Диссертация (Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях), страница 14

Оператор второй предельной задачи( )w(, ) = f (, ), ∈ R3 ∖;Γw(, ) = (, ), ∈ ,не зависит от , поэтому оценки (2.35), (2.36) ее решений являются равномерными по . Новымобстоятельством по сравнению со случаем волнового уравнения является то, что этот операторимеет нетривиальные ядро и коядро. Оператор первой предельной задачи(( ) + )v0 (, ) = f (, ), ∈ Ω;(3.10)Γv0 (, ) = 0, ∈ Ω.(3.11)не является эллиптическим с учетом параметра , иначе говоря, не существует равномерной по ∈ R оценки3∑︁‖ v0 (·, ) ‖22 (Ω) +| |2 ‖ v0 (·, ) ‖22 (Ω) ≤ () ‖ f (·, ) ‖22 (Ω) .=1Теперь такая оценка решения v0 (·, ) и его первых производных получается только в окрестностиначала координат (”эллиптической зоне”), имеющей диаметр порядка | |−1 .

В оставшейся частиобласти Ω используется глобальная оценка решения по 2 −норме. При достаточно большом ≥ 0 эти две оценки склеиваются в промежуточной зоне. Получившаяся в результате склейкикомбинированная оценка позволяет вывести равномерную по асимптотику функции v0 (·, )при || → 0. Теорема об асимптотике, по существу, доказана в работе [13]; мы приводим толькоее формулировку.

Далее мы будем обозначать через ( ) пополнение ∞ (Ω∖{0}) по норме(︁)︁1/2.‖ v ‖ ( ) = ‖ v ‖2 1 (Ω, ) + 2 ‖ v ‖2 0 (Ω, )(3.12)вместо нормы (1.10); здесь ∈ 0∞ ([0, + ∞)), = 1 вблизи нуля и () = (||||). Норма‖ · ‖ℛ ( ) по-прежнему определяется формулой (1.11).Теорема 3.1.3. Пусть ≥ 0 , где 0 > 0 – достаточно большое число, и пусть ∈ (0,1).1. Если f (·, ) ∈ ℛ−1/2+ ( ), то задача (3.10), (3.11) имеет единственное решение v0 (·, ),подчиненное оценке‖ v0 (·, ) ‖−1/2+ ( ) ≤ ‖ f (·, ) ‖ℛ−1/2+ ( ) .(3.13)882. Если f (·, ) ∈ ℛ−−1/2+ ( ), где ∈ N, то решение v0 (·, ) задачи (3.10), (3.11) допускаетпредставлениеv0 (, ) = ()−1∑︁()v0 () (,, )|| + ṽ0 (, ),(3.14)=0()с остатком ṽ0 (·, ), подчиненным неравенству()‖ ṽ0 (·, ) ‖−−1/2+ ( ) ≤ ‖ f (·, ) ‖ℛ−−1/2+ ( ) −1 | |.(3.15)Коэффициенты v0 () (·, · , ) являются гладкими функциями на единичной сфере 2 , однозначноопределенными правой частью f (·, ).

Коэффициент v0 (0) (,, ) не зависит от и и всюдудалее обозначается через v0 (0, ) = (01 (0, ),02 (0, ),10 (0, ),20 (0, )) . Справедливы неравенства‖ v0 () (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) ≤ ‖ f (·, ) ‖ℛ−−1/2+ ( ) | |−+ .(3.16)Постоянные в формулах (3.13), (3.15), (3.16) не зависят от и .Вернемся к описанию асимптотики функции u(·,,) при → 0. Пусть ∈ (0,1) и f (·, ) ∈ℛ−3/2+ ( ) при почти всех ∈ R. Применяя теорему 3.1.3 для описания невязки Γu(·,,) −Γv0 (·, ) на (), получаем(1)Γu(,,) − Γv0 (, ) = −Γ ()v0 (0, ) − Γṽ0 (, ), ∈ ().(3.17)()Остаток ṽ0 (·, ) и его первые производные оцениваются только в окрестности начала координатдиаметра (| |−1 ) - носителе функции .

При | | ≤ 0 (где 0 > 0 и 0 = 1 на ) асимптотика u(·,,) описывается методом составных разложений так же, как и при фиксированном . Прибольших | | ≥ const−1 носитель лежит внутри (). При таких | | невозможно определить()след ṽ0 (·, ) на () и формула (3.17) не имеет смысла. Следовательно, метод составных разложений неприменим при | | ≥ const, т.е.

для описания поведения волн, длина которых меньше,чем диаметр малой полости. Поэтому мы требуем, чтобы правая часть f (·, ) задачи (2.7),(2.8),умноженная на некоторую степень | |, была квадратично интегрируемой по ∈ R. Благодаряэтому условию можно пренебречь вкладом в решение (·, · ,) задачи (3.3),(3.4) тех волн, длина которых меньше, чем diam (). При сделанных предположениях обратное преобразованиеФурье доставляет асимптотику функции (·, · ,) при → 0.Теорема 3.1.4.

Пусть > 0, ∈ (0,1), и правая часть ℱ удовлетворяет условию∫︁+∞ ∫︁=−∞ ∈Ω(︀)︀| | ||−2 −3+2 + | | |F→ ℱ (, )|2 < ∞,(3.18)89в котором = 2 ( + 3) + 10 + 2, = 2 + 5 − 2. Тогда решение (·, · ,) задачи (21)допускает асимптотическое разложение−1−1 (,,) = ()A()( ) +∑︁(︁)︁ (,) + () (−1 ,) +(3.19)=0˜ +1 (,,)+ +1 +1 (,) + ˜ +1 (·, · ,), подчиненным оценкес остатком ∫︁+∞ ∫︁˜ +1 (,,)|2 = (2 +3−2 ).−2 |(3.20)=−∞ ∈Ω()Слагаемые A, , в разложении (3.19) задаются равенствами−1−1A() = F−1 → , = F → vi , = F → wi .Здесь v0 (·, ) - решение задачи (3.10), (3.11), функция → ( ) определяется формулой (2.58).Функции (, ) → vi (, ) ( = 1,2,...) определяются, как решения задач (2.96), (2.97), а функции(, ) → wi (, ) (i=0,1,...) - как частные решения задач (2.98), (2.99), фиксированные условиями(2.100).На последнем шаге из теоремы 3.1.4 извлекается информация об асимптотике решенийнерасширенной системы Максвелла (3.1).

При ℱ ∈ ∞ (Ω() × R) для существования гладкогорешения ( 1 , 2 ) задачи (3.1), (3.2) необходимы условия совместностиdivℱ (,) − (,) = 0, (,) ∈ Ω() × R, = 1,2,⟨ℱ 2 (,),()⟩ = 0,(,) ∈ Ω() × R.(3.21)(3.22)Если функция ℱ не является гладкой, этим условиям требуется подходящая интерпретация.После преобразования Фурье F→ формулы (3.21),(3.22) переходят в соотношения (2.3),(2.4), вкоторых () = −F→ ℱ (, ), () = −F→ (, ).

Пусть M(, ) - замыкание множества{( 1 , 2 , 1 , 2 ) ∈ ∞ (Ω(); C8 ) : div = в Ω() ( = 1,2); ⟨ 2 ,⟩ = 0 на Ω()}(3.23)по норме в 2 (Ω()). Условия совместности (3.21),(3.22) для правой части ℱ , подчиненной условию (3.5), где = Ω(), интерпретируются как принадлежность функции f (·, ) = −F→ ℱ (·, )пространству M(, ) при почти всех ∈ R. Если ℱ ∈ ∞ (Ω() × R), такое определение равносильно поточечному выполнению уравнений (3.21),(3.22).Теорема 3.1.5. Пусть выполнены условия Теоремы 3.1.4 и при любом ∈ (0,0 ) включение−F→ ℱ (·, )|Ω() ∈ M(, ) выполнено для почти всех ∈ R. Тогда 1) компоненты 1 ,2 решения при всех ∈ (0,0 ) аннулируются в Ω() × R; 2) функция A, компоненты ℬ1 ,ℬ2 функций90 = (1 ,2 ,ℬ1 ,ℬ2 ) и компоненты ℋ1 ,ℋ2 функций = (1 ,2 ,ℋ1 ,ℋ2 ) аннулируются наR, в (Ω∖{0}) × R и в (R3 ∖) × R, соответственно.В силу теоремы 3.1.5, при выполненнии условий совместности компоненты ( 1 , 2 ) функции (·, · ,) при всех ∈ (0,0 ) совпадают с решением нерасширенной задачи (3.1),(3.2), атеорема 3.1.4 доставляет его асимптотику при → 0.

Как и в случае стационарной системыМаксвелла, разложение (3.19) доставляет двухмасштабное разложение решения исходной системы Максвелла только при ≥ 1.3.23.2.1Главный член асимптотикиПлан вывода главного члена асимптотикиВывод главного члена асимптотики решения (·, · ,) задачи (3.3), (3.4) при → 0 проходитв несколько этапов. Сначала преобразованем Фурье F→ задача (3.3), (3.4) сводится к семействузадач (2.7), (2.8), зависящих от .

При | | ≤ 0 , → 0 главный член асимптотики функцииu(·,,) находится методом составных разложений. В этом случае 0 = 1 на и формула(3.17) принимает вид(1)Γu(,,) − Γv0 (, ) = −Γv0 (0, ) − Γṽ0 (, ), ∈ ().(3.24)Так же, как и при фиксированном , главный член невязки (3.24) компенсируется с помощьюфункции(︀)︀w(,,) := () −1 ( )(−1 ) + w0 (−1 , ) .Здесь коэффициент ( ) задан формулой (2.58) и подчиняется оценке|( )| ≤ | |−1 |v0 (0, )|,(3.25)а ∈ 11 (R3 ∖) – решение однородной задачи (2.33), (2.34), описанное в предложении 2.4.4.Функция w0 (·, ) ∈ 01 (R3 ∖) является решением второй предельной задачи (2.56), (2.57) и определена с точностью до слагаемого const( ).

Для каждого выберем частное решение w0 (·, )так, чтобы‖ w0 (·, ) ‖01 (R3 ∖) ≤ |v0 (0, )|;(3.26)это возможно благодаря неравенству (2.36). В силу леммы 2.4.8 и следствия 2.3.4 для любогочастного решения задачи (2.56),(2.57) справедливо асимптотическое разложение(2)w0 (, ) = w0 (1) (,, )||−1 + w̃0 (, ),91в котором w0 (1) (·, · , ) = 10 (0, )1 (2) ( (2) – коэффициент в разложении (2.59)), а остаток(2)w̃0 (·, ) удовлетворяет неравенству(2)0 (R3 ∖) } ≤ |v0 (0, )|.‖ w̃0 (·, ) ‖11 (R3 ∖) ≤ {|v0 (0, )|+ ‖ w0 (·, ) ‖−1(3.27)Для компенсации главного члена невязки в (2.7) от функции w(,,) вводится решение v1задачи (2.62), (2.63). Норма в ℛ−1/2+ ( ) правой части уравнения (2.62) не превосходит{|( )| + | |5/2− ‖ w0 (1) (·, · , ) ‖ 1 ( 2 ) } ≤ ()|v0 (0, )|| |5/2− ,поэтому‖ v1 (·, ) ‖−1/2+ ( ) ≤ ()|v0 (0, )|| |5/2−(3.28)в силу (3.13). При | | ≤ 0 асимптотическое разложение имеет видu(,,) = u0 (,,) + ũ1 (,,),(3.29)главный член асимптотики u0 (,,) дается выражениемu0 (,,) := −1 ()( )(−1 ) + v0 (, ) + ()w0 (−1 , ) + v1 (, ).(3.30)Остаток ũ1 (·,,) = u(·,,) − u0 (·,,) разложения (3.29) оценивается при помощи неравенства(2.73); подчеркнем, что константа () в этом неравенстве не зависит от .

На следующем шагедоказывается, что при определенных предположениях о гладкости правой части ℱ (·, ) уравнения (3.3) по времени функции u(·,,) и u0 (·,,) пренебрежимо малы при | | ≥ 0 , → 0.Благодаря этому обратное преобразование Фурье F−1 → разложения (3.29) доставляет асимптотику функции (·, · ,) и справедливаТеорема 3.2.1. Пусть > 0, ∈ (0,1) и‖ P5/2 ℱ ‖RV−3/2+ () < ∞,(3.31)где оператор P и норма ‖ · ‖RV () заданы формулами (1.56) и (1.57), соответственно.

Тогдарешение (·, · ,) задачи (3.3),(3.4) допускает асимптотическое разложение˜ 1 (,,), (,,) = −1 ()(−1 )A() + 0 (,) + () 0 (−1 ,) + 1 (,) + в котором−1−1A() = F−1 → , j = F → vj , 0 = F → w0(3.32)92˜ 1 (·, · ,) подчинен оценкеи функции , vj , w0 такие же, как в формуле (3.30).

Остаток ∫︁+∞ ∫︁˜ 1 (,,)|2 = (3−2 ).−2 |=−∞ ∈Ω()Поясним формулировку теоремы 3.2.1. С учетом эквивалентности норм (1.58) условие (3.31)означает, что норма ‖ f (·, ) ‖ℛ−3/2+ ( ) , умноженная на | |5/2 , квадратично интегрируема по ∈ R. Благодаря этому вклад в решение (·, · ,) волн, коротких по сравнению с diam(),пренебрежимо мал. Тогда асимптотика решения (·, · ,) получается обратным преобразованиемФурье F−1 → из формул (3.29), (3.30) и имеет вид (3.32). Функция 0 в (3.32) является решениемзадачи( + ( )) 0 (,) = ℱ (,),(,) ∈ Ω × R;(3.33)Γ 0 (,) = 0,(,) ∈ Ω × R,(3.34)и описывает поведение электромагнитного поля в области Ω, не возмущенной малой полостью.

Функция 0 в (3.32) определена неоднозначно, поскольку частное решение w0 (·, ) задачи (2.56),(2.57) определено с точностью до слагаемого ℎ(), где ℎ - произвольная функция. Дополнительное условие (3.26) на решение w0 (·, ) влечет включение ℎ ∈ 2 (R). Тогдачлен 0 (−1 ,) в (3.32) определен с точностью до слагаемого ()(−1 ) с произвольной ∈ 2 (R). В силу замечания 2.5.7 это слагаемое подчиняется оценке (3.33) и, следовательно,пренебрежимо мало при → 0.3.2.2Доказательство теоремы 3.2.11. Оценка остатка ũ1 (·,,) при | | ≤ 0 .При | | ≤ 0 остаток разложения ũ1 (,,) явля-ется решением задачи(2)(( ) + )ũ1 (,,) = − ()w̃0 (−1 , )−{︀}︀(2)−() −1 ( )˜(3) (−1 ) + w̃0 (−1 , ) ,(1)(3.35) ∈ Ω();Γũ1 (,,) = −Γ{ṽ0 (, ) + v1 (, )}, ∈ ();(3.36)Γũ1 (,,) = 0, ∈ Ω.(3.37)Для оценки правой части (3.36) понадобитсяЛемма 3.2.2.