Диссертация (Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях), страница 11

Пусть функция u ∈ ∞ (R3 ∖) удовлетворяет уравнениям (2.47). Тогда любое извключений u ∈ 01 (R3 ∖) или u ∈ 2 (R3 ∖) означает, что u = , где ∈ C, а 8-компонентнаявектор-функция задана формулой = (∇ 0 ,⃗0,0,0) .Замечание 2.4.5. Из (2.43) следует, что () = (||−2 ), () = (||−3 ) при || → ∞. Такимобразом, ∈ 11 (R3 ∖).Доказательство. Пусть u = (1 ,2 ,1 ,2 ) ∈ ∞ (R3 ∖) и u ∈ 01 (R3 ∖)∪2 (R3 ∖). Из системы( )u = 0 в R3 ∖ по формуле (2.9) выписывается уравнениеrot1 + ∇ 2 = 0 на .Умножим обе его части скалярно на . Учитывая⟨, rot 1 ⟩ + ⟨∇ , × 1 ⟩ = 0 на ,получим 2 = ⟨∇ , × 1 ⟩ на .Ввиду формулы (2.11) равенство Γu = 0 равносильно условиям 1 = 0, ⟨, 2 ⟩ = 0 и × 1 = 0на . Поэтому в предыдущей формуле 2 = 0. Уравнение ( )u = 0 в R3 ∖ с учетом (2.10)дает △ u = 0 в R3 ∖.

В частности, △ 1 = △ 2 = 0 в R3 ∖. Кроме того, ∈ 01 (R3 ∖) ∪2 (R3 ∖) ( = 1,2). С помощью леммы 2.4.2 отсюда выводим, что 1 = 0, 2 = 0. Теперь система( )u = 0 в R3 ∖ принимает видrot1 = 0, rot2 = 0,(2.48)div1 = 0, div2 = 0.(2.49)В силу теоремы Стокса формулы (2.48) равносильны равенствам 1 = ∇ 1 , 2 = ∇ 2 , где ∈ ∞ (R3 ∖) – скалярные потенциалы. Уравнения (2.49) означают, что △ = 0 в R3 ∖, аиз условий ⟨, 2 ⟩ = 0 и × 1 = 0 следует, что ∇ 1 = 0, 2 = 0 на . Тогда из включений∇ = ∈ 01 (R3 ∖) ∪ 2 (R3 ∖) по лемме 2.4.3 получаем 2 = const, 1 = 1 + 2 0 в R3 ∖(где 1 и 2 – некоторые константы). Поэтому 2 = 0, 1 = 2 ∇ 0 , и значит, u = 2 .Из леммы 2.4.4 вытекает теорема о разрешимости задачи (2.33), (2.34):69Теорема 2.4.6. Решение w ∈ 01 (R3 ∖) задачи (2.33), (2.34) с правой частью f ∈ 2 (R3 ∖), ∈ 1/2 () существует, если и только если( 1 ,∇ 0 )R3 ∖ = ( 4 , 0 ) ;при этом решение w определено с точностью до слагаемого , где – произвольная константа.Займемся описанием асимптотики решения задачи (2.33),(2.34).

Следующее утверждениепредставляет собой частный случай теоремы 4.2.1, [7].Теорема 2.4.7. Пусть = 2, 3, . . . , f ∈ 0 (R3 ∖) и ∈ 1/2 (). Тогда для всякого решения w ∈ 01 (R3 ∖) задачи (2.33), (2.34) с правой частью f , справедливо асимптотическоепредставлениеw() =∑︁||− (,) + w̃()(2.50)=2с остатком w̃ ∈ 1 (R3 ∖). Коэффициенты в (2.50) удовлетворяют уравнениям A() = 0.Справедлива оценка∑︁0 (R3 ∖) }.‖ ‖ 1 ( 2 ) + ‖ w̃ ‖1 (R3 ∖) ≤ {‖ f ‖0 (R3 ∖) + ‖ ‖ 1/2 () + ‖ w ‖−1=2При = 1 формула (2.50) принимает вид w = w̃.В дальнейшем понадобится асимптотика решения w задачи (2.33),(2.34) с правой частьюf ∈ 2 (R3 ∖), которая отличается от элемента пространства 0 (R3 ∖) ( = 2,3,..) конечнойсуммой членов вида1 (, )− Φ(,)||− ,(2.51)где A()Φ = 0, , = 2,3,.., ≥ , причем 1 – та же матрица, что и в (2.17).

Эта асимптотикаописывается в следующем утверждении.Лемма 2.4.8. Пусть правая часть f задачи (2.33), (2.34) задана формулой (2.51), ∈ 1/2 ()и 2 ∈ N. Тогда для решения w ∈ 01 (R3 ∖) задачи (2.33),(2.34) справедливо асимптотическоепредставлениеw() =∑︁||− (,) + w̃()(2.52)=1с остатком w̃ ∈ 1 (R3 ∖). При ̸= − 1 коэффициенты разложения удовлетворяютуравнениям A() = 0. Выполняется равенство−1 = (, − + 1)−1 −+1Φ(,) + ˜−1 ,170в котором число (, − + 1) ̸= 0 такое же, как в лемме 2.3.2, иA(( − 1))˜−1 = 0.

Верна оценка∑︁0 (R3 ∖) }.‖ ‖ 1 ( 2 ) + ‖ w̃ ‖1 (R3 ∖) ≤ {‖ Φ ‖ 1 ( 2 ) + ‖ ‖ 1/2 () + ‖ w ‖−1=1Доказательство. Утверждение леммы получается теми же рассуждениями, что и в доказательстве леммы 2.3.3.Следствие 2.4.9. Пусть правая часть f задачи (2.33), (2.34) отличается от элемента пространства 0 (R3 ∖) ( = 2,3,..) конечной суммой членов вида (2.51), ∈ 1/2 () и 2 ∈ N.Тогда для решения w ∈ 01 (R3 ∖) задачи (2.33), (2.34) справедливо асимптотическое представление (2.52) с остатком w̃ ∈ 1 (R3 ∖).

Каждый коэффициент ˜ в разложении есть конечнаясумма функций вида −1 Φ (,), где A()Φ = 0, ( = 2,3,...).2.52.5.1Главный член асимптотикиГлавный член асимптотики решения задачи (2.7),(2.8)Пусть параметр фиксирован и f ∈ ∞ (Ω). Возьмем в качестве аппроксимации функцииu(·,,) при → 0 решение v0 = (01 ,02 ,10 ,20 ) первой предельной задачи(( ) + )v0 (, ) = f (), ∈ Ω;(2.53)Γv0 (, ) = 0, ∈ Ω.(2.54)Задача (2.53), (2.54) получается из задачи (2.7),(2.8) заклеиванием полости (). Единственноерешение v0 (·, ) ∈ 1 (Ω) принадлежит классу ∞ (Ω).

Функция v0 (·, ) удовлетворяет уравнению (2.7) и граничному условию (2.8) на Ω, однако не удовлетворяет условию (2.8) на ().Запишем невязку в видеΓv0 (, ) − Γu(,,) = Γv0 (, ) = Γv(0, ) + (), ∈ ().Для того чтобы компенсировать главный член невязки Γv(0, ), введем поправку(︀)︀w(,,) := () −1 ( )(−1 ) + w0 (−1 , ) .Здесь ∈ ∞ (Ω,R) (множество гладких функций с компактными носителями в области Ω), =1 в окрестности начала координат, ( ) - некоторый постоянный коэффициент, ∈ 11 (R3 ∖) решение однородной задачи (2.33), (2.34), описанное в предложении 2.4.4, а w0 (·, ) ∈ 01 (R3 ∖)удовлетворяет граничному условию Γw0 (, ) = −Γv(0, ) при ∈ .

Поправка w(·,,) вносит71в уравнение (2.7) невязку(( ) + )w(,,) = −1 (){( ) () + ( )w0 (, )}+(︀)︀+ ()w0 (−1 , ) + () −1 ( )(−1 ) + w0 (−1 , ) ,(2.55)где = −1 , – матричнозначная функция, введенная после формулы (2.32). Поскольку() = (||−2 ) при || → ∞ (замечание 2.4.5), а функция аннулируется в окрестности началакоординат, ясно, что max∈Ω() |−1 ()( )(−1 )| = () при → 0. Поэтому главный членневязки – это первое слагаемое в правой части (2.55), которое аннулируется, если и только если( )w0 (·, ) = −( ) в R3 ∖.

Таким образом, функция w0 (·, ) является решением задачи( )w0 (, ) = −( ) (), ∈ R3 ∖;(2.56)Γw0 (, ) = −Γv0 (0, ), ∈ .(2.57)Так как ∈ 11 (R3 ∖), правая часть уравнения (2.56) принадлежит пространству 2 (R3 ∖).Мы ищем решение w0 (·, ) в классе 01 (R3 ∖). Согласно теореме 2.4.6 (с учетом формулы =(∇ 0 , ⃗0,0,0) ) это решение существует тогда и только тогда, когда( ) ‖∇ 0 ‖22 (R3 ∖) =10 (0, )∫︁ 0 ;при этом решение w0 определено с точностью до слагаемого const.

С помощью формулы (2.44)из последнего условия находим коэффициент ,( ) = ( )−1 10 (0, ).(2.58)() = (2) (,)||−2 + ˜(3) (),(2.59)Асимптотическое разложениеполучается из теоремы 2.4.7; здесь A(2) (2) = 0, ˜(3) ∈ 21 (R3 ∖). Тогда из следствия 2.4.9получается асимптотика функции → w0 () при → ∞(2)w0 (, ) = w0 (1) (,, )||−1 + w̃0 (, ),(2.60)(2)в которой w0 (1) (·, · , ) = 10 (0, )1 (2) , w̃0 (·, ) ∈ 11 (R3 ∖). С учетом формул (2.59), (2.60)выражение для невязки (2.55) переписывается в виде(︀)︀ ()w0 (1) (,, )||−1 + ()(( ) (2) (,)||−2 + w0 (1) (,, )||−1 ) +(︀)︀(2)(2)+ ()w̃0 (−1 , ) + () −1 ( )˜(3) (−1 ) + w̃0 (−1 , ) .(2.61)72Главный член невязки дается первым слагаемым в (2.61), мы компенсируем его при помощирешения задачи(( ) + )v1 (, ) = − ()w0 (1) (,, )||−1 −−(){( ) (2) (,)||−2 + w0 (1) (,, )||−1 }, ∈ Ω;(2.62)Γv1 (, ) = 0, ∈ Ω.(2.63)Правая часть уравнения (2.62) принадлежит пространству 2 (Ω), поэтому у задачи (2.62), (2.63)существует единственное решение v1 (·, ) ∈ 1 (Ω).

Из следствия 2.3.4 вытекает включение1v1 (·, ) ∈ −1/2+(Ω) для любого > 0. Таким образом, главный член асимптотики u(·,,) при → 0 имеет видu0 (,,) := −1 ()( )(−1 ) + v0 (, ) + ()w0 (−1 , ) + v1 (, ).2.5.2(2.64)Оценка остаткаОстаток разложения ũ1 (,,) = u(,,) − u0 (,,) является решением задачи(2)(( ) + )ũ1 (,,) = − ()w̃0 (−1 , )−{︀}︀(2)−() −1 ( )˜(3) (−1 ) + w̃0 (−1 , ) ,Γũ1 (,,) =(1)−Γ{ṽ0 (, )(2.65) ∈ Ω();+ v1 (, )}, ∈ ();(2.66)Γũ1 (,,) = 0, ∈ Ω.(2.67)Для оценки правой части (2.66) понадобится следующаяЛемма 2.5.1.

Для всякой функции ∈ 1 (Ω) ( ∈ R) справедливо неравенство‖ () ‖ 1/2 () ≤ −(+1/2) ‖ ‖1 (Ω)(2.68)где ()() = (), а постоянная не зависит от .Доказательство. Пусть ∈ ∞ (Ω), = 1 вблизи начала координат. При малых на выполняется равенство () = 1, поэтому по теореме вложения‖ () ‖ 1/2 () ≤ ‖ ()() ‖1 (R3 ∖) .Заменим переменные → = в правой части (2.69).

Учитывая, что‖ ()() ‖1 (R3 ∖) = −(+1/2) ‖ ‖1 (Ω()) ,получаем искомое неравенство (2.68).(2.69)73(1)11(Ω) справедливы при всяком > 0.(Ω), v1 (·, ) ∈ −1/2+Включения ṽ0 (·, ) ∈ −3/2+Поэтому в силу леммы 2.5.1‖ ()Γũ1 (·,,) ‖ 1/2 () = (1− ).(2.70)Теперь оценим правую часть уравнения (2.65). Следующее утверждение вытекает из определения норм.Лемма 2.5.2. 1. Пусть 1 ∈ ∞ (Ω), ≤ 1. Тогда для всякой функции w ∈ 1 (R3 ∖)‖ 1 w ‖2 (Ω()) ≤ 1/2+ ‖ w ‖1 (R3 ∖) ,где w () := w(−1 ).2. Пусть 2 ∈ ∞ (Ω∖{0}), ∈ R. Тогда для всякой функции w ∈ 1 (R3 ∖) справедливонеравенство‖ 2 w ‖2 (Ω()) ≤ 1/2+ ‖ w ‖1 (R3 ∖) ,где w () := w(−1 ).Постоянные в обоих неравенствах не зависят от .(2)Поскольку ˜(3) ∈ 21 (R3 ∖), w̃0 (·, ) ∈ 11 (R3 ∖), в силу леммы 2.5.2 имеем‖ (( ) + )ũ1 (·,,) ‖2 (Ω()) = (3/2 ).(2.71)Займемся выводом оценки решения задачи (2.65)–(2.67).Лемма 2.5.3.

Пусть ⊂ R3 - ограниченная область с гладкой границей. Для всякой функцииv ∈ 1 ( ) справедливо неравенство|| ‖ v ‖2 ( ) ≤‖ (( ) + )v ‖2 ( ) .(2.72)Доказательство. Из формулы Грина (2.12) следует, что Im (( )v,v) = 0; таким образом,Im ((( ) + )v,v) = Im ‖ v ‖22 ( ) .Последнее равенство приводит к формуле (2.72).Теорема 2.5.4. Пусть f = ( 1 , 2 , 1 , 2 ) ∈ 2 (Ω()) и = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) ∈ 1/2 (()). Тогдарешение ∈ 1 (Ω()) задачи(( ) + )() = f (), ∈ Ω();Γ() = (), ∈ ();Γ() = 0, ∈ Ω,74подчиняется оценке‖ ‖2 (Ω()) ≤ (){‖ f ‖2 (Ω()) +1/2 | | ‖ () ‖ 1/2 () },(2.73)в которой постоянная () не зависит от и .Доказательство.

Если ≡ 0, то неравенство (2.73) совпадает с (2.72). При ̸≡ 0 доказательствосводится к оценке (2.72); для этого введем функцию () = (−1 ), где ∈ 01 (R3 ∖) –решение задачи( )() = d(), ∈ R3 ∖;(2.74)Γ() = ()(), ∈ (2.75)(здесь d – некоторая константа). По определению, = (∇ 0 , ⃗0,0,0) , где 0 ∈ 12 (R3 ∖) – решение задачи (2.42). Согласно теореме 2.4.6 задача (2.74),(2.75) имеет решение из пространства01 (R3 ∖) тогда и только тогда, когдаd = − ‖∇ 0 ‖−22 (Ω())∫︁ () 4 () 0 ().В этом случае|d| ≤ ‖ () ‖ 1/2 () .(2.76)По теореме 2.4.1inf ‖ ‖01 (R3 ∖) ≤ {|d|· ‖ ‖2 (R3 ∖) + ‖ () ‖ 1/2 () }(инфимум берется по всем частным решениям ∈ 01 (R3 ∖) задачи (2.74), (2.75)).

С учетом(2.76) это означает, чтоinf ‖ ‖01 (R3 ∖) ≤ ‖ () ‖ 1/2 () ,и мы можем выбрать такое частное решение задачи (2.74),(2.75)), что‖ ‖01 (R3 ∖) ≤ 2 ‖ () ‖ 1/2 () .(2.77)Пусть ∈ ∞ (Ω), = 1 вблизи нуля. В силу (2.77) имеем‖ ‖01 (Ω()) ≤ 1/2 ‖ () ‖ 1/2 () .(2.78)Теперь функция − удовлетворяет граничному условию Γ = 0 на Ω(), и мы можемприменить оценку (2.72). Согласно этой оценке,‖ − ‖2 (Ω()) ≤ ||−1 {‖ f ‖2 (Ω()) + ‖ (( ) + ) ‖2 (Ω()) }.75В силу определения норм,‖ (( ) + ) ‖2 (Ω()) ≤ | | ‖ ‖01 (Ω()) ,поэтому‖ − ‖2 (Ω()) ≤ (){‖ f ‖2 (Ω()) +1/2 | | ‖ () ‖ 1/2 () }.Эта оценка вместе с неравенством (2.78) приводит к формуле (2.73).Теорема 2.5.5. Пусть f ∈ 2 (Ω()), ∈ 1/2 (()). Для решения ∈ 1 (Ω()) задачи(( ) + )() = f (), ∈ Ω();Γ() = (), ∈ ();Γ() = 0, ∈ Ω,справедлива оценка‖ ‖11 (Ω()) ≤ ( ){‖ f ‖2 (Ω()) +1/2 ‖ () ‖ 1/2 () },(2.79)в которой постоянная ( ) не зависит от .Доказательство.