Диссертация (Математическое моделирование гидродинамического и электромагнитного отклика при воздействии линейных и тороидальных магнитных полей), страница 6

Составной частью этой глобальной проблемы является изучение гидрофизических и магнитогидродинамических процессов в море, носящих как научный, так и сугубо прикладной характер. Актуальны следующие задачи: создание электромагнитных системсвязи; навигация подводных аппаратов; поиск полезных ископаемых на дне морейи океанов в том числе в пределах берегового шельфа; создание аппаратуры для изучения и измерения электрического и магнитного полей в воде; исследование электрических явлений в море для определения их связи с другими физическими процессами; изучение магнитогидродинамических процессов, возникающих из-за движения морской воды в магнитном поле Земли и многие другие.

В Мировом океаневыделяют три части: материковый шельф глубиной до 200 метров и шириной около70 километров; материковый склон – переходная зона от мелководий к глубинампорядка 3 километров и шириной около 90 километров и глубоководную часть океана с глубинами от 3–х до 11 километров. Интересы большинства из вышеуказанных проблем сосредоточены в первой и второй частях. Состояние воды зависит отплотности, температуры и солености. Последние сильно изменяются по глубине иакватории Мирового океана. Помимо этого, сложную картину движения морскойводы порождают ветровые и внутренние волны, морские течения, приливы, волныцунами.Движение морской воды, как проводящей жидкости, находящейся в геомагнитном поле, является источником электрического и магнитного полей.

Это полезависит от многих факторов. К основным относятся: вид гидродинамического источника (поверхностное волнение, внутренние и гидроакустические волны, цунами, подводные землетрясения и взрывы [1, 28, 44, 45, 48, 51–53, 109, 110, 112,31117, 118, 142, 160,] и др.), электрическая проводимость как самой воды (изменяющаяся в зависимости от температуры, солености и широты места), так и проводимость дна, учитывая изменение рельефа. С одной стороны, эти поля могут бытьпомехами при приеме сигналов в воде от передающего устройства, с другой – поих параметрам можно определять характеристики движения морской воды, вызванные как естественными, так и техногенными факторами.

Кроме индуцированныхполей от морского источника, существуют поля ионосферного происхождения [24,26]. Эти поля широко используются в геофизике для изучения электрическихсвойств Земли. В этой связи изучение индуцированного магнитного поля, обусловленного движением морской воды, представляет несомненный интерес, т.к. позволяет определить параметры ее течения и решать задачу идентификации объекта,вызвавшего изменение магнитного поля.Здесь уместно провести краткую классификацию электромагнитного поляМирового океана. Это поле представляет собой совокупность полей различногопроисхождения, формирующихся внешними и внутренними источниками.

Внешние источники обуславливают магнитотеллурические поля, порождаемые разнообразными физическими процессами в ионосфере, магнитосфере, атмосфере и внедрах Земли. Внутренние источники генерируют поля за счет гидродинамическихдвижений. Из указанных двух типов полей, к настоящему времени наиболее полноизучены поля внешних источников. Менее изучены – поля гидродинамическогопроисхождения, содержащие полезную информацию как о самом источнике, так ио его параметрах. Кроме этого, эти поля обладают информацией об электрическихсвойствах придонных, донных и глубинных пород. Все это позволяет считать указанные электромагнитные поля перспективными для проведения разведочного зондирования (от дна – до десятков километров вглубь) на акваториях, для выявлениястроения осадочного чехла и поиска полезных ископаемых на шельфе [3, 37].

Помимо этого, гидродинамические факторы являются основой электрохимических иэлектрокинетических процессов. Стоит упомянуть и об электросейсмическом эффекте, обнаруженном впервые в 1939 году А.Г. Ивановым – появлении разности32потенциалов между точками пористой среды, расположенными на различных расстояниях от источника упругих волн (т.е. места землетрясения, в том числе и подводного) [37, 38]. Именно этот факт открыл возможность для получения при геофизических исследованиях качественно новой информации, которая может бытьиспользована как при исследованиях строения дна океана в геофизике, так и прифизическом (электромагнитном) мониторинге геодинамических и иных процессов,протекающих в горной местности [22], на поверхности и в недрах Земли.

Именноэти обстоятельства стимулировали интерес геофизиков к данной проблеме и побудили провести в последние 10–20 лет исследования, направленные на изучение ееразличных аспектов [3]. Теория этого явления впервые была развита Я.И. Френкелем [121].Остановимся на основных уравнениях магнитной гидродинамики, которыепредставляют собой уравнения гидродинамики и классической электродинамики,дополненные уравнением состояния и уравнениями физических свойств жидкости.Так, для изотермического течения вязкой несжимаемой проводящей жидкости закон сохранения импульса имеет вид [77]:(+ ( ∙ ∇)) = −∇ + ∆ + × .(1.1)В этом уравнении – массовая плотность жидкости, – скорость движения, ∇ – оператор Гамильтона (набла), – давление, – коэффициент динамической вязкости, j – плотность тока, B – индукция магнитного поля.Плотность тока находится из обобщенного закона Ома [111, 115]: = ( + × ),(1.2)где – коэффициент электропроводности, – напряженность электрическогополя, а фигурирующий здесь вектор магнитной индукции находится из системыуравнений Максвелла.

Однако при изучении взаимодействия движущейся жидкости с магнитным полем удобно использовать уравнение переноса для вектора вформе [42, 77], аналогичной уравнению (1.1):33B= ∆ + ( ∙ ∇),(1.3)где – кинематическая магнитная вязкость.Кроме того, для расширения возможностей численного моделирования, индукция магнитного поля представляется в виде = 0 + . Здесь 0 – поле внешних источников, −индуцируемое магнитное поле.

Тогда уравнение (1.3) приметвид [42]:∂∂t+(u ∙ ∇)b=∇∙(1 ∇) + ((0 + ) ∙ ∇) − ( ∙ ∇)0 .(1.4)Последние слагаемые в правой части уравнений (1.1) и (1.3), играющие рольисточника–стока, отвечают взаимодействию между электромагнитным полем идвижением жидкости. Они выражены через векторное произведение, наибольшеезначение которого, при прочих равных условиях, достигается, когда определяющиеего векторы взаимно перпендикулярны.

Именно в этом случае создаются наиболееблагоприятные условия для перехода энергии магнитного поля к жидкости.Аналитические решения МГД–уравнений крайне редки и получаются, какправило, в результате определенных допущений, не всегда строгих иобоснованных, и, кроме того, для достаточно простых геометрий. Из уравнений(1.3) и (1.4), следует, что основным источником упрощений здесь являетсявеличина магнитного числа Рейнольдса. Рассмотрим некоторые моменты,связанные с введением этого понятия следуя классическим работам [15, 130].Величину =1 в уравнениях (1.3), (1.4) называют кинематической магнитнойвязкостью, аRe =– магнитным числом Рейнольдса где L и – это характерныеразмер и скорость соответственно.

Есть простая физическая интерпретация Re –оно равно отношению двух характерных временных постоянных:34Re =где время τ~L2τL=τLτ= ,Tопределяет «диффузию» поля на расстояние L, когда жидкостьпокоится, это время затухания (его оценка будет получена дальше), а T – время,связанное с движением среды.

Существенное упрощение уравнений магнтнойгидродинамики происходит при очень больших Re ~109 – это областькосмических масштабов, которая является предметом изучения астрофизики, и приочень малых Re ~10−4 – что соответствует движению морских волн (областьинтересов морский электродинамики). Отношение характерных времен можнонаглядно интерпретировать с помощью интегральной формулы, полученнойКаулингом [141]. Её вывод можно выполнить, применяя теорему Стокса [94] кодному из уравнений Максвелла:∇×=−∂∂и используя обобщенный закон Ома (1.2), получим:∫ = − ∫ ∙ = ∫( × ) ∙ − ∫ rot ∙ ,В этом уравнении – вектор, характеризующийэлементарную площадку и направленный по нормали кней, – элементарный объём.Рассмотримконтуристягивающуюегоповерхность.

При их перемещении за элемент времениt ( = ) образуется цилиндрическая поверхность,тогда магнитный поток через ее боковую поверхностьбудет равен∫( × ) ∙ = − ∫( × ) ∙ .(1.5)35Отсюда следует, чтоd∫ σ − ∫( × ) ∙ = d ∫ .(1.6)В этой формуле первый интеграл слева – это изменение магнитного потоказа счет нестационарности при неподвижном контуре, а второй – это изменениепотока, вызванное перемещением поверхности, при = const. Таким образомсправа стоит полное изменение потока через поверхность, перемещающуюсявместе со средой.

Теперь подставим (1.6) в уравнение (1.5). В результате получимdd∫ = ∫ rot ∙ .(1.7)Из этой формулы для идеального проводника следуетdd∫ n σ = 0.(1.8)Это и есть интеграл Каулинга. Физически он означает то, что в идеальномжидком проводнике магнитные силовые линии «вморожены» в среду ипереносятся вместе с ней. Если проводимость конечна, тогда правая частьуравнения (1.7) осуществляет торможение силовых линий средой, происходитсвоего рода диффузия магнитного поля. Характерное время этого процесса можнооценить из уравнения (1.3).

Пренебрегая конвективными членами, можно найтиизменение начального значения индукции магнитного поля 0 [105]: = 0 − 2L .«Расплывание» магнитного поля можно характеризовать временем τ.Учитывая, что для морской воды τ ≪ 1, предполагают [105,130], что величина совершает периодическое движение в данной точке, с той же частотой с какойих совершает жидкость. Тем самым становится возможным отделить решениегидродинамической задачи от электродинамической, что существенно упрощаетситуацию. Еще одно допущение связано с массовой электромагнитной36(пондеромоторной) силой – × .