Диссертация (Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях)

Санкт-Петербургский Государственнный УниверситетНа правах рукописиКориков Дмитрий ВладимировичАсимптотика решений динамических краевых задач в сингулярновозмущенных областяхСпециальность 01.01.03 —«Математическая физика»Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорПламеневский Борис АлексеевичСанкт-Петербург — 20162ОглавлениеВведение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Асимптотика решений волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.1Краткое содержание главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2Главный член асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 271.31.2.1Доказательство оценок (1.16) и (1.17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.2Главный член асимптотики решения задачи (1.4) . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.3Главный член асимптотики решения задачи (1.1) . . . . . . . . .

. . . . . . 33Полное асимптотическое разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3.1Формальный асимптотический ряд для решения задачи (1.4) . . . . . . . . . 361.3.2Асимптотика решений (, ), (, ) при || → 0 и || → ∞ . . . . . . .

. 381.3.3Оценка остатка в асимптотическом разложении решения задачи (1.4) с членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3.41.4Асимптотическое разложение решения задачи (1.1) . . . . . . . . . . . . . . 47Волновое уравнение в области со сглаженной конической точкой . .

. . . . . . . . 481.4.1Асимптотика решения задачи (1.119) при → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 491.4.2Асимптотика решения задачи (1.118) при → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 532 Асимптотика решений стационарной системы Максвелла . . . . . . . . . .

. . . . . 552.1Краткое содержание главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2Операторный пучок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3Первая предельная задача. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4Вторая предельная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.5Главный член асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.62.5.1Главный член асимптотики решения задачи (2.7),(2.8) .

. . . . . . . . . . . 702.5.2Оценка остатка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.5.3Связь решений исходной и расширенной систем Максвелла . . . . . . . . . 77Полное асимптотическое разложение . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.6.1Асимптотический ряд для решения задачи (2.7),(2.8) . . . . . . . . . . . . . 782.6.2Оценка остатка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.6.3Возвращение к исходной системе Максвелла .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 8233 Асимптотика решений нестационарной системы Максвелла . . . . . . . . . . . . . . 853.1Краткое содержание главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2Главный член асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 903.2.1План вывода главного члена асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.2.2Доказательство теоремы 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.2.3Возвращение к исходной задаче (3.1),(3.2) при выполнении условий совместности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 943.3Полное асимптотическое разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3.1Равномерные по параметру оценки коэффициентов и остатков в разложениях (2.89), (2.90). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 963.3.2Равномерная по параметру оценка остатка ũN+1 (·,,) разложения (2.101). 1013.3.3Возвращение к нерасширенной системе Максвелла в разложении (2.101),(2.102) при выполнении условий совместности . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3.4Асимптотическое разложения решений задач (3.3), (3.4) и (3.1), (3.2) . . . . 1034 Обобщения . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.1Стационарная система уравнений Максвелла с импедансными граничными условиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.24.1.1Главный член асимптотики решения задачи (4.3), (4.4) . . . . . . . .

. . . . 1074.1.2Оценка остатка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.1.3Асимптотический ряд для решения задачи (4.3), (4.4) . . . . . . . . . . . . . 1114.1.4Возвращение к нерасширенной системе Максвелла . . . . . . . . . . . . .

. 112Нестационарная система уравнений Максвелла с импедансными граничнымиусловиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3Случай области с несколькими отверстиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 115Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204ВведениеОбщая характеристика работыАктуальность темы. Многочисленные приложения механики сплошной среды и электродинамики приводят к исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с частнымипроизводными в сингулярно возмущенных областях (СВО). Примером СВО служит область сгладкой границей, которая зависит от малого параметра и совпадает в пределе при → 0 с областью, имеющей особенности на границе (выколотые точки, углы, ребра разных размерностейи т.

п.). Эллиптические задачи в СВО хорошо изучены, для их исследования разработаны метод согласованных асимптотических разложений (см. [3–5]) и метод составных асимптотическихразложений, описанный в монографии [6]. Эти методы опираются на результаты теории эллиптических задач в предельных областях, не зависящих от , то есть в областях с особенностямина границе. Такая теория изложена в монографиях [7–9].Можно ожидать, что метод составных разложений применим и для исследования нестационарных (гиперболических) задач в СВО. Как и в стационарном случае, такое исследованиесвязано с изучением краевых задач в предельных областях с особенностями на границе, однакотеперь среди них появляются нестационарные.

Сравнительно недавно в работах [10–14] для таких нестационарных задач был получен ряд результатов, которые могут быть использованы дляисследования динамических задач в СВО. Таким образом, построение теории нестационарныхзадач в СВО стало актуальной проблемой.Диссертация состоит из двух частей. В первой части рассматривается задача Дирихле дляволнового уравнения в ограниченной области с малой (диаметра ) полостью; выводятся иобосновываются полные асимптотические разложения решений. Рассмотренная ситуация представляет собой простейший содержательный пример гиперболической задачи, где выясняютсянекоторые ключевые приемы исследования нестационарных задач в СВО. Результаты обобщенына случай СВО, вырождающейся при → 0 в область с конической точкой на границе.

Во второй части исследуется нестационарная система Максвелла в ограниченной области с конечнымчислом малых полостей (диаметры полостей пропорциональны малому параметру ). На границе области заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия.Во всех перечисленных задачах время пробегает всю вещественную ось, однако полученныерезультаты позволяют сделать нужные заключения и о начально-краевых задачах, рассматриваемых при временах ∈ (0, ).5Работа основывается на асимптотической теории гиперболических задач в областях с особенностями на границе. Методика исследования этих задач описана в работе [10] на примереволнового уравнения в конусе и в ограниченной области с коническими точками и ребрами награнице.

Результат этой работы был обобщен в [12] на случай краевых задач для гиперболических уравнений с сильно эллиптической пространственной частью. В статьях [13, 14] исследовались нестационарная система Максвелла и общие динамические задачи теории упругости вобластях с коническими точками и ребрами на границе.Результаты указанных работ позволили описать асимптотику решений волнового уравненияв ограниченной области с малой полостью методом составных асимптотических разложений.Приемы, использованные при выводе асимптотики, являются характерными для нестационарных задач в СВО.Отметим, что хотя в диссертационной работе используется только метод составных разложений, предложенная процедура вывода асимптотики допускает также использование и методасогласованных разложений.

В обоих методах асимптотика составляется из решений задач в предельных областях с особенностями на границе. В методе согласованных разложений функциональные пространства, в которых решаются предельные задачи, зависят от номера итерации так,что особенности решений увеличиваются с ростом числа итераций. В методе составных разложений функциональные пространства для решений предельных задач одни и те же независимоот номера итерации. Благодаря этому метод составных разложений более простой и применимк более широкому кругу задач.

Кроме того, в методе составных разложений требуемая точностьасимптотики обеспечивается за меньшее, чем в методе согласованных разложений, число итераций. Это имеет значение в тех случаях, когда возможное число итераций ограничено, например,гладкостью правой части.Нестационарная система Максвелла является переопределенной, поэтому для ее исследования применяется расширение оператора Максвелла до оператора гиперболической краевой задачи. Такое расширение предложено в работе [15] и использовалось, например, в работе [16] приизучении спектра оператора Максвелла в областях с негладкой границей.