Диссертация (Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях), страница 7

При выводе используется индукция: для описания асимптотики решений , используется информация об асимптотикерешений , при < . База индукции - асимптотика функций 0 , 0 - вытекает из предложения 1.1.1 и из следующего утверждения.Предложение 1.3.1. (см. [6], 1.6.3, [7], теорема 2.3.1) Пусть ∈ N, ∈ (0,1), ∈0 +1/2− (R3 ∖) и ∈ 3/2 (). Решение 0 ∈ 12 (R3 ∖) задачи−△ () = (), ∈ R3 ∖,() = (), ∈ допускает разложение() =−1∑︁=1||− () (̂︀) + ˜ ( ) ().39()Коэффициенты разложения (̂︀) однозначно определяются по и , и являются собственными функциями оператора −△ 2 (где △ 2 - оператор Лапласа-Бельтрами), отвечающимисобственным значениям ( − 1). Справедлива оценка−1∑︁(︀)︀‖ () ‖ 2 ( 2 ) + ‖ ˜ ( ) ‖2 +1/2− (R3 ∖) ≤ ‖ ‖0 +1/2− (R3 ∖) + ‖ ‖ 3/2 () .=1Из предложения 1.3.1 следует, что для 0 (·, ) при всяком ∈ N справедливо разложение0 (, ) =−1∑︁()( )||− 0 (̂︀, ) + ˜0 (, ),=1коэффициенты и остаток которого удовлетворяют оценке−1∑︁()( )‖ 0 (·, ) ‖ 2 ( 2 ) + ‖ ˜0 (·, ) ‖2 (R3 ∖) ≤ |0 (0, )|.(1.76)=1Пусть теперь ≥ 1.

Сведения об асимптотике решения (·, ) при || → 0 предоставляетследующее утверждение.Предложение 1.3.2. Пусть(), )− (̂︀=[(−)/2]∑︀(,), ), = 1,..,,− (̂︀=0(,)где − (·, ) - собственные функции оператора −△ 2 , отвечающие собственным значениям( + 2 − 1)( + 2), [] - целая часть . Тогда решение (·, ) ∈ 1 (Ω) задачи (1.72) при любом = + 1, + 2,... допускает представление (, ) = ()∑︁−−1() (̂︀, )|| + ˜( −) (, ).(1.77)=0()Здесь (·, ) - гладкие на сфере 2 функции, подчиненные неравенству‖() (·, )‖ 2 ( 2 ) ≤ () [(−)/2]∑︁∑︁=1( −)Остаток ˜‖(,)‖ − (·, ) ‖ 2 ( 2 ) | | −++7/2 .(1.78)=0(·, ) удовлетворяет оценке˜( −) (·, )‖− +1 ( ) ≤ () [(−)/2]∑︁∑︁=1Постоянные в обеих оценках не зависят от .=0(,)‖ − (·, ) ‖ 2 ( 2 ) | |2 −2+4 .(1.79)40Доказательство.

Слагаемое с коммутатором [△ ,] в правой части (1.72) принадлежит пространству 0 (Ω) при любом ∈ R. Препятствие, которое мешает воспользоваться предложением 1.1.1, состоит в том, что оставшееся слагаемое в правой части уравнения (1.72) растет вокрестности нуля. Чтобы обойти это затруднение, мы вводим формальное решение уравнения−(△ + 2 ) = 2||−∑︀[(−)/2]∑︀=0=1,2(,)− (̂︀, ), ∈ R3 ∖{0}.(1.80)в виде ряда[(−)/2]∑︁∑︁−||(,)− (̂︀, )=0=1,2∞∑︁( ||) , ,=2Коэффициенты , определяются однозначно из уравнения (1.80). Обозначим[(−)/2] (, ) =∑︁∑︁−||(,), )− (̂︀ +−−2∑︁=0=1,2( ||) , .=2Функция 1 (, ) = (, ) − () (, ) является решением задачи−(△ + 2 )1 (, ) = ℎ (, )+[△ ,]∑︁[(−)/2]−||=1∑︁(,)− (̂︀, ), ∈ Ω;(1.81)=01 (, ) = 0, ∈ Ω,где[(−)/2]2ℎ = ()∑︁−||=1,2∑︁(,)− (̂︀, )∑︁( ||) +−−1− ,+−−1− + [△ ,] .=0,1=00Правая часть уравнения (1.81) принадлежит пространству −+1 (Ω), поэтому можно восполь-зоваться предложением 1.1.1.

Из него следует разложение1 (, )= ()∑︁−−11,() (̂︀, )|| + ˜1,( −) (, ),(1.82)=0коэффициенты и остаток которого удовлетворяют оценкам‖ 1,() (·, ) ‖ 2 ( 2 ) ≤ () ‖ (△ + 2 )1 (·, ) ‖ℛ− +1 (Ω, ) | |1/2++− ,(1.83)‖ ˜1,( −) (·, ) ‖− +1 ( ) ≤ () ‖ (△ + 2 )1 (·, ) ‖ℛ− +1 (Ω, ) | |.(1.84)41Из формулы (1.82) следует разложение (1.77), в котором[(−)/2], )() (̂︀=, )1,() (̂︀+∑︁∑︁=1,2=0(,), +− (̂︀, )+ ,˜( −) (, ) = ˜1,( −) (, ) + (() − ()) (, ).(1.85)(1.86)Нам осталось вывести оценки (1.78) и (1.79).

Для функции () = || (̂︀) справедливы неравенства‖ [△ ,] ‖0 (Ω) ≤ (,) ‖ ‖ 2 ( 2 ) , (, ∈ R),‖ ( − ) ‖ (Ω, ) ≤ (,,) ‖ ‖ 2 ( 2 ) (| | + | |−−−3/2 ), (, ∈ R),‖ ‖ (Ω, ) ≤ (,,) ‖ ‖ 2 ( 2 ) | | , ( + − ≥ −3/2, ≤ 2).Используя их для оценки функций (△ + 2 )1 (, ) и (() − ()) (, ), получаем‖ (△ + 2)1 (·, ) [(−)/2]∑︁∑︁‖ℛ− +1 (Ω, ) ≤ (1.87)=0=1‖ ( − ) (·, ) ‖− +1 (Ω, ) ≤(,)‖ − (·, ) ‖ 2 ( 2 ) | |2 −2+3 , [(−)/2]∑︁∑︁(,)‖ − (·, ) ‖ 2 ( 2 ) | | −+2 .(1.88)=0=1Из (1.87), (1.83), (1.85) следует неравенство (1.78). Из (1.87), (1.84), (1.86), (1.88) следует оценка(1.79).Сведения об асимптотике решения (·, ) при || → ∞ доставляет следующее утверждение.()Предложение 1.3.3.

Пусть ∈ (0,1), − (·, ) ∈ ∞ ( 2 ) ( = 0,..,), и(3)˜−2 (, )=∑︁−+1[(−2)/2]∑︁−||=3( −+2)(,)−2 (̂︀, ) + ˜−2(, ),=0(,)где = + 1, + 2,..., −2 (·, ) - собственные функции оператора −△ 2 , отвечающие соб( −+2)ственным значениям ( + 2 − 1)( + 2), а ˜−2(·, ) ∈ 2 −−+5/2 (R3 ∖).

Тогда решение (, ) ∈ 12 (R3 ∖) задачи (1.73) допускает представление (, ) =∑︁−−1=1[/2]−||∑︁=0(,) (̂︀, ) + ˜( −) (, ),(1.89)42(,)где (·, ) - собственные функции оператора −△ 2 , отвечающие собственным значениям( + 2 − 1)( + 2). Справедлива оценка∑︁−−1 [/2]∑︁=1‖(,) (·, )‖ 2 ( 2 ) + ‖˜( −) (·, )‖2 −−+1/2 (R3 ∖) ≤ (︁ ∑︁()‖ − (·, ) ‖ 2 ( 2 ) +=0=02+| |(︀‖( −+2)˜−2(·, )‖2 −−+5/2 (R3 ∖)+∑︁−+1 [(−2)/2]∑︁=3‖(,)−2 (·, )‖ 2 ( 2 ))︀)︁,=0(1.90)постоянная в которой не зависит от .Доказательство.

Для того, чтобы свести доказательство к использованию предложения 1.3.1,мы вводим решение уравнения−△ 1 (, ) = 2 −+1∑︀[(−2)/2]∑︀||−=3(,)−2 (̂︀, ), ∈ R3 ∖{0}(1.91)=0в виде1 (, )=2∑︁−+1[(−2)/2]2−||=3∑︁(,), −2 (̂︀, ).(1.92)=0Коэффициенты , определяются однозначно из уравнения (1.91). Для удобства перепишем формулу (1.92) в виде1 (, )=∑︁−−1=1(,)(+2,−1)где (̂︀, ) = 2 +2,−1 −2[/2]−||∑︁(,) (̂︀, ),(1.93)=1(̂︀, ) - собственная функция оператора △ 2 , отвечающая соб-ственному значению (+2 −1)(+2). Функция 2 (, ) = (, )−1 (, ) является решениемзадачи −+2−△ 2 (, ) = 2 ˜−2(, ), ∈ R3 ∖,∑︀()2 (, ) = −|| − (̂︀, ) − 1 (, ), ∈ .=0Из предложения 1.3.1 (при − вместо ) следует, что2 (, )=∑︁−−1=1||− (,0) (̂︀, ) + ˜2,( −) (, ),(1.94)43(,0)где (·, ) - собственная функция оператора △ 2 , отвечающая собственному значению (−1),2,( −)˜∑︁−−1(·, ) ∈ 2 −−+1/2 (R3 ∖); выполнено неравенство‖(,0) (·, )‖ 2 ( 2 ) + ‖˜2,( −) (·, )‖2 −−+1/2 (R3 ∖) ≤ (︁ ∑︁()‖ − (·, ) ‖ 2 ( 2 ) + (1.95)=0=12+| |(︀‖( −+2)˜−2(·, )‖0 −−+5/2 (R3 ∖) +∑︁−+1 [(−2)/2]∑︁‖(,)−2 (·, )‖ 2 ( 2 ))︀)︁.=0=3( −)Формулы (1.93),(1.94) дают разложение (1.89), в котором ˜2,( −)(·, ) = ˜(·, ).

Из соотно-шений(,)(+2,−1)‖ (·, ) ‖ 2 ( 2 ) ≤ | |2 ‖ −2‖( −+2)˜−2(·, )‖0 −−+1/2 (R3 ∖) ≤‖(·, ) ‖ 2 ( 2 ) ,( −+2)˜−2(·, )‖2 −−+5/2 (R3 ∖) .и оценки (1.95) следует неравенство (1.90).Пусть (·, ) ∈ ℛ1− ( ). Последовательным применением предложений 1.3.2 и 1.3.3 при = 1,2,..., − 1 выводятся асимптотические разложения (1.77) и (1.89) для (·, ) и (·, ).Предложение 1.3.4. Пусть (·, ) ∈ ℛ1− ( ).

Тогда при = 0,..., − 1 справедливы оценки‖ ˜( −) (·, ) ‖− +1 ( ) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) | |( −1/2)+4 ,(1.96)‖ ˜( −) (·, ) ‖2 −−+1/2 (R3 ∖) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) | |( +3/2)+3/2− .(1.97)Постоянные в оценках (1.96) и (1.97) не зависят от .Доказательство. При = 0 формулы (1.96),(1.97) следуют из оценок (1.14),(1.76) и (1.15).Обратимся к случаю = 1,..., − 1. Обозначим ( )=∑︁−−1‖ () (·, ) ‖ 2 ( 2 ) | |−(+) ,=0 ( )=∑︁−−1 [/2]∑︁=1‖ (,) (·, ) ‖ 2 ( 2 ) + ‖ ˜( −) (·, ) ‖2 −−+1/2 (R3 ∖) .=0Оценки (1.78),(1.90) переписываются в виде‖() (·, )‖ 2 ( 2 ) ≤ ()−1∑︁ ( )| | −++7/2 ,(1.98)=0 ( )2≤ {| |−2( )+ | |∑︁=0−( )}.(1.99)44Из (1.98) получаем ( ) ≤ ()−1∑︁ ( )| | −2+7/2 ≤ ()=0−1∑︁ ( )| | −2+3/2 ,(1.100)=0откуда−1∑︁−( )≤ ()=0−1∑︁ ( )| | −2+3/2 .(1.101)=0ПоложимW ( )=∑︁ ( )| |−2 ,=0тогда неравенство (1.100) можно переписать в форме +3/2 ( ) ≤ ()W,−1 ( )| |(1.102)а неравенства (1.99) и (1.101) приводят к оценке +3/2( )}+ 0 ( ) + | |−(−2) −2 ( ) ≤ ()| | {W−1 ( )| | +3/2≤ ()| | {W+ 0 ( )}.−1 ( )| |(1.103)Отсюда−2 +3/2W ( ) ≤ W+ 0 ( )}| |− .

( ) = W−1 ( ) + | |−1 ( ) + (){W−1 ( )| |В результате получается рекуррентная формула(︀ )︀(︀)︀ +3/2−W ( ) + 0 ( ) ≤ () W,−1 ( ) + 0 ( ) | |из которой вытекает оценка)︀ ( −/2+1)(︀ ≤ ()0 ( )| |( +1/2)W ( ) ≤ () 0 ( ) + 0 ( ) | |(в последнем неравенстве использована оценка (1.76)). Отсюда и из (1.102) и (1.103) выводим ( ) ≤ ()| |( +3/2)+1 0 ( ).(1.104)Оценка (1.15) влечет за собой формулу0 ( ) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) | |1/2− .(1.105)45Из (1.104), (1.105) и очевидного неравенства‖ ˜( −) (·, ) ‖2 −−+1/2 (R3 ∖) ≤ ( )получается оценка (1.97).

Из формул (1.79), (1.104), (1.105) следует неравенство (1.96).1.3.3Оценка остатка в асимптотическом разложении решения задачи (1.4)с членамиОстаток ˜ (,,) = (,,) − −1 (,,) удовлетворяет уравнению(2)−(△ + 2 )˜ (,,) = 2 (){ −1 −1 (−1 , ) + −2 ˜ −2 (−1 , )}++−1∑︁ [△ ,]˜ − (−1 , ), ∈ Ω()(1.106)=0и граничным условиям ∈ Ω,˜ (,,) = 0,˜ (,,) = −∑︀−1( −) ˜(, ), ∈ ().(1.107)=0Предложение 1.3.5. Пусть (·, ) ∈ ℛ1− ( ) при всех ∈ R. Тогда при | | ≤ 0 , и ∈ (0,1/2]справедлива оценка‖ ˜ (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ () − | | ( −1/2)+9/2 ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) .(1.108)Постоянная в оценке (1.108) не зависит и .Доказательство.

Оценим функцию ˜ (·,,)|() . Из леммы 1.2.4 при = − + 1 следуетнеравенство‖ ()˜( −) (·, ) ‖ 3/2 () ≤ −1/2 ‖ ˜( −) (·, ) ‖− +1 ( ) .Отсюда и из (1.96) следует, что‖ ()˜( −) (·, ) ‖ 3/2 () ≤ () −1/2 ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) | |( −1/2)+4 .Суммируя последнее неравенство по = 0,..., − 1 и пользуясь формулой (1.107), получаем‖ ()˜ (·,,) ‖ 3/2 () ≤ () −1/2 ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) | |( −1)( −1/2)+4 .(1.109)46Теперь оценим функцию (△ + 2 )˜ (·,,).

Пусть˜0 (,,) = −−1∑︁ [△ ,]˜( −) (−1 , ),=0˜1 (,,)2= − (){ −1−1(2) −1 ( , ) + −2 ˜ −2 (−1 , )},тогда (△ + 2 )˜ (,,) = ˜0 (,,) + ˜1 (,,) согласно (1.106). Из неравенства (1.41) (при = + 1/2 − − ) и оценки (1.97) следует, что‖ [△ ,]˜( −), (·, ) ‖2 (Ω()) ≤ () − ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) | |( +3/2)+3/2−(здесь () = (−1 )).

Отсюда суммированием по = 0,.., − 1 получается оценка‖ ˜0 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ () − ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) | | ( −1/2) .Аналогично, неравенство (1.42) и оценка (1.97) приводят к формуле‖ ˜1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ () − ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) | | ( −1/2) .Суммируя последние два неравенства, получаем‖ (△ + 2 )˜ (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ () − ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) | | ( −1/2) .(1.110)Из формул (1.109), (1.110) и априорной оценки (1.22) вытекает неравенство (1.108).Предложение 1.3.6. Пусть (·, ) ∈ ℛ1− ( ) при всех ∈ R. Тогда при | | > 0 , и ∈ (0,1/2]справедливы оценки‖ (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) ,(1.111)‖ (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ () − | | ( −1/2)+9/2 ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) .(1.112)Постоянные в оценках (1.111), (1.112) не зависят от и .Доказательство.