Диссертация (Математическое моделирование гидродинамического и электромагнитного отклика при воздействии линейных и тороидальных магнитных полей), страница 7

Как обычно в гидродинамике, отношению двухсил в уравнениях движения соответствует определенный критерий подобия иликомбинация критериев. Так и в нашем случае о роли пондеромоторной силы судятпо величине ее отношения к силам инерции и вязкого трения. В первом случаеполучается число Стюарта – Ѕt =квадрате Ha2 =σ2 L2σL2ρ=Ha2Re, а во втором – число Гартмана в. Именно эти безразмерные параметры характеризуютполностью развитые МГД–течения. В тех случаях, когда в силу постановки задачив ней присутствует малый (большой) безразмерный параметр, приближенноерешение строится в виде асимптотических разложений по степеням малогопараметра. Здесь стоит обратить внимание на тот факт, что при построенииуказанных критериев подобия использовалась одна характерная длина L, чтоозначает одинаковость характерных масштабов изменения всех параметров.Однако могут возникнуть ситуации, когда в силу постановки задачи или изфизических соображений ясно, что характерные длины изменения различныхпеременных могут быть не одинаковы.

Это необходимо учитывать дляобоснованности применения тех или иных упрощенных уравнений. Так, например,число Рейнольдса трактуют как отношение сил инерции к силам вязкого трения ипри рассматрении задачи обтекания пластины следует внимательно выбиратьхарактерную длину. Большое число Рейнольдса показывает малую роль вязкости вобласти, сравнимой с размером пластины.

Соответственно в этом случаецелесообразно применять уравнения Эйлера. В том случае, когда число Рейнольдсавычисляется по толщине пограничного слоя, оно оказывается существенноменьше, что свидетельствует о сопоставимости сил инерции и сил трения. В этойситуации следует применять уравненияНавье–Стокса, которые сложнееуравнений Эйлера. Решение во всей области течения строится путем сращиваниярешений, полученных в двух областях существенно разных размеров, существенноразличными системами уранений. Этот пример показателен и поучителен.Упрощения производимые после введения характерных масштабов и определениячисленных значений критериев подобия не позволяют рассматривать задачу37«вообще».

Изучение происходит или глобально, или локально с последующимдовольно искусственным сшиванием решений. Магнитная гидродинамика, в этомсмысле, не исключение. Её уравнения представляют собой гораздо более сложнуюнелинейную систему уравнений, чем уравнения гидродинамики и классическойэлектродинамики, взятые в отдельности. Потому число определяющих параметрови соответсвенно критериев подобия достаточно велико.

Большие (малые)численные значения безразмерных параметров с одной стороны позволяютупростить исходную систему уравнений и получить приближённое решение, сдругой стороны – в результате упрощения – могут быть упущены тонкиефизические процессы. Так малое магнитное число Рейнольдса (Re ≪ 1)позволяет пренебречь индуцированным магнитным полем. В то же время, придвижении проводящей среды во внешнем магнитном поле (например, вгеомагнитном поле Земли) могут возникнуть локальные условия, приводящие кпоявлению индуцированного поля, кратно превосходящему начальное, возникаетназываемое МГД–«динамо» [33, 96].

При определённых сделанных упрощающихпредположениях этот эффект можно не заметить.Рис. 1.1. Изменение индукции магнитного поля, вследствии локальногоизменения скорости проводящей жидкости.В качестве примера на рисунке 1.1, заимствованном из [130], показано какнебольшойградиентгоризонтальной скоростиV вызывает деформацию38первоначально вертикального однородного магнитного поля H. Появляетсягоризонтальная составляющая поля, величина которой может быть значительной.За этот эффект отвечает последнее слагаемое в правой части уравнения (1.3) –величина ( ∙ ∇). Таким образом создаются предпосылки для того, чтобы внекоторой области течения циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру стала отличной от нуля, что приведет к появлениюиндуцированного тока в соответствии с одним из уравнений Максвелла∇ × = ,где – напряжённость магнитного поля.Появившийся электрический ток приводит к появлению силы Лоренца,которую, как источник, необходимо учитывать в уравнении движения (последнееслагаемое в правой части уравнения (1.1)).

Тем самым появилась своеобразнаяобратная связь, когда проводящая среда может усилить/ослабить первоначальноевозмущение.Этонеобходимоучитыватьприрассмотрениивозможныхупрощений.Сложный характер взаимодействия гидродинамического и электромагнитного полей обуславливает необходимость рассмотрения достаточно упрощенныхмоделей, которые, однако, схватывают суть и описывают основные закономерности изучаемых явлений.1.3. Основные понятия группового анализа дифференциальных уравнений.В системе МГД–уравнений учтено взаимное влияние гидродинамическогои электромагнитного полей.

Оно приводит к существенно неодномернымдвижениям, что значительно усложняет их теоретическое изучение. Единственныйнаиболее универсальный метод, который позволяет решать аналитически этиуравнения – это метод группового анализа (метод групп Ли). Точные решения даютвозможностьпостроить аналитическое описание процесса. Особую ценность39представляют решения, в которые входят произвольные функции. С помощьютеории групп получать точные решения можно двумя различными методами.Первый метод – это групповые преобразования известных решений: любоеизвестное решение становится источником многопараметрического семействановых решений, при условии, что изучаемая система уравнений допускаетмногопараметрическую группу.

Второй метод – нахождение инвариантныхрешений. Именно эти решения были найдены для уравнений идеальнойпроводящей жидкости [93,143–147, 151]. Частично инвариантные решения дляданного класса задач были получены в работах [25, 148, 150]. Изучение теченийнеоднородных жидкостей проводилось в работах [11, 12, 43, 127, 128]. Процессыдиссипации были учтены в работах [139, 140].

Случаи течений идеальнойпроводящей среды с однородной деформацией были рассмотрены в работах[49,76]. Следует отметить, что очень часто для поиска аналитических решенийиспользуется принцип априорного использования симметрий [36]. Как правило,математическую модель физического явления стараются максимально упростить.Чем она проще, тем легче найти необходимый метод решения. Однако здесьследует отметить, что разумное усложнение математической модели частоприводит к появлению дополнительной симметрии и, следовательно, увеличиваетвозможности поиска новых аналитических решений. В некоторых случаях болеесложная модель исследуется легче. Поясняющим суть дела примером являетсяуравнение Бюргерса [91] – упрощённая модель движения вязкого сжимаемого газа:2−= 2 ,где – скорость, – кинематическая вязкость, – время, – пространственнаякоордината.

Введение в правую часть диссипативного слагаемого усложнилозадачу. Уравнение первого порядка стало уравнением второго порядка. Однакоименно это сознательное усложнение позволяет найти решение. С помощьюизвестного преобразования:40 =2∙(ln )уравнение Бюргерса можно линеаризовать и потом свести к уравнениютеплопроводности для температуры . Дальнейший предельный переход → 0дает возможность получить решение, соответствующее задаче для «невязкой»среды. Таким образом, часто усложнение математической модели обогащает еёновыми симметриями.Как было отмечено во введении, групповой анализ дифференциальныхуравнений является мощным инструментом исследования нелинейных уравненийкак обыкновенных, так и в частных производных [9, 29–32, 91, 97, 124].

Особенноэффективно и плодотворно его применение к уравнениям, описывающим задачимеханики и физики [4–8, 10, 40, 71, 74, 79–86, 89, 93, 132–136, 138, 152, 161–163].Это происходит потому, что в принципах инвариантности определенных объектовмогут быть представлены основные законы природы. Кроме того, поиск решенийнелинейных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных) спомощью группового анализа осуществляется при помощи линейной структуры –алгебры симметрии векторных полей.Основываясь на работах [87, 88, 90], изложим необходимые сведения теории группового анализа дифференциальных уравнений. Основные понятия и методику применения изложим на примере уравнений газовой динамики. Для удобствазапишем их в переменных Лагранжа.