Диссертация (Математическое моделирование гидродинамического и электромагнитного отклика при воздействии линейных и тороидальных магнитных полей), страница 5

Михайлова «Математическое моделирование» [107] указано: «… сущность математического моделирования состоит в замене исходного объекта его образом – математической моделью – и дальнейшемизучении модели …Сама постановка вопроса о математическом моделировании какого-либо объекта порождает чёткий план действий. Его можно условно разбить натри этапа: модель – алгоритм – программа.» Рассмотрим эти основные этапы.МодельОбъектПрограммаАлгоритмВначале выбирается (строится) математическая модель.

На этом этапе, какправило, решаются две задачи: создание математической модели и её исследование. Разные по сути, эти задачи глубоко взаимосвязаны, поскольку при созданиимодели следует учитывать возможности её изучения, а при исследовании можетпоявиться необходимость уточнения построенной модели. Сама модель (или её части) исследуется теоретическими методами для получения важных предварительных знаний об объекте и понимания существа происходящих процессов.

Но это26необходимое понимание не всегда является достаточным и во многих случаях требуются более точные количественные данные, что, безусловно, приводит к усложнению модели.Второй этап – выбор (или разработка) алгоритма для реализации модели накомпьютере.На третьем этапе создаётся программа, «переводящая» модель и алгоритмна понятный компьютеру язык.И в завершении процесса создания эту триаду проверяют на адекватностьисходному объекту. При этом производится сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными и точными решениями в областиприменимости последних.В настоящей работе под объектом понимается взаимодействие гидродинамического и электромагнитного полей.

Математической моделью служат уравнения магнитной гидродинамики, уравнения которой представляют собой законы сохранения в дифференциальной форме. Это очень важное обстоятельство учтенона втором этапе – разработке алгоритма и построения эффективного численногометода. Дело в том, что в применяемой системе компьютерного моделированияANSYS.CFX искомая переменная находится из решения соответствующего уравнения, которое рассматривается как конкретный частный случай обобщённого закона сохранения.

Это позволяет написать общую последовательность операций длярешения этого обобщённого уравнения, при создании программы. При этом в алгоритм заложено строгое выполнение интегральных законов сохранения массы,импульса, энергии во всей расчетной области. Подобная реализация эффективныхчисленных методов и алгоритмов в виде расчётного комплекса позволила получитьдостаточно универсальный инструмент, с помощью которого можно проводить вычислительные эксперименты по моделированию течений жидкостей и газов, процессов тепло- и массообмена, реагирующих и многофазных потоков и пр.

Не так27давно, в 2005–2006 гг., добавились новые возможности в виде расчета течений проводящей жидкости, находящейся в электромагнитном поле. Таким образом, численным моделированием с помощью комплекса ANSYS оказались охвачены практически все разделы современной прикладной физики. Не менее важным аспектомявляется возможность создавать пользователю свой собственный макрос, учитывающий индивидуальные особенности исследуемой проблемы, с последующим присоединением его к основному модулю программы.В дальнейшем, в результате моделирования, возможно уточнение и улучшение всех составляющих триады. В этой связи рассмотрим некоторые способы упрощения математической модели, основанные на её свойствах симметрии. Симметрия является одним из фундаментальных свойств природы.

Её наличие у изучаемого явления (процесса) означает большую простоту, по сравнению с несимметричным аналогом. Именно на этом факте базируются способы упрощения математических моделей. Характерный пример использования симметрии – это анализразмерностей и так называемая –теорема [107], применение которой уменьшаетчисло величин, участвующих в описании объекта исследования.

Значительную помощь в получении информации об исследуемом явлении может оказать анализ такназываемых инвариантных решений. Определение вида этих решений основано нагрупповых свойствах дифференциальных уравнений. Наиболее известными инвариантными решениями являются автомодельные решения. Известно, что большинство дифференциальных уравнений остаются инвариантными (неизменными) приопределённых преобразованиях, входящих в них зависимых и независимых величин. Если эти преобразования удовлетворяют определённым условиям (образуютгруппу), тогда дифференциальное уравнение может быть упрощено. При этом илиуменьшается число независимых переменных, или понижается порядок уравнения.Этот более общий подход основан на групповом методе изучения модели [107].Такого рода упрощения очень важны не только с математической точки зрения.

Какправило, дифференциальные уравнения, встречающиеся при рассмотрении прикладных задач, содержат произвольные функции и параметры, которые не строго28определены. С другой стороны, желательно, чтобы уравнения, описывающие некоторое явление были достаточно простыми. Критерием простоты может быть требование, чтобы произвольный элемент был такого вида, при котором данное дифференциальное уравнение допускает наиболее широкую группу преобразований[50].Как было отмечено во введении, максимальный эффект взаимодействиягидродинамического и электромагнитного полей достигается при взаимной перпендикулярности векторов скорости потока и индукции магнитного поля.

В наиболее общем случае таких вариантов два – линейное магнитное поле при круговомдвижении проводящей жидкости, а также тороидальное магнитное поле при прямолинейном движении жидкости. Во втором случае наиболее явно проявляетсямасштабный фактор магнитогидродинамических процессов, который приводит кзначительным затратам времени счета и памяти при численном решении задачи.Рассмотрение кругового движения позволяет значительно уменьшить масштаб и сединых позиций рассмотреть природу взаимодействия электромагнитного поля смакро- и микро- гидродинамическими течениями. Под последними понимается течение около шероховатой поверхности, при котором происходят срывы потока свершин бугорков шероховатости и возникновении в промежутках между ними циркуляционных зон. Расчет течения в подобных зонах является крайне сложной задачей, поэтому в данном случае целесообразно применять другой метод математического моделирования – это метод возмущений, в частности, метод сращиваемыхасимптотических разложений.Актуальность проводимых исследований можно сформулировать в виде перечня основных задач:1.ПроведениенесжимаемойгрупповогоанализасистемыМГД–уравненийвязкойпроводящей жидкости для дальнейшей редукции иоптимизации нахождения инвариантных решений.292.Апробация вычислительного комплекса ANSYS.CFХ на тестовых МГД –течениях.Сравнениерезультатовчисленногомоделированиясэкспериментально наблюдаемыми данными.3.Проведение вычислительного эксперимента, направленного на изучениевзаимодействия гидродинамического и электромагнитного полей вусловиях, обеспечивающих максимальный эффект этого взаимодействия.4.Изучение турбулентного течения вблизи плоской шероховатой поверхностикак при наличии внешнего магнитного поля, так и в его отсутствии.1.2.

Основные сведения об уравнениях магнитной гидродинамики.Магнитная гидродинамика (МГД) – это наука, возникшая на стыке дисциплин – гидродинамики и классической электродинамики. Как и в механике сплошных сред, используется макроскопическое понятие о жидкости и газе, которые рассматриваются как непрерывные среды, их молекулярная структура не учитывается.Непрерывность среды предполагает, что в любом малом объеме содержится оченьбольшое число частиц. При рассмотрении процессов, связанных с воздействиеммагнитного и электрического полей на вещество, магнитная гидродинамика не рассматривает электронную структуру вещества и базируется на макроскопическихпредставлениях Фарадея–Максвелла. Фарадей положил начало исследованиюэлектромагнитных процессов, происходящих в проводящей жидкости.

В 1832 годуон прочёл лекцию «Земная магнитоэлектрическая индукция», в которой прогнозировал появление электрического тока, обусловленного движением воды в магнитном поле Земли [119]. В нашей стране пионером подобных исследований был Миронов А.Т., который обнаружил удивительную способность рыб реагировать наэлектрические поля в море [72,73].30В настоящее время научно-технический прогресс вызвал необходимостьмногопланового комплексного изучения и освоения природных ресурсов, находящихся в воде и на дне морей и океанов, поскольку около 70% земной поверхностипокрыто водой, большей частью – морской. Физико-химические свойства воды всочетании с ее непрерывным, охватывающим всю толщу движением, порождаетбольшое разнообразие связанных и взаимообусловленных явлений.