Диссертация (Математическое моделирование гидродинамического и электромагнитного отклика при воздействии линейных и тороидальных магнитных полей), страница 8

В этих переменных система уравнений газовой динамики в одномерном случае выглядит компактно и просто. Обозначим: – массовая переменная, – плотность, – давление, γ – показатель адиабаты, –скорость. Тогда система уравнений примет вид [21]:+ 2+= 0,= 0,+ − ( − 1)(, ) = 0,(1.9)41где (, ) мощность источника (стока) энергии. Лагранжева переменная связана с эйлеровой переменной соотношением = · .Функция может иметь различную природу происхождения – например, энергию,высвобождающуюся (поглощающуюся) в результате химических реакций или уносимую излучением.

Величина (, ) является произвольной функцией давления и плотности , которые в свою очередь удовлетворяют уравнению состояния: = ,где – газовая постоянная.В групповом анализе вводятся в рассмотрение точечные преобразования мерного евклидова пространства в себя. В качестве координат точки в этомпространстве – имея ввиду применение его к дифференциальным уравнениям –принимают значения всех переменных: зависимых и независимых. Независимыепеременные обозначим как ( = 1, … , ), зависимые переменные – как (1, … , ), где + = . Так, для рассматриваемой нами системы уравнений(1.9) эти преобразования, при которых система (1.9) для 5-мерного пространстваостается инвариантной (не изменяет своего вида), можно записать как = 5 (, , , , ).Если эти преобразования обладают групповыми свойствами (образуютгруппу), то говорят, что, эта группа допускается данной системой уравнений.

Всвязи с этим возникает задача найти все группы допускаемые данной системой. Вдальнейшем однопараметрическую локальную непрерывную группу преобразований будем называть просто группа 1 . Задача поиска таких групп алгоритмизирована и сводится к нахождению однопараметрических групп Ли преобразованийпространства : ′ = (, ), ∈ .(1.10)Здесь, а – это параметр, тогда свойства группового преобразования можнозаписать так((, 1 ), 2 ) = (, (1 , 2 )),(, 0) = .42Функция (1 , 2 )предполагается дважды непрерывно дифференцируемой.Приведем две однопараметрические группы, допускаемых системой (1.9).А. ′ = + , ′ = , ′ = , ′ = , ′ = .Б. ′ = , ′ = , ′ = , ′ = , ′ = + .(1.11)В первом примере стоит группа переносов во времени, а во втором – группапереносов по скорости (группа Галилея). Непосредственной подстановкой преобразований (1.11) в рассматриваемую систему (1.9) можно проверить, что она не меняет своего вида, т.е.

в штрихованных переменных выглядит так же, как и в нештрихованных. Таким образом, описываемые системой (1.9) процессы не зависятот выбора системы координат: покоящейся или движущейся равномерно и прямолинейно. Эти факты, являющиеся основой механики Ньютона, получены с использованием групповых свойств.Любой однопараметрической группе преобразований (1.10) ставится в соответствие векторное поле :=((, 0)),(1.12)координаты этого вектора можно записать так(1 , 2 , 1 , 2 , 3 ),где 1 , 2 , 1 , 2 , 3 – называют инфинитезималями.Векторное поле (1.12) также представляют в виде дифференциального оператора .

Так для системы (1.9) этот оператор имеет вид ∙ = 1 + 2 + 1 + 2 + 3 .(1.13)Видно, что независимым переменным соответствуют координаты, обозначенныечерез , а зависимым – через η. Это общепринятая система обозначений. Линейныйдифференциальный оператор X = ′ () ′, по определению, называется инфини-тезимальным оператором или просто оператором, а функции ′ () называются координатами оператора X.Важность понятия оператора группы 1 становится ясной при рассмотрении преобразования некоторой функции (). Пусть ∈ , а Т – некоторое пре-43образование и ′ = Т.

Преобразованной функцией Т(), по определению, называется функция, значения которой равны значениям исходной функции в преобразованной точкеТ() = (Т) = ( ′ ).Если преобразование Т принадлежит группе 1 , то Та () будет функциейx и параметра а. Вычислим производную по а преобразованной функции( ′ ) = ′ ′ Учитывая, что X ′ = ( ′ ) ′= ( ′ ) ′= X ′ ( ′ )., получим( ′ ) = X ′ ( ′ ),и положив в этой формуле = 0, будем иметь( ′ )|=0 = X().Отсюда видно, что линейная часть изменения () при = 0 представляетсобой выражениеТа () − () = X() ∙ ,оператор Х получил название инфинитезимального преобразования, т.е.

бесконечно малого.Считается, что система уравнений (1.9) допускает оператор (1.13), если онадопускает группу 1 , порожденную этим оператором. Для последующего изложения необходимо отметить два важных обстоятельства, характеризующих системууравнений.Первое. Если система уравнений допускает два оператора 1 ∙ и 2 ∙ , тоона допускает также их любую линейную комбинацию1 (1 ∙ ) + 2 (2 ∙ ) = (1 1 + 2 2 ) ∙ (1 , 2 = ).Из этого следует, данная система уравнений допускает линейное векторноепространство операторов. Это пространство обозначается , где r его размерность.Второе.

Вводится понятие коммутатора двух операторов 1 ∙ и 2 ∙ пофоруле[1 , 2 ] ∙ = (1 ∙ )(2 ∙ ) − (2 ∙ )(1 ∙ ).44И если система уравнений допускает операторы 1 ∙ и 2 ∙ , то она допускает также и их коммутатор.По определению, линейное пространство операторов называется алгебройЛи, если для любых двух 1 ∙ и 2 ∙ , принадлежащих , их коммутатор [1 , 2 ] ∙ также принадлежит . Учитывая, указанные два свойства системы уравнений,можно сказать, что множество всех допускаемых операторов, образует алгебру Ли.Итак, допускаемой уравнениями (1.9) группе соответствует допускаемаяалгебра Ли . Это соответствие распространяется также на подгруппы и подалгебры.С помощью допускаемой группы возможно построение классов частных решений.

Важную роль здесь играет понятие инварианта. Функция : → называется инвариантом группы , если для любой функции ∈ тождественно выполняется (()) = (). В случае однопараметрической группы 1 , определяемой как ′ = (, ), для всякого значения а должно выполняться: ((, )) =(). Если продифференцировать это тождество по а и положить = 0, то получим( ∙ )() = 0.(1.14)В силу того, что группе принадлежат однопараметрические подгруппызадаваемые операторами ∙ ∈ , то тождество (1.14) выполняется для любогоинварианта I с любым оператором, принадлежащим её алгебре Ли.

Итак, инвариант() должен быть решением системы линейных дифференциальных уравнений( ∙ ) = 0( = 1, … , ).(1.15)Пример. Для группы 1 с законом преобразования А в (1.14) система (1.15)сводится к одному уравнению =0,решение, которого (инвариант) имеет вид = (, , , ) .Система (1.15) является полной. Далее приведём для справки [85] некоторые фактыиз теории дифференциальных уравнений.

В силу того, что для произвольных α и βкоммутатор [ , ] ∙ равен линейной комбинации операторов ∙ и ∙ , существует функциональный базис инвариантов451 , 2 , … , ,такой, что число базисных инвариантов равно = −R. Здесь – это размерностьпространства, а R – ранг матрицы М: = ‖ ‖ ,составленной из координат всех базисных операторов ∙ ( = 1, … , , =1, … , ).Для рассматриваемой нами системы (1.9) = 5, а матрица М имеет вид:11 21 11=(⋮ 1 2 121⋮231⋮ ).3Наряду с понятием инварианта, важную роль играет понятие инвариантногомногообразия группы.

Пусть Φ некоторое многообразие («поверхность») в идана группа преобразований . Тогда, по определению, многообразие Φ называется инвариантным многообразием данной группы , если для любой точки ∈Φ и преобразования ∈ точка ′ = () также принадлежит Φ. Другими словами преобразования группы переводят Φ в себя. Если многообразие Φ в пространстве X регулярно задано системой уравнений () = 0( = 1, … , ̅ ),(1.16)то критерий инвариантности многообразия имеет вид( ∙ ) ()| = 0Φ( = 1, … , ̅) .Это условие необходимое и достаточное.

Черта над количеством уравнений ̅ поставлена, для того, чтобы подчеркнуть отличие от лагранжевой переменной , исохранить общепринятое обозначение.Очень важной, для построения частных решений, является теорема о представлении инвариантных многообразий [85, 89].Теорема. Всякое не особое инвариантное многообразие группы можетбыть задано системой уравнений вид (1.16), левые части которых есть инвариантыгруппы (без доказательства).46По определению, многообразиеΦ ∈ называется неособым, если(|Φ ) = . В противном случае, когда ранг М на многообразии Φ меньше ее основного ранга, многообразие Φ называется особым.

Поэтому, если 1 , 2 , … , является базисом инвариантов группы , то согласно теореме о представлениинайдутся такие функции инвариантов, что уравнения данного не особого многообразия группы можно предствить в виде (1 , 2 , … , ) = 0,( = 1, … , ̅).(1.17)̅ , в пространстве инварианЗадаваемое этими уравнениями многообразие Φтов (1 , 2 , … , ), называется проекцией данного неособого инвариантного мно̅ называется рангом данного многообразия и обознагообразия Φ.