Диссертация (Математическое моделирование гидродинамического и электромагнитного отклика при воздействии линейных и тороидальных магнитных полей), страница 11

Они определяются из согласования внутреннего и внешнего разложений. Эта процедура называется сращиванием разложений. Существует несколько принципов сращивания, наиболее употребительный из которых следующий (он принадлежит Ван-Дайку): -членное внутреннее60разложения -членного внешнего разложения равно n-членному внешнему разложению -членного внутреннего разложения. Применим его для нахождения костант 0 и 1 в случае, когда = = 2.Двучленное внешнее разложение (1.32) перепишем во внутренних переменных = 1− + 1− (1 − ) + ⋯ = 1− + 1− (1 − ) + ⋯ ,разложим для малых ε и удержим два члена: = (1 + (1 − )).(1.37)Теперь двучленное внутреннее разложение (1.36) перепишем во внешних переменных, разложим для малых ε и удержим только два члена = 0 (1 − − ) + (1 (1 − − ) − 0 (1 + − )) == 0 (1 − − ) + (1 (1 − − ) − 0(1 + − )) = ⋯ == 0 (1 − ) + 1(1.38)Приравнивая (1.37) и (1.38): (1 + (1 −)) = 0 (1 − ) + 1 ,найдем: 0 = 1 = .

После этого, внутреннее разложение примет окончательныйвид = (1 − − ) + ((1 − − ) − (1 + − )) + ⋯.(1.39)Из рисунка 1.3 видно, что внутреннее разложение (1.39) хорошо аппроксимируетточное решение в области пограничного слоя. Разобранный пример показателен –в нём малый параметр стоит у старшей производной.

Аналогичная ситуация возникает, в частности, в гидромеханике. Если число Рейнольдса ∞ велико, то в уравнениях Навье–Стокса (выражающих закон сохранения импульса и энергии), записанных в безразмерной форме, при старшей производной стоит коэффициенткоторый можно принять за малый параметр.1∞,61Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА К УРАВНЕНИЯМ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИРезультаты данной главы основаны на публикациях [59, 60, 62].2.1. Автомодельные решения дифференциальных уравненийПостроение автомодельных решений – один из общепринятых и распространённых методов исследования (решения) систем дифференциальных уравнений с частными производными.

Процессы, описываемые автомодельными решениями, как правило, называют автомодельными процессами (режимами). Понятие автомодельного решения связано с анализом размерностей [108]. Традиционно считалось, что именно анализ размерностей позволяет найти условия автомодельностии определить вид автомодельных переменных. Положение коренным образом изменилось в связи развитием группового анализа дифференциальных уравнений, вчастности его прикладного аспекта. Оказалось, что анализ размерностей физических величин тесно связан с группой растяжения [13], о чём подробнее будет сказано ниже.

При этом автомодельные решения – это частный случай инвариантного-решения.По определению, инвариантное -решение называется автомодельным,если есть группа растяжений (то есть все операторы её алгебры Ли являются операторами растяжений). Считаем, что группа действует в пространстве (, ).Представим базис алгебры Ли , состоящий из операторов растяжения, в виде=1=1X = ∑ + ∑ ,где = 1, … , , а , постоянные.Можно показать, что для указанной группы растяжений() = ≤ = + .Поэтому < , иначе у группы не будет инвариантов.

Теперь покажем, чтобазис инвариантов группы можно представить из инвариантов вида: = ( 1 )1 … ( ) (1 )1 … ( ) .(2.1)62Ввиду того, что: = ( + Xα ) ∙ ,функция будет инвариантом, когда показатели и удовлетворяют системелинейных однородных уравнений + = 0.(2.2)Матрица этой системы 1 может быть представлена в виде:11 … 1 11 … 11 = ‖‖.…1 1 … … Её ранг равен , следовательно, система (4.16) имеет − линейно независимыхрешений-векторов (, ):( , )( = 1, … , − ).Им, согласно с (2.1), соответствуют функционально независимые инварианты ,поскольку ранг матрицы ‖ ,‖ = ‖ , ‖, (вычисленный в точке = 1, = 1) равен рангу матрицы ‖ , ‖.

Ранг этойматрицы, в силу линейной независимости векторов ( , ), равен − . Для существования инвариантных -решений (выполнения условий (1.21)) необходимои достаточно, чтобы ранг матрицы ‖ ‖ был равен . Это выполняется толькотогда, когда ранг матрицы ‖ ‖ равен r. Таким образом, необходимым и достаточным условием существования автомодельных решений для группы будет следующее:(‖ ‖) = ≤ .Теперь рассмотрим вопрос о связи теории размерностей с группой растяжения.

Построив конечные преобразования группы H с операторами растяжения=1=1X = ∑ + ∑ ,получим преобразования, зависящие от независимых параметров 1 , … , , в виде63 ′ = 1 1 … ,′ = 11 … .(2.3)Параметры называют единицами измерения, а комплекс (одночлен) 1 1 … размерностью величины .До того момента как было выяснено, что анализ размерностей имеет прозрачную групповую природу, основой его применения было использование π-теоремы. Эта теорема позволяет выразить функциональную связь между + 1 размерными величинами в виде = (1 , 2 , … , ).Этой зависимости можно придать другой вид, учтя, что размерные величины принято делить на два класса: имеющие независимые размерности и размерности, зависящие от размерностей других величин = (1 , 2 , … , , +1 , … , ),(2.4)где – число определяющих параметров с независимыми размерностями. Определяющие параметры – это исходные данные, обладающие свойством полноты сточки зрения размерностей.

Это значит, что среди них должны быть величины, через размерности которых могут быть выражены размерности искомых величин.Эта π-теорема позволяет представить зависимость (2.4) в виде соотношения междубезразмерными величинами = (1 , … , − ),каждая из которых представляет собой безразмерный степенной комплекс:+= ,=, = 1, … , − .1 … 1 + … +Переход от исходной системы единиц измерения к другой системе, принадлежащей к тому же классу, при любых положительных числах 1 , 2 , … , , можетбыть выражен как1′ = 1 1 , 2′ = 2 2 , … , ′ = .(2.5)64Заметим, что классом систем единиц измерения называется совокупностьсистем единиц измерения, различающихся между собой только величиной основных единиц измерения.

Значения остальных параметров – величин , +1 , … , –изменяются в соответствии с их размерностью:′′ = 1 … , +1= 1 +1 +1 , … , ′ = 1 … .(2.6)Преобразования (2.5) и (2.6) образуют группу, k-параметрическую. В этомможно удостовериться непосредственной проверкой. Аналогичные соотношениябыли получены непосредственно с помощью анализа размерностей – с использованием преобразования (2.3).

Следовательно, π-теорему можно рассматривать какпростое следствие инвариантности уравнения (2.4) относительно группы растяжения (подобия).2.2. Инвариантность уравнений магнитной гидродинамики относительно группы растяженияИнвариантность уравнений (системы уравнений), описывающих постановку любой задачи физики и механики, в свете всего вышеизложенного, относительно группы растяжения (подобия) является необходимым и обязательным условием.

С другой стороны, для отыскания конкретных инвариантных решений надовыбрать подгруппу основной группы или взять подалгебру операторов основнойалгебры Ли. В нашем случае это будет оператор растяжения.Итак, рассмотрим уравнения магнитной гидродинамики, приведенные вовведении. Для изотермического течения вязкой, несжимаемой, проводящей жидкости закон сохранения импульса имеет вид(+ ( ∙ ∇)) = −∇ + ∆ + × ,(2.7)где плотность тока находится из обобщенного закона Ома: = ( + × ).Вначале считаем, что электрическое поле отсутствует – = 0. Из (2.7)можно получить согласно [20, 42]:65(+ ( ∙ ∇)) = −∇ + ∆ + ( × ) × .(2.8)Уравнение переноса вектора представим в форме [75]:∂∂t=1 ∆ + ∇ × ( × ).(2.9)Введя, компоненты вектора скорости (, , ) и вектора магнитной индукции ( , , ), запишем проекции уравнений (2.8) и (2.9) на ось х декартовойсистемы координат:2 2 2 ( +++ )=−+ ( 2 + 2 + 2) ++[( × ) × ] ,1 2 2 2 =++() + [∇ × ( × )] , 2 2 2(2.8)′(2.9)′где х у прямых скобок в последних слагаемых означает, что это проекция соответствующего члена на ось х.

Введем неоднородные растяжения всех переменных ввиде̂ ; = ̂ .̂ ; = ̂ ; = = ̂ ; = (2.10)Также подвергнем преобразованию дифференциальные операторы:111̂ ; ∆= ∆̂.= ; ∇= ∇ ̂2Из приведенных выражений видно, что прямоугольные координаты, проекции скорости и проекции индукции магнитного поля преобразуются по одному и тому же(в каждом случае своему) закону. «Галочкой» сверху обозначена преобразованнаявеличина. Сначала подставим преобразованные переменные в уравнение (2.8):̂ 2 ̂)̂ = ∆̂̂) × ̂.̂∇̂) +̂ + 2 (̂×( +∇(2̂ 66Разделим обе части уравнения на степенной комплекс( ) у нестационарногочлена в левой части этого уравнения.

В результате получим:̂ 2 2̂)̂ = ̂ ) × ,̂̂∇̂) + ̂ + (̂×( +∇∆̂( ̂ 2или:(̂̂)̂ = −2 ∆̂̂) × ̂.̂∇̂ ) + +−−1 ∇̂ + 2+ (̂×+ +−1 (̂Требование инвариантности уравнения (2.8) относительно преобразований(2.10) сводится к сравнению множителей, появляющихся в отдельных слагаемых.Следовательно, в нашем случае должно быть:+−1 = +−−1 = −2 = 2+ ≡ 1.(2.11)Таким образом, получается система уравнений относительно показателей степени– , , , :+−1=0 = −1+−1 = 1+−−1+−−1=0 = −1→ {{ −2 = 1 → {−2=0 = −2=12+2 + = 0=2=1(2.12)Полученное решение позволяет записать конкретное преобразование семейства преобразований (2.10). Однако оно получено только из рассмотрения инвариантности уравнения движения, а потому требуется произвести аналогичную процедуру и с уравнением (2.9), образующим систему с уравнением (2.8).

После подстановки (2.10) в (2.9), получим:̂ ∂1 ̂+̂ × (̂ ).̂×=∆̂∇ ∂̂ 2Разделим обе части уравнения на степенной комплексчлена в левой части. В результате получим:() у нестационарного67̂∂1 ̂+̂ × (̂ ).̂×=∆̂∇ ∂̂ ∂ 2Соответствующая система уравнений для показателей степеней примет вид−2=2{ +−1= 1 → { = −1.=1Сравнивая с системой (2.12), видим, что никакой новой и противоречивой информации из уравнения (2.9) не появилось.В итоге получим окончательный вид преобразований (2.10), соответствующий нашей системе уравнений11̂; =̂; = ̂; = = 2 ̂ ; = 12̂ .(2.13)На следующем этапе, руководствуясь традиционным алгоритмом [85] необходимо найти инварианты группы растяжений и выразить через них независимыеи зависимые переменные.