Диссертация (Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях), страница 3

Коэффициент 0 (̂︀, ) независит от ,̂︀ поэтому для него удобно сохранить обозначение 0 (0, ).Вернемся к описанию асимптотики решения (·,,) задачи (1) при → 0. Из формул (8),(9) следует, что асимптотика функции 0 (·, ) строится только в эллиптической зоне диаметра(| |−1 ). При | | ≤ 0 (где 0 > 0 достаточно малое число, такое что 0 | ≡ 1) асимптотика решения (·,,) находится методом составных разложений; формула (8) применяется дляописания асимптотики невязки (,,) − 0 (, ) на границе () малой полости при → 0.При | | ≥ const эллиптическая зона находится внутри малой полости () и описать поведениеневязки на () невозможно. Это означает, что при | | ≥ const (иначе говоря, для описания поведения волн, длина которых меньше, чем диаметр малой полости) метод составных разложенийнеприменим.

Поэтому на правую часть волнового уравнения накладывается дополнительноеусловие гладкости по времени, благодаря которому вклад коротких волн оказывается пренебрежимо малым при → 0. При сделанных предположениях удается получить равномерную по оценку остатка в асимптотике решения (·,,). Обратное преобразование Фурье доставляетасимптотику решения исходной нестационарной задачи. Опишем главный член асимптотики.Введем норму⎞1/2⎛∫︁+∞ ∫︁⎜ ∑︁‖ ‖V(,) = ⎝⎟−2 (||−2 | (,)|2 + |∇(,) (,)|2 )⎠.||≤−∞ ∈Ω()Теорема 0.0.1. Решение задачи (1) с правой частью, подчиненной условию∫︁+∞ ∫︁| |6 |F→ (, )|2 < ∞=−∞ ∈Ωдопускает асимптотическое разложение (,,) = 0 (,) + ()0 (−1 ) + ˜1 (,,)(10)с остатком ˜1 (,,), таким что‖ ˜1 (·, · ,) ‖V(,) = (1− )при всех ∈ (0,1/2].

Функции 0 , 0 в (10) определяются, как обратные преобразования ФурьеF−1 → от функций 0 , 0 .В первой главе выведены полные асимптотические разложения решений задачи (1) с оценками остатков, результат сформулирован в следующем утверждении.11Теорема 0.0.2. Решение задачи (1) с правой частью, удовлетворяющей условию∫︁+∞ ∫︁| | (2 +1)+9 (||2(1− ) + | |2 )|F→ (, )|2 < ∞,=−∞ ∈Ωдопускает разложение (,,) =−1∑︁(︀)︀ (,) + () (−1 ,) + ˜ (,,)=0с остатком ˜ (,,), таким, что‖ ˜ (·, · ,) ‖V(,) = ( − )при всех ∈ (0,1/2].

Функции ( ∈ N) и ( ≥ 0) определяются, как обратные преобразова∞∞3ния Фурье F−1 → от функций → (·, ) ∈ (Ω∖{0}), → (·, ) ∈ (R ∖), допускающихразложения в асимптотические ряды (, ) ≃∞∑︀() (̂︀, )|| , || → 0, (, ) ≃=0∞∑︀() (̂︀, )||− , || → ∞=1()()с гладкими по переменной ̂︀ = ||−1 ∈ 2 коэффициентами (·, ), (·, ). Функция (·, )является решением задачи2−(△ + ) (, ) = [△ ,]∑︁(), ) + 2 ()||− − (̂︀=1∑︁()||− − (̂︀, ), ∈ Ω,=1,2 (, ) = 0, ∈ Ω.Функция (·, ) является решением задачи(3)−△ (, ) = 2 ˜−2 (, ), ∈ R3 ∖, (, ) = −∑︀()|| − (̂︀, ), ∈ .=0Полученные для задачи (1) результаты обобщены (на уровне главного члена асимптотики)на случай ограниченной области Ξ() ⊂ R3 с гладкой границей, вырождающуюся при → 0в область Ξ с конической точкой (начало координат) на границе. Более точно, в окрестностиначала координат область Ξ совпадает с открытым конусом K, вне вершины конуса граница Ξгладкая.

Область Ξ() задается формулой Ξ() = Ξ∖(K∖Λ()), где Λ() = { ∈ R3 : −1 ∈ Λ},область Λ ⊂ K имеет гладкую границу и совпадает с K в окрестности бесконечности.Во второй главе рассматривается стационарная система уравнений Максвелла в Ω(){︃rot2 (,,) + 1 (,,) = 1 (),−div1 (,,) = 1 (),−rot1 (,,) + 2 (,,) = 2 (), −div2 (,,) = 2 ().(11)12Параметр = − фиксирован, ∈ R и > 0.

Трехкомпонентные вектор-функции 1 ,2подчинены краевому условию() × 1 (,,) = ⃗0, ⟨(),2 (,,)⟩ = 0, ∈ Ω(),(12)отвечающему идеально проводящей границе; – единичный вектор внешней нормали, ⟨,⟩обозначает скалярное произведение векторов , ∈ C . Система (11) переопределенная (восемьуравнений для шести скалярных функций); для разрешимости задачи (11), (12) необходимыусловия совместностиdiv () − () = 0, ∈ Ω(), = 1,2;⟨ 2 (),()⟩ = 0, ∈ Ω().(13)Добавлением двух неизвестных скалярных функций 1 и 2 задача (11), (12) расширяется доэллиптической задачи(( ) + )u(,,) = f (), ∈ Ω();Γu(,,) = 0, ∈ Ω(),(14)(см., например, [15]). Здесь u = (1 ,2 ,1 ,2 ) , f = ( 1 , 2 , 1 , 2 ) - вектор-столбцы, и( )(1 ,2 ,1 ,2 ) = (rot2 − ∇ 1 , −rot1 − ∇ 2 , −div1 , −div2 ) ;граничный оператор Γ задан соотношениемΓ(1 ,2 ,1 ,2 ) = (−⟨1 ,2 ⟩,⟨1 ,1 ⟩, ⟨2 ,⟩, 1 ) ,(15)где 1 ,2 – единичные касательные векторы, такие что 1 ,2 , образуют правую тройку ортонормированных векторов.

Асимптотика решения u(·,,) описывается методом составных разложений.Особенностью применения метода является то, что оператор второй предельной задачи имеетнетривиальные ядро и коядро. Сформулируем основной результат для задачи (14).Теорема 0.0.3. При f ∈ ∞ (Ω) решение задачи (14) при всяком = 0,1,2,... допускает асимптотическое разложение−1−1u(,,) = ()( )( )+∑︁(︀)︀ vn (, )+()wn (−1 , ) + +1 vN+1 (, )+ũN+1 (,,)=0(16)с остатком ũN+1 (·,,), удовлетворяющим оценке‖ ũN+1 (·,,) ‖11 (Ω()) = ( +3/2− )при всех > 0. Здесь vn = (1 ,2 ,1 ,2 ) , wn = (1 ,2 ,1 ,2 ) , где (·, ) ∈ ∞ (Ω∖{0}), (·, ) ∈ ∞ (R3 ∖) - трехкомпонентные вектор-функции, а (·, ) ∈ ∞ (Ω∖{0}), (·, ) ∈13 ∞ (R3 ∖) - скалярные функции, = 1,2.

Для vn (·, ), wn (·, ) справедливы асимптотикиvn (, ) =∞∑︁()vn (̂︀, )|| , || → 0; wn (, ) ==0∞∑︁wn () (̂︀, )||− , || → ∞,=1(),1(),2(),1(),2(),1(),2(),1(),2коэффициенты vn () (·, ) = ( , , , ) и wn () (·, ) = ( , , , ) в которых являются гладкими функциями переменной ̂︀ = ||−1 = ||−1 ∈ 2 . Функция являетсярешением однородной задачи( ) = 0 в R3 ∖; Γ = 0 на и имеет вид (∇ 0 ,⃗0,0,0) , где ⃗0 = (0,0,0) , а 0 ∈ ∞ (R3 ∖) - гармоническая в R3 ∖ функция,такая что 0 ≡ 1 на , 0 () = (||−1 ) при || → ∞. При этом() ≃∞∑︁ () (̂︀)||− , || → ∞,=2где () ∈ ∞ ( 2 ).

Функция v0 (·, ) ∈ ∞ (Ω) является решением первой предельной задачи(( ) + )v0 (, ) = f (), ∈ Ω;Γv0 (, ) = 0, ∈ Ω,(17)а функция w0 (·, ) - второй предельной задачи( )w0 (, ) = −( ) (), ∈ R3 ∖;Γw0 (, ) = −Γv0 (0, ), ∈ .(18)Из условия разрешимости последней задачи находится коэффициент ( ) = ( )−1 10 (0, ).Функции vn (·, ) ( ≥ 1) являются решениями первых предельных задач(( ) + )vn (, ) = −() wn−1 (1) (̂︀, )||−1 −(︁ ∑︁)︁−[( ),]wn−k () (̂︀, )||− + ( ) (+1) (̂︀)||−(+1) , ∈ Ω∖{0};=1Γvn (, ) = 0,Функции wn (·, )( ≥ 1) являются решениями вторых предельных задач(2)( )wn (, ) = − w̃n−1 (, ), ∈ R3 ∖;∑︀Γwn (, ) = −Γvn−k () (̂︀, )|| , ∈ .=0 ∈ Ω.14Условия разрешимости этих задач(2),1 (˜−1 (·, ),∇ 0 )R3 ∖=∫︁ ∑︁(),1− (̂︀, )|| 0 .

=0однозначно фиксируют функции wn (·, ) при = 0,1,...На последнем шаге из теоремы 0.0.3 извлекается информация об асимптотике решения исходной, нерасширенной, системы Максвелла.Теорема 0.0.4. Пусть функция f ∈ ∞ (Ω) при всех ∈ (0,0 ) (0 > 0 ) удовлетворяет условиям (13). Тогда компоненты 1 , 2 функции u(·,,), компоненты 1 (·, ), 2 (·, ) функций vn (·, )и компоненты 1 (·, ), 2 (·, ) функций wn (·, ) аннулируются в Ω(), Ω∖{0} и R3 ∖, соответственно. Кроме того, аннулируются ( ), w0 (1) (·, ) и v1 (·, ).Теорема 0.0.4 означает, что при выполнении условий совместности (13) компоненты 1 (·,,),2 (·,,) функции u(·,,) являются решением исходной, нерасширенной, системы Максвелла(11) в области Ω(), а предельные задачи для vn (·, ), wn (·, ) в асимптотике u(·,,) переформулируются в терминах нерасширенной системы Максвелла для компонент (·, ), (·, ), = 1,2.Хотя в работе |Im | = > 0, полученные результаты справедливы и для вещественных если− не является собственным значением оператора {(),Γ} в области Ω и окрестность − привсех ∈ (0,0 ) (0 > 0) свободна от спектра оператора {(),Γ} в области Ω().В третьей главе рассматривается нестационарная система уравнений Максвелла{︃ 1 (,,) − rot 2 (,,) = ℱ 1 (,), div 1 (,,) = 1 (,), 2 (,,) + rot 1 (,,) = ℱ 2 (,), div 2 (,,) = 2 (,), (,) ∈ Ω() × R(19)с краевым условием() × 1 (,,) = ⃗0, ⟨(), 2 (,,)⟩ = 0, (,) ∈ Ω() × R.(20)Здесь (·, · ,) и ℱ - трехкомпонентные вектор-функции, - скалярные функции, = 1,2.Правая часть ℱ = (ℱ 1 ,ℱ 2 , 1 , 2 ) определена в цилиндре {(,) : ∈ Ω, ∈ R}.

Добавлениемдвух неизвестных функций 1 и 2 задача (19),(20) расширяется до гиперболической задачи( + ( )) (,,) = ℱ (,), (,) ∈ Ω() × R;Γ (,,) = 0, (,) ∈ Ω() × R,(21)где = ( 1 , 2 ,1 ,2 ) и ( ) = ( ). После комплексного преобразования Фурьеu = F→ , f = −F→ ℱ , = − ( ∈ R, = const > 0)задача (21) переходит в семейство задач (14) зависящих от параметра .

Формально асимптотикарешения (·, · ,) при → 0 получается обратным преобразованием Фурье из разложения (16).15Схема обоснования асимптотики та же, что и для задачи Дирихле для волнового уравнения вобласти Ω(), однако ее реализация усложняется. Оператор второй предельной задачи (32) независит от параметра и является эллиптическим; новым обстоятельством является то, чтоэтот оператор имеет нетривиальные ядро и коядро. Оператор первой предельной задачи (17)существенно зависит от : он не является эллиптическим с учетом параметра . Поэтому несуществует равномерной по глобальной оценки решения v0 (·, ) и его первых производныхв Ω.

Теперь такая оценка получается только в окрестности начала координат ("эллиптическойзоне"), имеющей диаметр порядка | |−1 . В оставшейся части Ω используется глобальная оценкарешения по 2 −норме. Эти две оценки склеиваются в промежуточной зоне при достаточнобольшом ≥ 0 . В результате получается комбинированная оценка, которая позволяет вывестиравномерную по асимптотику решения первой предельной задачи в окрестности точки = 0.Такая асимптотика, по существу, получена в работе [13] и имеет видv0 (, ) = ()−1∑︁()v0 () (̂︀, )|| + ṽ0 (, ),(22)=0где коэффициенты v0 () (·, ) ∈ ∞ ( 2 ) однозначно определяются правой частью f (·, ), причем()v0 (0) (̂︀, ) не зависит от .̂︀ Остаток ṽ0 (·, ) при всяком ∈ (0,1) удовлетворяет неравенству()‖ ṽ0 (·, ) ‖−−1/2+ ( ) ≤ ‖ f (·, ) ‖ℛ−−1/2+ ( ) −1 | |.Здесь норма ‖ · ‖ℛ ( ) дана формулой (7), однако пространство ( ) функций переменнойгладкости теперь представляет собой замыкание ∞ (Ω∖{0}) не по норме (3.12), а по норме(︁‖ ‖ ( ) = ‖ ‖2 1 (Ω, )2+ ‖ ‖2 0 (Ω))︁1/2.При | | ≥ const эллиптическая зона находится внутри () и в разложении (22) нельзя перейтик следу на ().

Поэтому при больших становится невозможным описать поведение невязкиот решения первой предельной задачи в граничном условии на () и метод составных разложений неприменим. Как и в случае волнового уравнения в области Ω(), на правую часть ℱнакладывается дополнительное условие гладкости по , которое позволяет пренебречь вкладомкоротких волн и обосновывать асимптотику решения (·, · ,) при → 0.Теорема 0.0.5. Пусть > 0, ∈ (0,1), и правая часть ℱ удовлетворяет условию∫︁+∞ ∫︁=−∞ ∈Ω(︀)︀| | ||−2 −3+2 + | | |F→ ℱ (, )|2 < ∞,(23)16в котором = 2 ( + 3) + 10 + 2, = 2 + 5 − 2. Тогда решение (·, · ,) задачи (21)допускает асимптотическое разложение−1−1 (,,) = ()A()( ) +∑︁(︁)︁ (,) + () (−1 ,) +(24)=0˜ +1 (,,)+ +1 +1 (,) + ˜ +1 (·, · ,), подчиненным оценкес остатком ∫︁+∞ ∫︁˜ +1 (,,)|2 = (2 +3−2 ).−2 |(25)=−∞ ∈Ω()Слагаемые A, , в разложении (24) задаются равенствами−1−1A() = F−1 → , = F → vi , = F → wi ,где функции → ( ), (, ) → vi (, ), (, ) → wi (, ) - такие же, как в разложении (16).Последний шаг - возвращение к исходной нерасширенной задаче (19),(20).