Диссертация (Математическое моделирование гидродинамического и электромагнитного отклика при воздействии линейных и тороидальных магнитных полей), страница 10

Основным элементом здесь является математическая модель – система уравнений вместе с начальными и граничными условиями,описывающими интересующий процесс. При этом главным аспектом является приближение математической (виртуальной) модели к описанию процессов, реально52наблюдаемым в эксперименте. В этой связи, необходимо не только воспроизведение интересующих параметров, но и правильное описание отдельных процессов,побочных явлений и их общее взаимодействие. Однако первоначально целесообразно провести серию тестовых расчетов и тем самым апробировать комплекс применительно к решению геометрически простых, но глубоко физичных задач в интересующей проблематике, например, по тепло–массообмену или магнитной гидродинамике.Численные методы позволяют составить математическую модель и провести численное моделирование практически для любой практической задачи.

Поэтому по сравнению с экспериментальным изучением, численное решение обладает целым рядом преимуществ, среди которых отметим главные. Во-первых, – этонизкая стоимость (значение этого фактора возрастает с увеличением масштаба исложности изучаемого процесса). Во–вторых, полнота информации (находятсязначения всех переменных во всей изучаемой области).

В–третьих, моделированиекак реальных условий (что не всегда доступно в эксперименте), так и идеальныхусловий (когда при изучении физических закономерностей можно сосредоточитьвнимание на нескольких существенных факторах и исключить второстепенные).В–четвертых, – это скорость расчетов.Рассмотрим кратко историю создания вычислительного комплекса ANSYS,одного из лидеров в вычислительной гидродинамике [95, 131]. В 1957 году Ф.

Харлоу сотрудник Лос–Аламосской лаборатории разработал PIC – метод (метод частицв ячейках) для решения одномерных задач гидродинамики. Затем метод был распространен на двух- и трехмерные задачи. Позднее, в 1965 году Ф. Харлоу совместно с Дж. Уэлчем разработали MAC–метод (метод маркеров и ячеек). Суть которого заключается в том, что по положению частиц-маркеров (не участвующихнепосредственно в вычислениях) можно судить о течении, так же как введениекраски позволяет визуализировать поток жидкости. Следующим важным этапомстали работы Б. Сполдинга выполненные в 1960 – 1970–х годах и продолженныеего учеником С.

Патанкаром в 1970 – 1990–х годах. Именно эти ученые применили53концепцию обобщенного уравнения и метод контрольного объема (КО) для получения дискретных аналогов уравнений тепло- и массообмена и гидродинамики. Наэтих моментах стоит остановиться подробнее, так как они лежат в основе построения вычислительного комплекса ANSYS.

Рассмотрение дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамику и процессы тепло- и массообмена, показывает, что искомые переменные подчиняются обобщенному закону сохранения, который можно записать в виде∂() + ∇ ∙ () = ∇ ∙ (Γ ∇) + S,∂где – зависимая переменная, Γ – коэффициент диффузии, S – источниковыйчлен. Конкретный вид Γ и S зависит от смысла переменной .

Обобщенное уравнение состоит из четырех слагаемых, характеризующих нестационарность, конвекцию, диффузию и выделение/поглощение. Зависимая переменная обозначает различные величины: компонента скорости, температура, кинетическая энергия турбулентности, концентрация химической компоненты и т.д. При этом, в зависимости от переменной, коэффициенту диффузии Γ и источниковому члену S необходимо придавать соответствующий смысл. В случае если диффузионный поток зависит не только от градиента соответствующей переменной, его можно представить как часть источникового члена. Таким образом, все интересующие уравненияможно рассматривать как частные случаи обобщенного уравнения. Это позволяетнаписать общую последовательность операций для его решения, при создании программы.

А это дает возможность сформулировать обобщенный численный методдля многопрофильных программ. Остановимся теперь на методе КО, основная идеякоторого проста и физически «прозрачна». Расчетная область разбивается (иногдаговорят дискредитируется) на непересекающиеся объемы так, что каждая узловаяточка содержится в одном объеме. Узловые точки (или сеточные узлы или простоузлы) – это конечное число точек в изучаемой области, в которых рассматриваютсязначения зависимой переменной.

Рассматривая значения в узлах, мы меняем, свойственную дифференциальным уравнениям, непрерывную информацию на дискрет-54ную. Затем решаемое уравнение интегрируется по каждому КО. При этом используют кусочные профили, описывающие изменение между узлами. В итоге, находится дискретный аналог дифференциального уравнения. Этот аналог реализует закон сохранения для КО конечных размеров, абсолютно так же, как дифференциальное уравнение выражает сохранение величины для бесконечно малого объема.

Как видно, в методе КО заложено точное интегральное условие сохранениямассы, импульса, энергии и пр. во всей расчетной области. Это верно для любогоколичества узловых точек. То, что значения рассматриваются только в узлах, похоже на натурный эксперимент, в котором изучаемая величина измеряется в определенных точках.Вернемся к истории вопроса. В 70–е годы в Шеффилдском университетеДж.

Свитенбанк с коллегами занимался разработкой программы, известной сейчаскак FLUENT. Первая версия, которой появилась в 1983 году. Немного позднее, в1987 году появилась программа FLOW–3D. Она так же была разработана в Англии,в Управлении атомной энергетики. В середине 90–х годов этот программный продукт переименован в CFX–4. Впоследствии обе эти программы были приобретеныкомпанией ANSYS.В настоящее время большинство пользователей используют два базовых пакета ANSYS.CFX и ANSYS.FLUENT, которые, несмотря на методологическуюобщность, имеют разные методы дискретизации.

В программе ANSYS.CFX используется метод КО, при котором переменные рассчитываются в узлах, а в программе FLUENT – в центре ячеек. Пример сеток показан на рисунке 1.255Рис. 1.2. Схема контрольного объема для программы CFX слева (контрольный объем центрирован по узлу) и FLUENT – справа (контрольный объемцентрирован по ячейке).В первом случае более точно вычисляются производные (градиенты), т.к.грани, где они определяются, расположены посредине между соседними узлами.Это дает лучшее приближение для конвекционно-диффузионный задач.

Во второмслучае, когда поверхности КО совпадают с поверхностями ячейки сетки, болеевысокая точность достигается для величин получаемых интегрированием пообъему.1.5. Основные понятия метода сращиваемых асимптотических разложенийКак правило, началом решения той или иной задачи физики и техники является построение математической модели. В процессе её создания стараются выделить главное, наиболее существенное и пренебречь второстепенным.

На этом путинеобходимо определить порядки величин различных слагаемых уравнений (с помощью которых моделируется явление или процесс). Достигается это их сравнением между собой и с заранее выбранными их характерными значениями. Если от-56дельные слагаемые рассматриваемой системы сильно отличаются по своим характеристикам, то можно ввести малые (большие) параметры, представляющие их отношения. В результате асимптотической редукции получается система, содержащая отношения и величины одного порядка. Из этого понятно, что само математическое моделирование тех или иных явлений (процессов) носит асимптотическийхарактер.Опишем процедуру применения этого метода, следуя работам [19, 75], напримере алгебраического и дифференциального уравнений.Пример 1.

Решить уравнение 2 − (2 + 3) + 2 = 0,(1.23)где – малая величина, параметр возмущения 0 < < 1.Если = 0, имеем невозмущенное уравнение с известными корнями: 2 − 3 + 2 = 0,1 = 1, 2 = 2.Будем теперь искать решение уравнения (1.23) в виде асимптотического разложения = () = 0 + 1 + 2 2 + ⋯(1.24)Подставив это разложение в (1,23), получим:(0 + 1 + 2 2 + ⋯ )2 − (2 + 3) ∙ (0 + 1 + 2 2 + ⋯ ) + 2 = 0.Опуская алгебраические преобразования, приравняем выражения при одинаковыхстепенях ε в получившемся уравнении: 0 : 02 − 30 + 2 = 0,откуда 01 = 1 , 02 = 2, 1 : 20 1 − 20 − 31 = 0, откуда 11 = 2 : 20 2 + 12 − 21 − 32 = 0, откуда201201 −321 =22 == −2, 12 =2211 −11201 −32212 −12202 −3Таким образом решения уравнения можно записать в виде1 = 1 − 2 + 8 2 + ⋯ .

,{2 = 2 + 4 − 8 2 + ⋯ .= −8,= 8.202202 −3= 4,57Видно, что «возмущенное» решение, при = 0, переходит в решение невозмущённой задачи.Пример 2. Найти решение краевой задачи ′′ + ′ + = 0,(1.25)0 ≤ ≤ 1, (0) = 0, (1) = 1.(1.26)0 < ≪ 1.Представим решение в виде разложения по целым степеням ε: (, ) = 0 () + 1 () + 2 2 () + ⋯(1.27)Подставляем это разложение в уравнение (1.25) и приравниваем выражения приодинаковых степенях ε 0:0′ + 0 = 0,1:0′′ + 1′ + 1 = 0,(1.28).....................Общее решение первых двух уравнений (1.28) имеет вид0 () = 0 − ,1 () = (1 − 0 ) − .(1.29)Константы 1 и 0 находятся из граничных условий (1.26)0 (0) + 1 (0) +…=0,0 (1) + 1 (1) + ⋯ = 1.(1.30)При этом должны выполняться следующие равенства, так как (1.30) не зависят отε:0 (0) = 0, 0 (1) = 1,1 (0) = 0, 1 (1) = 0.(1.31)Видно, что 0 и 1 и так далее не могут одновременно удовлетворить условиям (1.31).

Вопрос о том, какие условия должны быть отброшены часто решаетсяна основе физических соображений, а в простых случаях – формально математически. Можно показать, что в данной задаче, должны быть опущены условия при =0.Определив 1 и 0 из (1.31), можно записать (1.27) в виде = 1− + 1− (1 − ) + ⋯(1.32)58Видно, что приближённое решение непригодно вблизи = 0 и достаточноприемлемо аппроксимирует точное решение вне окрестности указанной точки. Обратим внимание на то, что вблизи = 0 существует так называемый пограничныйслой – область, в которой точное решение быстро изменяется, для того, чтобы удовлетворить граничному условию при = 0.

Разложение (1.32) называется внешним (от английского – отсюда верхний индекс «О») и дает хорошее приближение к точному решению вне пограничного слоя.Рис. 1.3. Внешнее (1.32) и внутреннее (1.39) разложения и точное решение(показано кружками) уравнения (1.25).На рисунке 1.3 построенного для = 0.01 кружками показано точное решение (1.25), разложения внешнее и внутреннее.59Для того, чтобы получить решение в области пограничного слоя, необходимо найти внутреннее разложение (от английского – отсюда верхний индекс «»). Для этого нужно ввести новые переменные как независимые, так и зависимую (в общем случае). Выбор этих переменных требует несложного анализа. Какправило, вместо вводят новую переменную=()тем самым как бы «растягивая» область пограничного слоя. Вид функции ()определяют из согласования внутреннего и внешнего разложений.

В рассматриваемом примере можно положить = . Тогда:=.(1.33)В этом случае внутреннее разложение ищем в виде (, ) = 0 () + 1 () + 2 2 () + ⋯(1.34)Подставляем это разложение в уравнение (1.25) и приравниваем выражения приодинаковых степенях ε 0:0′′ + 0′ = 0,1:1′′ + 1′ + 0 = 0,.....................Поскольку (1.34) ищется в области пограничного слоя, оно должно удовлетворятьграничным условиям при = 0 (соответственно = 0)0 (0) = 0, 1 (0) = 0, ….(1.35)Тогда общее решение первых двух уравнений (1.35) имеет вид0 () = 0 (1 − − ),1 () = 1 (1 − − ) − 0 (1 + − ),(1.36)где 0 и 1 – произвольные константы.