Диссертация (Математическое моделирование гидродинамического и электромагнитного отклика при воздействии линейных и тороидальных магнитных полей), страница 9

Размерность Φчается ̅ . Если – число инвариантов базиса, а ̅ - число уравнений (1.16), то̅ = − ̅.(1.18)Черта над ρ поставлена по тем же причинам, что и над .По определению, решение ω называется инвариантным -решением, еслисуществует ̅ функционально независимых инвариантов группы таких, что онитождественно обращаются в нуль на этом решении. В этом случае ̅ называетсярангом инвариантного -решения ω.Так как = − = + ̅ − , можно получить другое представление дляинвариантного H-решения ω:̅ = + ̅ −−̅ = − .Пусть: = (, )(1, … , = − )есть полный набор функционально независимых инвариантов группы , а решениеω определенной системы уравнений (E) задано в виде:: = ()( = 1, … , ̅).Тогда, имея в виду (1.17), инвариантное -решение ω может быть записано в видеω: (1 , 2 , … , ) = 0,( = 1, … , ̅)(1.19)причем, функции () должны быть функционально независимы, так что: (‖ ‖) = ̅.(1.20)47В силу того, что уравнения (1.19) определяют данное решение ω (позволяют найтивсе функции ( = 1, … , ̅)), то (‖Кроме того, (‖ ‖) = ̅.‖) = ̅, что следует из того, что:=( ) ∙ ( ) и известного свойства ранга произведения матриц: ранг произведения не превосходит наименьшего из ранга сомножителей.Итак, можем записать необходимое условие существования инвариантных -решений: =− ≥̅, (‖ (,)‖) = .̅̅̅(1.21)При его выполнении можно перейти от системы () к системе (|), связывающейтолько инварианты = (, ), функции (1 , 2 , … , ) и производные от по .

Для этого, написав равенства (1.19) с неопределенными функциями (), применяем к ним операторы полного дифференцирования = + и получаем систему уравнений ( ) ∙ ( ) + ( ) ∙ ( ) = 0.Из этой системы находим все ( = 1, … , ; = 1, … , ̅). Эти выражения для подставляем в уравнения системы (), что и приводит к системе (|). Решенияэтой системы являются многообразиями в -мерном пространстве точки I, а насинтересуют только те решения, которые дают ̅ независимых уравнений (1.19).Поэтому система (|) на самом деле содержит только − ̅ независимых переменных.

В силу того, что это число равно рангу инвариантного -решения ̅ , окончательно получаем: система (|) -это система от ̅ = − независимых переменных; число этих переменных равно рангу искомых инвариантных -решений.Система (|) проще системы (), т.к. всегда ̅ < (̅ = − ); она называетсяфактор-системой.48Часто переменные и в инвариантах группы «разделяются»: инварианты (, ) можно разбить на две группы – инварианты (, ) ( = 1, … , ̅) иинварианты ̅+ () ( = 1, … , ̅ ), – причем последние не зависят от .

При выполнении условия (1.21), которое в этом случае имеет вид| | ≠ 0, уравнения(1.19) можно записать как (, ) = ( +1 (), … , ()),где ( = 1, … , ̅) будут независимыми функциями. В этом случае, введя для инвариантов ̅+ () специальные обозначения, инвариантные –решения можнозаписать в виде (, ) = (1 , … , ̅ ), = + (),( = 1, … , ̅; = 1, … ̅ ).Тогда система (|) становится системой относительно функций () от ̅ независимых переменных 1 , … , ̅ .Для рассматриваемой нами системы (4.1) вводится вектор-функция =(, , ) и рассматривается каждое решение = (, ) как многообразие в пространстве = 5 (). Не умаляя общности, обозначим его тем же символом – .Число задающих его скалярных уравнений ̅ = 3.Обозначим через подгруппу основной допускаемой группы (для системы(1.9)).

Тогда, по определению, решение Ω называется инвариантным –решением,если Ω является инвариантным многообразием группы . В том случае, когда многообразие (решение) есть не особое многообразие группы , требование инвариантности накладывает определенные ограничения на алгебру Ли операторов L̅, в пространстве инвариантов, должна описы(группу ). Во-первых, проекция ваться тремя независимыми уравнениями (в системе (1.17) – ̅ = 3). Во-вторых,уравнения (1.17) должны быть разрешены относительно вектора = (, , ) илив более общей записи –(1 , 2 , 3 ). Это будет только в том случае, если ‖ ‖ = 3.49В силу того, что =( )∙( ), а R‖R‖( ‖ ≥ 3, получим:)‖ = 3.Тогда, из (1.18) следует̅ = − ̅ = 2 − ,(т.

к. = 5 − )и, следовательно, в силу того, что ̅ ≥ 0, получим ≤ 2. Таким образом, в данномслучае, инвариантные -решения существуют. При построении фактор–системы(|) для уравнений (1.9) следует учесть тот факт, что инварианты, образующиебазис, допускаемой подгруппы основной группы, могут быть «разделены». С одной стороны это инварианты 1 , 2 , 3 , зависящие только от , , , с другой стороны – инвариант 3+̅ , зависящий только от , и . Таким образом, если положить:̅ (, , ) = ( = 1,2,3) 3+̅ ( , ) = ( ̅ = 1),то уравнения (1.19) можно записать так:̅ () (, , ) = ( = 1,2,3).Эти уравнения можно разрешить относительно , т.

к. | | ≠ 0, и представить ин-вариантные -решения в виде̅(), , ). = ((1.22)Подставив эти выражения в исходную систему уравнений (), получим уравнения̅() с независимой переменной . Это и естьотносительно неизвестных функций фактор–система (|).Введенное инвариантное -решение позволяет находить частные решениясистемы уравнений () по любой подгруппе ∈ , где - группа, допускаемаясистемой (). Как было показано, важной характеристикой инвариантных -решений служит их ранг ̅ , показывающий количество независимых переменных в фактор–системе (|). Исходя из этого, классификация инвариантных -решенийопределяется по рангам этих решений. При > 0 из формулы̅ = − можно определить значения ̅ : ̅ = 0,1, … , − 1.50Задавая конкретное значение ̅ = ̅А , определяем на каких подгруппах можно строить инвариантные решения, ранга ̅А .Для рассматриваемой системы уравнений (1.9) ̅ равно 0 или 1. Если ̅ = 0,̅ = и (14) представляют решение, зависящее от трех постоянных.

Соотто ветствующая фактор–система (|) представляет собой алгебраические уравнения, связывающие эти постоянные. Для ̅ = 1 фактор–система (|) представляетсобой систему обыкновенных дифференциальных уравнений.Особый интерес для задач физики и механики представляют инвариантные-решения, когда в качестве подгруппы выбрана группа растяжений.1.4.

Использование программного комплекса ANSYS.CFX в задачахвычислительной гидродинамикиКак указывалось, численное моделирование является весьма привлекательным методом решения научных и практических задач. Это привело к тому, чтосформировалось целое направление – вычислительная гидродинамика. В этойсвязи будет уместно провести небольшое сравнение экспериментального и теоретического подходов. Экспериментальное исследование позволяет получить наиболее надежную информацию, используя непосредственные измерения.

Натурныеусловия можно воспроизвести на полномасштабной установке. Проведение экспериментов на мелкомасштабных моделях, в большинстве случаев, позволяет экстраполировать нужную информацию на полномасштабный объект. Однако помимопогрешностей измерений, возможны ситуации, в которых измерения просто затруднены. Теоретический подход характерен тем, что определяются решения используемой математической модели, а не характеристики физического процесса.Математическая модель, как правило, состоит из систем дифференциальных уравнений, решение которых можно получить для узкого круга задач, имеющих практический интерес. В этой связи в последнее время большую популярность приобретают численные методы исследования, как некая альтернатива дорогостоящих итрудоемких экспериментальных.

Современные расчетные методики, с одной сто-51роны, и мощные компьютеры, с другой, позволяют проводить анализ сложных инженерно-технических задач в самых разных областях практической деятельности.Таким образом, решение сложных проблем становится (и уже стало) доступнымлюбому заинтересованному пользователю. Не вызывает никаких сомнений то, чтоподобного рода инструмент может и должен стать большим помощником в работеисследователя. Однако, в отличие от инженера, имеющего дело с конкретнымустройством и ставящим перед собой цель получить число; деятельность ученогонаправлена на изучение механизма явления.

Имея в своем распоряжении одно орудие – компьютер и пакет прикладных программ – они решают разные задачи. Но ив том, и в другом случае, полученным результатам необходимо доверять. Следовательно, вопрос об адекватности полученного (рассчитанного) результата должныставить перед собой оба.В этой связи многолетнее успешное применение комплекса ANSYS в автомобилестроении, самолетостроении, судостроении, турбомашиностроении, нефтегазовой отрасли, атомной и алюминиевой промышленности можно считать надежным фундаментом [16–18, 41, 95, 104, 106, 113, 137, 158 и др.].

Этот вычислительный продукт позволяет адекватно воспроизводить внешнюю и внутреннюю аэродинамику, гидро- и газодинамику, напряженно–деформированное и тепловое состояние, течение многофазных сред, горение и многое другое. Это как раз те процессы, с которыми сталкиваются при проектировании и создании новой техники,где постановка задач с помощью компьютерного моделирования снижает затратына разработку, экономит время, повышает надежность и безопасность отдельныхузлов и изделий в целом, улучшает технологический процесс. Все вышеизложенное позволяет говорить, что на помощь научному работнику и инженеру пришлавычислительная гидромеханика, позволяющая реализовать в механике жидкости игаза вычислительный эксперимент.