Диссертация (Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиЯревский Евгений АлександровичЕдиный аналитический и вычислительныйподход к решению квантовой задачи трёх тел01.04.02 – Теоретическая физикаДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степенидоктора физико-математических наукНаучный консультантд. ф.-м.

н., проф.Яковлев Сергей ЛеонидовичСанкт-Петербург – 2017Оглавление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.1.Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .121.2.Представление полного углового момента для трёх частиц . . . .171.3.Резонансные состояния и метод комплексного вращения . . . . .241.3.1.Внешнее комплексное вращение и теоремы о спектре . . .251.3.2.Представление трёхчастичного гамильтониана с комплекс­ВведениеГлава 1.1.4.Теоретические методыным вращением . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Задача рассеяния для трёх частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.4.1.Задача рассеяния для двух кулоновских частиц: методрасщепления потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.4.2.Граничная задача для трёхчастичного рассеяния . . . . .361.4.3.Метод расщепления потенциала . . . . . . . . . . . . . . .391.4.4.Уравнения рассеяния в представлении полного угловогомомента . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42Представления для амплитуд рассеяния . . . . . . . . . .46Выводы к первой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53. . . . . . . . . . . . . . . . . . .562.1.Введение . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562.2.Вариационное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .572.3.Метод конечных элементов (МКЭ) . . . . . . . . . . . . . . . . .592.3.1.Одномерный МКЭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .602.3.2.Трёхмерный МКЭ622.3.3.Метод Галёркина.

Вычисление матричных элементов опе­1.4.5.1.5.Глава 2.Вычислительные методы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .раторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2652.3.4.Спектральное разложение по угловой переменной. . . .672.3.5.Вычисление матричных элементов потенциала . . .

. . .68Оценки погрешности численного метода . . . . . . . . . . . . . .702.4.1.Экстраполяционные формулы . . . . . . . . . . . . . . . .712.4.2.Оценки погрешности и адаптивный подход . . . . . . . .722.5.Особенности программной реализации . . . . . . . . . . . . . . .762.6.Выводы ко второй главе .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .792.4.Глава 3.Дискретный спектр некоторых трёхчастичных систем813.1.Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .813.2.Метастабильные состояния антипротонного гелия . . . . . . . . .823.2.1.Кулоновские уровни энергии. . . . . .

. . . . . . . . . .833.2.2.Численное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .843.2.3.Нерелятивистские уровни энергии: результаты . . . . . .873.2.4.Релятивистские и КЭД поправки к уровням энергии . . .913.2.5.Вероятности радиационных переходов . . . .

. . . . . . .983.3.3.4.Связанные состояния тримеров благородных газов . . . . . . . . 1023.3.1.Связанные состояния тримеров гелия . . . . . . . . . . . 1053.3.2.Связанные состояния тримера неона . . . . . . . . . . . . 1083.3.3.Связанные состояния тримера аргона . .

. . . . . . . . . 118Выводы к третьей главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Глава 4.Резонансные состояния некоторых трёхчастичных си­стем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.1.Введение . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2.Двойные резонансы атома гелия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.3.Резонансы ван-дер-Ваальсова комплекса NeICl . . . . . . . . . . . 1464.3.1.Численные расчёты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.3.2.Результаты для нулевого момента = 0 . . . . . .

. . . . 1504.3.3.Результаты для ненулевого момента ̸= 0 . . . . . . . . . 15334.4.4.5.Резонансы ядра углерода12C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.4.1.Модели взаимодействий в4.4.2.Матричные элементы нецентральных потенциалов . . . . 1634.4.3.Связанные и узкие резонансные состояния . . . . . . . . . 1664.4.4.Широкие резонансные состояния .

. . . . . . . . . . . . . 17212C . . . . . . . . . . . . . . . . 161Выводы к четвёртой главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Глава 5.Рассеяние в системах нескольких частиц. . . . . . . . . 1775.1.Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.2.Двухчастичная модель -рассеяния .

. . . . . . . . . . . . . . . 1775.3.Рассеяние электрона на водороде и на водородоподобных ионах . 1825.3.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.3.2.Модель Темкина-Поэта . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 1845.3.3.Рассеяние электрона на водороде и на положительномионе гелия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.4.Рассеяние позитрона на водороде и положительном ионе гелия . 2055.5.Выводы к пятой главе . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Список литературыПриложение А.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Кулоновские уровни энергии, длины волн глав­ных переходов, релятивистские и КЭД поправки в антипротон­ном гелии. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Приложение Б.Сечения рассеяния электрона на водороде и наположительном ионе гелия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2474ВведениеАктуальность темы исследования.Исследование поведения квантовых систем на микроскопическом уровнеявляется одной из актуальных задач физики. Среди прочих значительный ин­терес представляют различные состояния – связанные, резонансные и состояниярассеяния — в ядерных, атомных и молекулярных системах, которые во мно­гих случаях можно рассматривать, как состояния квантовой системы несколь­ких тел. Задачи исследования таких состояний занимают особое место, так каксравнительно небольшое число степеней свободы делает возможным их анализбез дополнительных, плохо контролируемых, приближений. Таким образом, врамках рассматриваемой физической модели, задача решается математическиточно.

С вычислительной точки зрения, однако, сложность расчётов даже длятаких систем оказывается весьма велика, что требует разработки новых эффек­тивных подходов, особенно для изучения резонансных состояний и процессоврассеяния. В дальнейшем, разработанные методы и подходы могут использо­ваться в качестве базы для моделей при рассмотрении более сложных систем,точное изучение которых не представляется возможным, и в качестве тесто­вых средств для анализа приближённых методов, разрабатываемых для такихсистем.Степень разработанности темы исследования.Исследование связанных состояний систем трёх тел началось уже на ран­нем этапе развития квантовой теории.

Задача на собственные значения сфор­мулирована корректно, так что вопрос состоял в методах вычисления энергийи волновых функций. Начиная с работ Хиллераса (см. обзор в работе [1]), точ­ность вычисления спектра атома гелия быстро росла, и через некоторое времястало возможно прецизионное сравнение теоретических и экспериментальныхрезультатов для релятивистских и квантово-механических поправок [2, 3]. Со­временные вариационные методы позволяют добиться высочайшей точности5при расчётах спектра кулоновских систем [4–6], хотя для произвольных потен­циалов точность расчётов оказывается ниже.Другой тип состояний, представляющий несомненный интерес при изуче­нии квантовых систем – резонансные состояния. Такие состояния имеют конеч­ное время жизни, и обычно ассоциируются с полюсами аналитического продол­жения -матрицы или матричных элементов резольвенты.

Подробный обзорразнообразных методов определения и исследования резонансов можно найтив работах [7–9]. Одним из хорошо разработанных и используемых методов дляопределения резонансных состояний является метод комплексных масштабныхпреобразований (вращений). Разработка теории масштабных преобразований,математически описывающей резонансы в квантовых системах, была начата вработах Агилара и Комба [10] и Балслева и Комба [11].

В работе Саймона [12]этот подход был использован при определении квантовых резонансов. Сейчасэтот метод используется не только для теоретического и вычислительного ис­следования резонансов [13], но и как важное средство при решении задачи рас­сеяния.Корректное описание процессов рассеяния в квантовой системе трёх ча­стиц является одной из центральных проблем в физике систем несколькихчастиц.

В случае нейтральных частиц эта проблема была решена в работахЛ. Д. Фаддеева [14, 15] и С. П. Меркурьева [16]. В случае систем заряжен­ных частиц, несмотря на значительные усилия и полученные важные резуль­таты [16–20], теоретическая ситуация не достигла такой степени завершённо­сти прежде всего потому, что до сих пор равномерная асимптотика волновойфункции для системы трёх заряженных частиц в континууме не известна полно­стью. Несмотря на сложность учёта граничных условий, метод -матрицы [21]и ССС-метод [22, 23] позволяют достаточно аккуратно решать определённыйкруг задач рассеяния.Поскольку главной проблемой при решении трёхчастичных уравнений яв­ляется именно сложное асимптотическое поведение волновой функции в ко­6ординатном пространстве [16], появились методы, в которых решение задачирассеяния может быть получено с помощью решения уравнения Шредингера смаксимально простыми граничными условиями.