Диссертация (Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях), страница 9

В обоихразделах выводятся оценки остатков и показывается, что при выполнении условий совместностиасимптотика решения расширенной задачи доставляет асимптотику решения исходной системыМаксвелла.2.1Краткое содержание главыПусть Ω и – ограниченные области в R3 с гладкими границами, содержащие начало координат. Малая полость задается формулой () = { ∈ R3 : −1 ∈ }, где > 0 – малый56параметр. В области Ω() = Ω∖() рассмотрим стационарную систему Максвелла⎧⎪rot2 (,,) + 1 (,,)⎪⎪⎪⎨ −rot1 (,,) + 2 (,,)⎪−div1 (,,)⎪⎪⎪⎩−div2 (,,)= 1 (),= 2 (),(2.1)= 1 (),= 2 ().Параметр = − фиксирован, ∈ R и > 0. Решение (1 ,2 ) подчинено краевому условию() × 1 (,,) = ⃗0, ⟨(),2 (,,)⟩ = 0, ∈ Ω(),(2.2)отвечающему идеально проводящей границе; – единичный вектор внешней нормали.

Здесь идалее ⟨,⟩ обозначает скалярное произведение векторов , ∈ C . Система (2.1) переопределенная (восемь уравнений для шести скалярных функций); для разрешимости задачи (2.1), (2.2)необходимы условия совместностиdiv () − () = 0, ∈ Ω(), = 1,2,⟨ 2 (),()⟩ = 0,(2.3) ∈ Ω().(2.4)Добавлением двух неизвестных функций 1 и 2 задача (2.1), (2.2) расширяется до эллиптическойзадачи⎧⎪rot2 (,,) − ∇ 1 (,,) + 1 (,,)⎪⎪⎪⎨ −rot1 (,,) − ∇ 2 (,,) + 2 (,,)⎪−div1 (,,) + 1 (,,)⎪⎪⎪⎩−div2 (,,) + 2 (,,)= 1 (),= 2 (),(2.5)= 1 (),= 2 ()с краевыми условиями() × 1 (,,) = ⃗0, ⟨(),2 (,,)⟩ = 0, 2 (,,) = 0, ∈ Ω(),(2.6)см., например, [15].

Запишем систему (2.5),(2.6) в виде(( ) + )u(,,) = f (), ∈ Ω();(2.7)Γu(,,) = 0, ∈ Ω(),(2.8)57где u = (1 ,2 ,1 ,2 ) - вектор-столбец, = − = −(1 , 2 , 3 ) и⎛1⎞⎛rot2 − ∇ 1⎜ 2 ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ −rot1 − ∇ 2⎟ ⎜( ) ⎜⎜ 1 ⎟ = ⎜−div1⎝⎠ ⎝2−div2⎞⎟⎟⎟.⎟⎠(2.9)Непосредственно проверяется, что( )2 = −△ .(2.10)Граничный оператор Γ задан соотношениемΓ(1 ,2 ,1 ,2 ) = (−⟨1 ,2 ⟩,⟨1 ,1 ⟩, ⟨2 ,⟩, 1 ) ,(2.11)где 1 ,2 – трехкомпонентные вектор-функции, 1 ,2 – скалярные функции. Здесь 1 ,2 – единичные касательные векторы, такие что 1 ,2 , образуют правую тройку ортонормированныхвекторов.

Заметим, что граничное условие −⟨1 ,2 ⟩ = 1 , ⟨1 ,1 ⟩ = 2 равносильно равенству × 1 = 1 1 + 2 2 .Предложение 2.1.1. Для любой области ⊂ R3 с гладкой границей справедлива формулаГрина(()u,v) + (Γu,Tv) = (u, ()v) + (Tu,Γv) ,(2.12)где (·, ·) и (·, ·) – скалярные произведения в 2 ( ) и 2 ( ) соответственно; u =(1 ,2 ,1 ,2 ) ,v = ( 1 , 2 ,1 ,2 ) , u,v ∈ ∞ ( ; C8 ) (далее в обозначениях пространств векторфункций, как правило, не указывается число компонент). Граничный оператор T определенравенствомT( 1 , 2 ,1 ,2 ) = −(⟨ 2 ,1 ⟩,⟨ 2 ,2 ⟩, 2 ,⟨, 1 ⟩) .(2.13)Существование и единственность решения u(·,,) задачи (2.7), (2.8) вытекают из самосопряженности оператора ( ) с областью опеределения { ∈ 1 (Ω()) : Γ = 0 на Ω()}(см.

например, [16]). Асимптотика решения u(·,,) при → 0 описывается методом составных разложений, то есть составляется из решений предельных задач, не зависящих от . Перваяпредельная задача имеет вид(( ) + )v = f в Ω; Γv = 0 на Ωи исследуется в разделе 2.3. Изучению второй предельной задачи( )w0 = f в R3 ∖; Γw0 (, ) = Γ на .58посвящен раздел 2.4. В частности, доказывается что оператор второй предельной задачи, действующий из 01 (R3 ∖) в 2 (R3 ∖) × 1/2 (), имеет одномерные ядро и коядро.

Этим реализация метода составных разложений отличается от случая задачи (1.4), в котором все предельные задачи были однозначно разрешимы. Асимптотики решений первой предельной задачи в окрестности начала координат и решений второй пределной задачи в окрестности бесконечности описываются в терминах собственных значений и функций операторного пучкаΦ → A()Φ = 1− ( ) Φ на сфере 2 . Свойства пучка A исследуются в разделе 2.2.

Главный член асимптотики решения задачи (2.7), (2.8) описывается в разделе 2.5, а полное асимптотическое разложение - в разделе 2.6. Основной результат доставляет следующаяТеорема 2.1.2. При f ∈ ∞ (Ω) решение задачи (2.7), (2.8) при всяком = 0,1,2,... допускаетасимптотическое разложение−1−1u(,,) = ()( )( )+∑︁(︀)︀ vn (, )+()wn (−1 , ) + +1 vN+1 (, )+ũN+1 (,,)=0(2.14)с остатком ũN+1 (·,,), удовлетворяющим оценке‖ ũN+1 (·,,) ‖11 (Ω()) = ( +3/2− )при всех > 0. Здесь vn = (1 ,2 ,1 ,2 ) , wn = (1 ,2 ,1 ,2 ) , где (·, ) ∈ ∞ (Ω∖{0}), (·, ) ∈ ∞ (R3 ∖) - трехкомпонентные вектор-функции, а (·, ) ∈ ∞ (Ω∖{0}), (·, ) ∈ ∞ (R3 ∖) - скалярные функции, = 1,2. Для vn (·, ), wn (·, ) справедливы асимптотикиvn (, ) =∞∑︁()vn (̂︀, )|| , || → 0; wn (, ) ==0∞∑︁wn () (̂︀, )||− , || → ∞,=1(),1(),2(),1(),2(),1(),2(),1(),2коэффициенты vn () (·, ) = ( , , , ) и wn () (·, ) = ( , , , ) в которых являются гладкими функциями переменной ̂︀ = ||−1 = ||−1 ∈ 2 .

Функция являетсярешением однородной задачи( ) = 0 в R3 ∖; Γ = 0 на и имеет вид (∇ 0 ,⃗0,0,0) , где ⃗0 = (0,0,0) , а 0 ∈ ∞ (R3 ∖) - гармоническая в R3 ∖ функция,такая что 0 ≡ 1 на , 0 () = (||−1 ) при || → ∞. При этом() ≃∞∑︁ () (̂︀)||− , || → ∞,=2где () ∈ ∞ ( 2 ). Функция v0 (·, ) ∈ ∞ (Ω) является решением первой предельной задачи(( ) + )v0 (, ) = f (), ∈ Ω;Γv0 (, ) = 0, ∈ Ω,(2.15)59а функция w0 (·, ) - второй предельной задачи( )w0 (, ) = −( ) (), ∈ R3 ∖;Γw0 (, ) = −Γv0 (0, ), ∈ .(2.16)Из условия разрешимости последней задачи находится коэффициент ( ) = ( )−1 10 (0, ).Функции vn (·, ) ( ≥ 1) являются решениями первых предельных задач(( ) + )vn (, ) = −() wn−1 (1) (̂︀, )||−1 −(︁ ∑︁)︁−[( ),]wn−k () (̂︀, )||− + ( ) (+1) (̂︀)||−(+1) , ∈ Ω∖{0};=1Γvn (, ) = 0, ∈ Ω.Функции wn (·, )( ≥ 1) являются решениями вторых предельных задач(2)( )wn (, ) = − w̃n−1 (, ), ∈ R3 ∖;∑︀vn−k () (̂︀Γwn (, ) = −Γ, )|| , ∈ .=0Условия разрешимости этих задач(2),1 (˜−1 (·, ),∇ 0 )R3 ∖=∫︁ ∑︁(),1− (̂︀, )|| 0 .

=0однозначно фиксируют функции wn (·, ) при = 0,1,...Для возвращения к исходной нерасширенной системе Максвелла доказываетсяТеорема 2.1.3. Пусть функция f ∈ ∞ (Ω) при всех ∈ (0,0 ) (0 > 0 ) удовлетворяет условиям (2.3), (2.4). Тогда компоненты 1 , 2 функции u(·,,), компоненты 1 (·, ), 2 (·, ) функцийvn (·, ) и компоненты 1 (·, ), 2 (·, ) функций wn (·, ) аннулируются в Ω(), Ω∖{0} и R3 ∖, соответственно. Кроме того, аннулируются ( ), w0 (1) (·, ) и v1 (·, ).В силу теоремы 2.1.3 при выполнении условий совместности (2.3), (2.4) компоненты 1 (·,,),2 (·,,) функции u(·,,) совпадают с решением исходной задачи (2.1), (2.2) в области Ω(). Поэтому из теоремы 2.1.2 извлекается вся необходимая информация об асимптотике решений исходной нерасширенной системы Максвелла.

Отметим, что если ограничиваться только главнымчленом асимптотики−1 ()( )(−1 ) + v0 (, ) + ()w0 (−1 , ) + v1 (, )решения задачи (2.7), (2.8), то при переходе к нерасширенной задаче структура двухмасштабногоразложения не сохраняется: для ее возникновения требуется уточнение асимптотики.602.2Операторный пучокПусть (,,) – сферические координаты точки ∈ R3 . Тогда⎛ 1⎞⎛sincos coscos −(sin)−1 sin⎜⎜⎟⎜ 2 ⎟ = 1 ⎜ sinsin cossin⎝⎠ ⎝cos−sin 3⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎜ ⎟(sin)−1 cos ⎟⎠⎝⎠0и оператор ( ) переписывается в виде113 (,) ;( ) = 1 (,) + 2 (,) +sin(2.17)здесь – матрицы размера 8×8, элементы которых являются гладкими скалярными функциямина сфере. Непосредственными вычислениями проверяется, что21 = 22 = 23 = , 1 2 + 2 1 = 1 3 + 3 1 = 2 3 + 3 2 = 0, 1 = 2 , 1 = sin3 .(2.18)Свяжем с оператором ( ) голоморофную оператор-функцию C ∋ ↦→ A() (операторныйпучок).

Для вектор-функций Φ = (1 , 2 , 1 , 2 ) на сфере 2 оператор A() определим равенствомA()Φ = 1− ( ) Φ;(2.19)здесь ∈ ∞ ( 2 ; C3 ) and ∈ ∞ ( 2 ; C), = 1, 2. Из (2.17) и (2.19) следует, чтоA() = 1 + 2 + (sin )−1 3 .(2.20)Число 0 ∈ C называется собственным для пучка A, если существует вектор-функция Φ ∈ ∞ ( 2 ), не равная нулю тождественно и такая, что A(0 )Φ = 0; тогда Φ называется собственным вектором пучка, отвечающим числу 0 . Поскольку пучок A эллиптический, отображениеA() : 1 ( 2 ) → 2 ( 2 ) является изоморфизмом для всех ∈ C, за исключением изолированных собственных значений конечной кратности (см., например, [17]). Все собственные значенияпучка A перечислены в следующем утверждении.Предложение 2.2.1.

При каждом ∈ Z, ̸= −1, число = − является собственным дляпучка A; других собственных чисел пучок не имеет. Каждому собственному числу отвечаетконечномерное пространство собственных векторов. Присоединенных векторов нет.Доказательство. Пусть A()Φ = 0, где Φ := (1 ,2 ,1 ,2 ) . Тогда в силу (2.19) функция = Φ удовлетворяет уравнению( )() = 0, ∈ R3 ∖{0}.(2.21)61Применим к этому уравнению оператор ( ); учитывая (2.10), получаем △ = 0.

Это означает, что ∈ Z, а компоненты Φ представляют собой линейные комбинации сферических функций , = −,...,, где = max{, − ( + 1)}.Сначала покажем, что = не является собственным числом пучка A. Пусть A()Φ = 0.Тогда из предыдущего абзаца следует, что компоненты 1 ,2 – постоянные векторы, 1 ,2 –числа, а функция = −1 Φ есть решение уравнения (2.21). Согласно (2.9)0 = div(−1 1 ) = −−3 ⟨,1 ⟩ для всех ∈ R3 ∖{0};таким образом, 1 = 0. Аналогично проверяется, что 2 = 0. Теперь формулы (2.21) и (2.9)приводят к соотношениям∇ (−1 1 ) = ∇ (−1 2 ) = 0 в R3 ∖{0}.Поскольку 1 и 2 постоянные, из последних равенств вытекает, что 1 = 2 = 0. Итак, Φ ≡ 0и dim ker A() = 0.Теперь покажем, что число = − ( ∈ Z, ̸= −1) оказывается собственным для пучка A.Пусть = max{ + 1, − ( + 2)} и ∈ {−,...,}; положим (,) = − ∇ (+1 (,)).Тогда функция = (,) = ∇ (+1 (,))удовлетворяет уравнениям div = 0 и rot = ⃗0 в R3 ∖{0}.

В силу (2.9) отсюда следует, что =(,0,0,0) является решением уравнения (2.21). Поэтому ввиду (2.19) имеем A()( ,0,0,0) =0; так как ̸≡ 0 при ̸= −1, это означает,что dim ker A() > 0.Докажем отсутствие присоединенных векторов. Предположим противное: пусть собственному числу = − ( ∈ Z, ̸= −1) отвечает собственный вектор Φ0 и существует присоединенный вектор Φ1 .

Тогда функция() = (Φ1 + log Φ0 )является решением уравнения ( ) = 0 в R3 ∖{0}. Из (2.10) следует, что −△ = 0 в R3 ∖{0}.Так как △ = −1 2 () + −2 с оператором Лапласа-Бельтрами на 2 , имеемℒΦ0 = 0, ℒΦ1 = −(2 + 1)Φ0 ,где ℒ = ( + 1) + . Второе уравнение в (2.22) приводит к соотношениям(ℒΦ1 ,Φ0 )2 ( 2 ) = −(2 + 1) ‖ Φ0 ‖22 ( 2 ) ̸= 0.(2.22)62С другой стороны, из формулы Грина (Φ,Ψ)2 ( 2 ) = (Φ, Ψ)2 ( 2 ) и первого уравнения (2.22)следует, что(ℒΦ1 ,Φ0 )2 ( 2 ) = (Φ1 ,ℒΦ0 )2 ( 2 ) = 0.Полученное противоречие завершает доказательство.2.3Первая предельная задача.Первая предельная задача имеет вид(( ) + )v(, ) = f (), ∈ Ω;(2.23)Γv(, ) = 0, ∈ Ω,(2.24)где = − ( ∈ R и > 0) – фиксированный параметр.

Существование и единственностьрешения v(·, ) ∈ 1 (Ω) задачи (2.23), (2.24) при всяком f ∈ 2 (Ω) доказываются так же, как вслучае задачи (2.7), (2.8). Займемся описанием асимптотики этого решения при || → 0. Пустьf ∈ ∞ (Ω), тогда v(·, ) ∈ ∞ (Ω); асимптотика функции v(·, ) при || → 0 дается разложениемТейлора, которое можно записать в видеv(, ) =−1∑︁v() (,, )|| + ṽ() (, ).(2.25)=0Здесь , – координаты на сфере, v() (·, · , ) ∈ ∞ ( 2 ), v(0) (,, ) ≡ v(0, ), а остаток ṽ() (·, )принадлежит ∞ (Ω) и удовлетворяет оценкамṽ() (, ) = (|| ), ṽ() (, ) = (||−1 ) ( = 1,2,3) при → 0.(2.26)Пусть = 0,1,... и пусть ∈ R; через (Ω) обозначим замыкание множества ∞ (Ω ∖ 0) понорме⎞1/2⎛‖ ‖ (Ω) = ⎝∑︁ ∫︁(||+||− | ()|)2 ⎠.(2.27)||≤ ΩИз формул (2.26) следует, что ṽ() (·, ) ∈ 1 (Ω) для любого > −( + 1/2).В дальнейшем понадобится асимптотика решения v(·, ) задачи (2.23), (2.24) с правой частью,которая отличается отличается от элемента ∞ (Ω) конечной суммой слагаемых вида−1()−11 Φ(,)|| ,(2.28)где ∈ 0∞ (Ω), = 1 в окрестности начала координат, A()Φ = 0 ( = 2,3,...) и матрица1 – та же, что и в формуле (2.17).