Диссертация (Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях), страница 6

Пусть (·, ) ∈ 2 (Ω) при всех ∈ R, и ∈ (0,1/2]. Тогда при > 0 и ∈ Rрешение задачи (1.4) допускает представление(,,) = 0 (,,) + ˜1 (,,),(1.35)где функция 0 (,,) определена формулой (1.7), а остаток ˜1 (,,) удовлетворяет оценке‖ ˜1 (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ (,)1− | |2 ‖ (·, ) ‖ℛ0 (Ω, ) .(1.36)31Постоянная (,) в неравенстве (1.36) не зависит от и .Доказательство Предложения 1.2.3 проводится в два этапа.1.

Оценка остатка ˜1 (·,,) при | | ≤ 0 .Остаток ˜1 (,,) = (,,)−0 (,,) при | | ≤ 0удовлетворяет задаче−(△ + 2 )˜1 (,,) = [△ ,]0 (−1 , ) + 2 ()0 (−1 , ), ∈ Ω();(1)˜1 (,,) = −˜0 (, ), ∈ ();(1.37)˜1 (,,) = 0, ∈ Ω.Лемма 1.2.4. Пусть ∈ R. При | | ≤ 0 для всякой функции ∈ ( ) справедлива оценка‖ () ‖ 3/2 () ≤ 1/2− ‖ ‖ ( ) ,(1.38)постоянная в которой не зависит от и .Доказательство. Согласно теореме вложения‖ () ‖ 3/2 () ≤ ‖ () ‖2 (R3 ∖) ;(1.39)‖ () ‖2 (R3 ∖) = 1/2− ‖ ‖ 2 (R3 ∖()) ≤ 1/2− ‖ ‖ ( ) .(1.40)здесь | | < 0 . При этомИз (1.39) и (1.40) получается оценка (1.38).Следующая лемма вытекает из определения норм.Лемма 1.2.5. Пусть ∈ [1,2]. Для всех > 0 и ∈ 2 (R3 ∖) справедливы оценки‖ [△ ,] ‖2 (Ω()) ≤ −1/2 ‖ ‖2 (R3 ∖) ,(1.41)‖ ‖2 (Ω()) ≤ −1/2 ‖ ‖2 (R3 ∖) ,(1.42)‖ ∇ ( ) ‖2 (Ω()) ≤ 1/2 ‖ ‖2 (R3 ∖) ;(1.43)здесь () = (−1 ).Предложение 1.2.6. Пусть (·, ) ∈ 2 (Ω) при всех ∈ R.

Тогда при | | ≤ 0 , и ∈ (0,1/2]справедлива оценка‖ ˜1 (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ (,)1− | |2 ‖ (·, ) ‖ℛ0 (Ω, ) .Постоянная (,) не зависит от и .(1.44)32Доказательство. Из оценки (1.38) следует, что(1)‖ ()˜1 (·,,) ‖ 3/2 () ≤ 1/2 ‖ ˜0 (·, ) ‖0 ( )(1.45)при | | ≤ 0 .

Мажорируя правую часть (1.45) при помощи формулы (1.14), получаем‖ ()˜1 (·,,) ‖ 3/2 () ≤ ()1/2 | | ‖ (·, ) ‖ℛ0 ( ) .(1.46)Согласно лемме 1.2.5 при = 3/2 − имеем‖ (△ + 2 )˜1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ ()1− | |2 ‖ 0 (·, ) ‖2 (R3 ∖) .Из леммы 1.2.2 следует неравенство‖ 0 (·, ) ‖2 (R3 ∖) ≤ ()|0 (0, )|, ∈ (1/2,3/2),(1.47)поэтому‖ (△ + 2 )˜1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ ()1− | |2 |0 (0, )|.Отсюда и из (1.15) выводим‖ (△ + 2 )˜1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ (, )1− | |3/2 ‖ (·, ) ‖ℛ0 ( ) .(1.48)Мажорируя с помощью формул (1.46) и (1.48) правую часть оценки (1.22) для функции ˜1 (·,,),получаем неравенство (1.44).2. Оценка остатка ˜1 (·,,) при | | > 0 .Мы используем убывание при | | → +∞ правойчасти (·, ) и неравенство1 < | |−10 .(1.49)Предложение 1.2.7.

Пусть (·, ) ∈ 2 (Ω) при всех ∈ R. Тогда при | | > 0 и ∈ (0,1/2]справедливы оценки‖ (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ0 ( ) ,(1.50)‖ 0 (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ (,)1− | |1/2 ‖ (·, ) ‖ℛ0 ( ) .(1.51)Постоянные в оценках не зависят от и .Доказательство. Из оценки (1.21) для (·,,) и неравенства (1.49) следует соотношение‖ (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ ()| | ‖ (·, ) ‖2 (Ω()) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ0 ( ) ,33доказывающее формулу (1.50). Из (1.12) и (1.49) получаем‖ 0 (·, ) ‖01 (Ω, ) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ0 ( ) .(1.52)Положим 0 (, ) = 0 (−1 , ).

Очевидно, что−10 (Ω()) ≤ ‖ 0 (·, ) ‖−1‖ 0 (·, ) ‖2 (Ω()) .Вместе с оценками (1.42) и (1.43) для функции 0 (·, ) и неравенством (1.49) это дает‖ 0 (·, ) ‖01 (Ω(), ) ≤ 1− | | ‖ 0 (·, ) ‖ 23/2−(R3 ∖()).(1.53)Отсюда и из формул (1.47) и (1.15) следует, что‖ 0 (·, ) ‖01 (Ω(), ) ≤ ()1− | |1/2 ‖ (·, ) ‖ℛ0 ( ) .(1.54)Из соотношений (1.52) и (1.54) получается оценка (1.51).Следствием предложений 1.2.6 и 1.2.7 является Предложение 1.2.3.1.2.3Главный член асимптотики решения задачи (1.1)Положим−10 = F−1 → 0 , 0 = F → 0 ,где F−1 → - обратное преобразование Фурье.

Функция 0 является решением задачи(2 − △ )0 (,) = (,), (,) ∈ Ω × R;0 (,) = 0, (,) ∈ Ω × R,а функция 0 (·,) - решением задачи−△ 0 (,) = 0, ∈ R3 ∖;0 (,) = −0 (0,), ∈ .¯ 0 (), где ¯ 0 - решение задачиСправедливо равенство 0 (,) = 0 (0,)¯ 0 = 0 в R3 ∖, ¯ 0 = −1 на .−△−1˜Положим 0 = F−1˜1 , тогда → 0 и 1 = F → ¯ 0 (−1 );0 (,,) = 0 (,) + ()0 (0,) (,,) = 0 (,,) + ˜1 (,,).(1.55)34Пусть - область в R3 , - неотрицательное целое число, и ∈ R. Обозначим через V ( × R)пополнение множества ∞ ( × R) по норме⎛‖ ‖V (×R) = ⎝+∞∑︁ ∫︁ ∫︁⎞1/2(||+||− |(,) (,)|)2 ⎠,||≤−∞ ∈и введем пространство V ( × R,) с нормой‖ ‖V (×R,) =‖ e ‖V (×R) ,где e () = − . Также введем операторP (,) = F−1 → | |F→ (,)(1.56)и норму‖ ‖RV () =(︁{︀‖ e ‖22 (Ω×R) + ‖ e P1− ‖22 (Ω×R) }+ ‖ ‖2V0 (Ω×R))︁1/2(1.57).Из теоремы Планшереля следуют эквивалентности норм‖ ‖V (×R,) ∼‖ ‖RV () ∼(︂ +∞∫︀−∞(︂ +∞∫︀−∞‖ F→ (·, )‖2 (, )‖ F→ (·, ) ‖2ℛ ( ))︂1/2,)︂1/2.(1.58)Предложение 1.2.3 приводит к утверждению.Предложение 1.2.8.

Решение задачи (1.1) с правой частью, подчиненной условию‖ P2 ‖RV0 () < +∞,(1.59)допускает разложение (1.55) с остатком ˜1 (,,), таким что при всех ∈ (0,1/2]‖ ˜1 (·, · ,) ‖V10 (Ω()×R,) = (1− ).Из последнего предложения следует теорема 1.1.2.Эффекты, связанные с конечностью скорости распространения волн.Функция 0 (·,) вразложении (1.55) описывает волновой процесс при отсутствии полости (), а слагаемое¯ 0 (−1 ) связано с рассеянием волн границей полости (). Пусть ∈ ∞ (Ω∖{0}).()0 (0,)35Введем множество(,) = {(,) ∈ Ω() × R : dist(,()) ≤ − }.(1.60)Пусть 1 () - такой момент времени, что supp ∩ (,) = ∅ при < 1 () и supp ∩ (,) ̸= ∅при ≥ 1 ().

Скорость распространения волн равна единице, поэтому при < 1 () точноерешение (·,,) совпадает в области Ω() с функцией 0 (·,): возмущение ещё не достиглограницы полости (). В момент = 1 () появляется волна, рассеянная границей ().Проверим, насколько точно воспроизводится эта картина при замене решения (·, · ,) наего асимптотику 0 (·, · ,).

Из результатов работы [10] следует явная формула для коэффициента0 (0,)∫︁ ∫︁ (,)0 (, − ),0 (0,) =Ω(1.61)Rгде 0 - решение уравнения( − △ ) = 0 в (Ω∖{0}) × R, = 0 на Ω,однозначно фиксированное своей асимптотикой в окрестности нуля. При этомsupp0 ⊂ {(,) ∈ (Ω∖{0}) × R : || ≤ },Обозначим0 () = {(,) ∈ (Ω∖{0}) × R : || ≤ − }.(1.62)Пусть 2 - такой момент времени, что supp ∩ 0 () = ∅ при < 2 и supp ∩ 0 () ̸= ∅при ≥ 2 . Из формулы (1.61) следует, что при < 2 коэффициент 0 (0,) равен нулю, а0 (,,) = 0 (,). При = 2 коэффициент 0 (0,) становится отличным от нуля, и в асимпто¯ 0 (−1 ).тике появляется ненулевое слагаемое ()0 (0,)Поскольку 0 () ( (,), момент 2 наступает позже, чем момент 1 ().

Из формул (1.60)и (1.62) следует, что 2 − 1 () = (). Таким образом, асимптотика (1.55) описывает процесс рассеяния волн границей полости () с запаздыванием на время порядка (): при ∈ (1 (),2 ) волна, отраженная границей (), уже появилась, но ещё не учитывается васимптотике. Несмотря на это обстоятельство, формула (1.55) доставляет асимптотику решения (·, · ,). Это происходит потому, что за время порядка () существенно изменяются только теволны, длина которых меньше, чем const: благодаря условиям гладкости (1.59) эти волны дают пренебрежимо малый вклад в решение.

Отсюда же видно, что при построении асимптотикирешения (·,,) в форме (1.55) от условий гладкости нельзя избавиться.361.31.3.1Полное асимптотическое разложениеФормальный асимптотический ряд для решения задачи (1.4)Пусть параметр фиксирован и (·, ) ∈ ∞ (Ω). Мы ищем асимптотическое разложениерешения задачи (1.4) при → 0 в виде(,,) ≃∞∑︁(︀)︀ (, ) + () (−1 , ) ,(1.63)=0где (·, ), (·, ) - гладкие функции в Ω∖{0} и R3 ∖, соответственно, допускающие разложениев асимптотические ряды∞∑︀ (, ) ≃() (̂︀, )|| , || → 0,(1.64)=0 (, ) ≃∞∑︀() (̂︀, )||− , || → ∞.(1.65)=1()()Здесь ̂︀ = ||−1 , коэффициенты (·, ), (·, ) являются гладкими функциями на 2 . Подставляя (1.64) и (1.65) в разложение (1.63), получаем формальные ряды∞∑︁∞)︁(︁∑︁ ||− () (̂︀, ) (, ) + ()=0=1=∞∑︁(︁ (, ) + ()=0∞∑︁=0∞(︁ ∑︁∑︁)︁()||− − (̂︀, ) ,(1.66)=1)︁ || () (̂︀, ) + () (, )=0=∞∑︁(︁() (, ) +=0∑︁)︁()|| − (̂︀, ),(1.67)=0где = −1 .

Подставляя (1.63) в граничное условие задачи (1.4) и пользуясь формулами (1.66),(1.67), получаем (, ) = 0, ∈ Ω; () = −∑︀=0()|| − (̂︀, ), ∈ .(1.68)37Аналогично, подставляя (1.63) в уравнение задачи (1.4) и пользуясь формулой (1.66), мы получаем, что выражение∞∑︁(︀2(△ + ) (, ) + [△ ,]=1∑︁()||− − (̂︀, )=1)︀+(){△ +2 (, ) + 2 (, )} (1.69)должно обращаться в нуль.

Несложно убедиться в том, что приравнивание нулю коэффициентовпри степенях в формуле (1.69) не приводит к уравнениям для , . С одной стороны, невязкаот функции 2 (−1 , ) зависит от и поэтому не может быть компенсирована при помощирешения (·, ) задачи в области Ω. С другой стороны, 2 (, ) = (||−1 ) при || → ∞, поэтому убывающего при || → +∞ решения +2 (·, ) задачи в R3 ∖ с правой частью 2 (, ),вообще говоря, не существует. Выход заключается в применении процедуры перераспределенияневязок (см. [6], 2.2).

При помощи разложения (1.65) функция (−1 , ) представляется в виде (, ) = ||−1 (1) (̂︀, ) + 2 ||−2 (2) (̂︀, ) + ˜(3) (, ).(1.70)Первые два слагаемых в (1.70) явно зависят от и определены во всей области Ω, а третьеслагаемое в (1.70) убывает, как (||−3 ) при || → ∞. При помощи формулы (1.70) сумма (1.69)переписывается в виде∞∑︁∑︁(){(△ + 2 ) (, ) + () 2||− − (̂︀, )=1+[△ ,]∑︁=1,2()||− − (̂︀, )(1.71)+ ()⟨△ +2 (, ) + 2 ˜(3) (, )⟩} .=1Приравнивая нулю коэффициенты при степенях в (1.71) приходим (при ≥ 1) к уравнениям−(△ + 2 ) (, ) = () 2()||− − (̂︀, )∑︀=1,2∑︀()||− − (̂︀, ), ∈ Ω,+[△ ,]=1(3)−△ +2 () = 2 ˜ (, ), ∈ R3 ∖.Отсюда и из (1.68) получаются граничные задачи для функций (·, ), (·, ) ( ≥ 1).

Задачадля функции (·, ) имеет вид−(△ + 2 ) (, ) = [△ ,]∑︁()||− − (̂︀, )=12+ ()∑︁()||− − (̂︀, ), ∈ Ω,=1,2 (, ) = 0, ∈ Ω.(1.72)38Поскольку правая часть уравнения для (, ) принадлежит пространству −1 (Ω), у задачи(1.72) существует единственное решение из класса 1 (Ω). При этом (·, ) ∈ ∞ (Ω∖{0}).Задача для функции (·, ) имеет вид(3)−△ (, ) = 2 ˜−2 (, ), ∈ R3 ∖,∑︀ () (, ) = −|| − (̂︀, ), ∈ (1).(1.73)=0(3)Благодаря тому, что 2 ˜−2 (, ) = (||−3 ) при || → ∞, у задачи (1.73) существует единственное решение, убывающее на бесконечности, как (||−1 ).Представим решение (·,,) в виде(,,) = −1 (,,) + ˜ (,,),(1.74)где −1 (,,) =∑︀−1 ( (, ) + () (−1 , )).(1.75)=0Из формул (1.64), (1.65) следует, что˜ (,,) = ( ), ∈ ();−(△ + 2 )˜ (,,) = ( ||−2 ), ∈ Ω().1.3.2Асимптотика решений (, ), (, ) при || → 0 и || → ∞Цель этого раздела - вывод асимптотических разложений (1.64) и (1.65) и равномерная попараметру оценка коэффициентов и остатков этих разложений.