba|I|bai2!#− hba|I|abi + haa|I|aai + hbb|I|bbi + hab|I|bai(2.8)= hab|I|abi − hba|I|abi.Рассмотримсуммированиепопроекциямнапримересобственно-энергетической поправки (1.24).

Сразу явно выделим сумму по проекцияµn на внутренней электронной линииZX X hvn|I(ω)|nwiihv|Σ(ε)|wi =dω2πε − ω − εn (1 − i0)n µn=i2πZdωXXXnµn JM(−1)jv −µv +J−M +jn−µn jvJjn−µv M µn— 45 —jnJjw hvn||I(ω)||nwiJ−µn −M µw ε − ω − εn(1 − i0)ZX (−1)J+jn−jv hvn||I(ω)||nwiJi Xdω=2π2jv + 1 ε − ω − εn (1 − i0)n×J×{jv Jjn }δjv jw δµv µw ,(2.9)здесь {j1 j2 j3 } — 3j-символ, гарантирующий, что для тройки моментов j1 , j2 иj3 выполняется неравенство треугольника.Далее, как было отмечено в §1.4, отдельные вклады в одноэлектронную идвухэлектронную собственно-энергетические поправки приходится вычислятьв импульсном представлении. Однако, прежде чем использовать полученныетам выражения, необходимо аналитически выполнить угловые интегрирования,в противном случае возникают интегралы слишком большой кратности.

Записывая Фурье преобразование волновой функции (1.3) в виде:Zg̃(p)Ωκm(p̂),ψ(p) = d3 x e−ipx ψ(x) = i−l f˜(p)Ω−κm(p̂)(2.10)для 0-потенциального вклада одноэлектронной собственной энергии (1.76) легкоможно получить [78]hZ ∞ 2 (iαp dp2ρ(0)˜˜∆ESE =ln ρ g̃v (p)g̃w (p) − fv (p)fw (p)2m 1 +4π 0 (2π)31−ρh 2−ρρ˜˜−ln ρεse g̃v (p)g̃w (p) + fv (p)fw (p)1+1−ρ1−ρ)i.(2.11)+ p g̃v (p)f˜w (p) + f˜v (p)g̃w (p)Свободная B-часть приводимого вклада двухэлектронной поправки (1.104)также задается однократным интегралом по трехмерному импульсу. Выполняяздесь угловое интегрирование, приходим к следующему выражению [81]"#XX Z ∞ p2dpαB(0)P(−1) hP vP w|I(∆)|vwi ×∆Ered = −4π(2π)3n=v,w 0P— 46 —inh 22˜˜× a1 (ρn ) εn g̃n + fn + 2pfng̃n!o+ a2 (ρn ) g̃n2 + f˜n2 + a3 (ρn ) g̃n2 − f˜n2.

(2.12)Гораздо более сложные выражения возникают при рассмотрении 1потенциального вклада одноэлектронной собственно-энергетической поправки(1.77) и вклада свободной “вершинной” диаграммы (1.110). Поэтому, преждечем приступить к обсуждению интегрирования по угловым переменным в данных поправках, рассмотрим произведение вершинного оператора ΓµR = (Γ0R , ΓR )и дираковских волновых функций ψ̄a и ψb двух произвольных состояний [81].Подобные конструкции необходимы для обоих рассматриваемых сейчас вкладов:α la −lb n ab †iF1 Ωκaµa (p̂)Ωκbµb (p̂′)=4πoab †′+F2 Ω−κaµa (p̂)Ω−κbµb (p̂ ) ,(2.13)α la −lb n ab †R1 Ωκa µa (p̂)σΩ−κb µb (p̂′)iψ̄a (p)ΓR (p, p′)ψb(p′) =4π †ab †ab ′+R2 Ω−κaµa (p̂)σΩκbµb (p̂′) + RabΩκaµa (p̂)Ωκbµb (p̂′)p+Rp34 †ab ′′+ Rab5 p + R6 p Ω−κa µa (p̂)Ω−κb µb (p̂ ), (2.14)ψ̄a (p)Γ0R (p, p′)ψb(p′)где использованы обозначенияF1ab(p, p′, ξ) = Ag̃ag̃b′ + (B1 εa + B2εb )(εag̃a + pf˜a)g̃b′+(C1εa + C2εb )g̃a(εbg̃b′ + p′ f˜b′) + D(εa g̃a + pf˜a )(εbg̃b′ + p′ f˜b′ )+(H1εa + H2εb )g̃a g̃b′ ,(2.15)F2ab(p, p′, ξ) = Af˜af˜b′ + (B1εa + B2εb )(εaf˜a + pg̃a )f˜b′+(C1εa + C2εb )f˜a(εbf˜b′ + p′g̃b′ ) + D(εa f˜a + pg̃a)(εbf˜b′ + p′g̃b′ )−(H1εa + H2εb )f˜af˜b′ ,(2.16)′′ ˜′˜′˜˜′Rab1 (p, p , ξ) = Ag̃a fb − D(εa g̃a + pfa )(εbfb + p fb ),(2.17)′′′ ˜′˜ ′˜Rab2 (p, p , ξ) = Afa g̃b − D(εa fa + pg̃a )(εbg̃b + p fb ),(2.18)— 47 —′′′ ˜′′˜ ′Rab3 (p, p , ξ) = B1 (εa g̃a + pfa )g̃b + C1 g̃a (εb g̃b + p fb ) + H1 g̃a g̃b ,(2.19)′′′′ ˜′˜ ′Rab4 (p, p , ξ) = B2 (εa g̃a + pfa )g̃b + C2 g̃a (εb g̃b + p fb ) + H2 g̃a g̃b ,(2.20)′′ ′˜˜′˜˜′˜ ˜′Rab5 (p, p , ξ) = B1 (εa fa + pg̃a )fb + C1 fa (εb fb + p g̃b ) − H1 fa fb ,(2.21)′′ ′˜˜′˜˜′˜ ˜′Rab6 (p, p , ξ) = B2 (εa fa + pg̃a )fb + C2 fa (εb fb + p g̃b ) − H2 fa fb ,(2.22)при этом p = (εa, p), p′ = (εb, p′), p = |p|, p′ = |p′ | (не путать с временнойкомпонентой 4-вектора), ξ = p̂ · p̂′ , g̃ = g̃(p), f˜ = f˜(p), g̃ ′ = g̃(p′), f˜′ = f˜(p′).Вернемся к обсуждению интегрирования по угловым переменным.

Усредняяпо проекциям углового момента (из свойств собственно-энергетического оператора jv = jw ) и используя представление (2.13), не составляет труда показать,что 1-потенциальный вклад (1.77) можно переписать в следующем виде [78]Z 1Z ∞Z ∞α(1)dξ V (q)dp p2dp′ p′2∆ESE =62(2π) 0−10onvw′vw′× F1 (p, p , ξ)Plv (ξ) + F2 (p, p , ξ)Pl̄v (ξ) , (2.23)где q 2 = p2 + p′2 − 2pp′ξ, ¯l = 2j − l, а Pl — полином Лежандра.При обсуждении углового интегрирования вклад свободной “вершинной”диаграммы (1.110) является наиболее сложным среди всех прочих вкладов. Если в формуле (1.110) раскрыть сумму по перестановкам P , то мы получим двапрямых вклада (поправка на собственную энергию для электрона v, взаимодействующего с электроном в состоянии w, и наоборот) и два обменных вклада(которые совпадают).

Ниже мы приведем выражения для прямого и обменноговкладов для взаимодействия электронов в произвольных состояниях a и b, приэтом данные выражения будут просуммированы по проекция µa и µb . В прямомвкладе собственно-энергетическая петля будет относиться к электрону в состоянии a.