Диссертация (Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях), страница 12

Пусть ∈ ∞ (Ω), = 1 вблизи нуля и = (() + ). Введем обозначения0 () = ()(), 1 () = (1 − ())(), () = (( ) + ) () ( = 0,1).Оценим функцию 0 . Положим () = 0 (), () = 0 (),тогда( ) = − в R3 ∖,Γ () = () на .Из теоремы 2.4.1 следует неравенство0 (R3 ∖) +| | ‖ ‖ 0 (R3 ∖) + ‖ () ‖ 1/2 () }.‖ ‖11 (R3 ∖) ≤ {‖ ‖10 (R3 ∖) + ‖ ‖−11(2.80)0 (R3 ∖) ≤ ‖ ‖ (R3 ∖) . Поскольку supp ⊂ { ∈Из определения норм вытекает, что ‖ ‖−12R3 ∖ : || ≤ Const−1 }, справедливо соотношение ‖ ‖10 (R3 ∖) ≤ ‖ ‖2 (R3 ∖) .

Теперь(2.80) примет вид‖ ‖11 (R3 ∖) ≤ ( ){‖ ‖10 (R3 ∖) + ‖ ‖2 (R3 ∖) + ‖ () ‖ 1/2 () }.76Отсюда после замены переменных = получим‖ 0 ‖11 (Ω()) ≤ ( ){‖ 0 ‖10 (Ω()) + ‖ 0 ‖2 (Ω()) +3/2 ‖ () ‖ 1/2 () }.(2.81)Теперь оценим 1 . Поскольку Γ1 = 0 на Ω, справедливо неравенство‖ 1 ‖ 1 (Ω) ≤ ( ){‖ 1 ‖2 (Ω) + ‖ 1 ‖2 (Ω) }(см., например, теорему 2.5.1, [20]). Вместе с оценкой (2.72) при = Ω это дает‖ 1 ‖ 1 (Ω) ≤ ( ) ‖ 1 ‖2 (Ω) .(2.82)Заметим, что [( ),]() = ()(), где – матрица-функция, введенная после формулы(2.32). Носитель отделен от нуля, поэтому‖ 0 ‖10 (Ω()) + ‖ 1 ‖2 (Ω) ≤ {‖ ‖2 (Ω()) + ‖ ‖2 (Ω()) }.(2.83)Сложим (2.81) и (2.82). Мажорируя правую часть получившегося неравенства при помощи (2.83),получаем‖ ‖11 (Ω()) ≤ ( ){‖ ‖2 (Ω()) + ‖ ‖2 (Ω()) +3/2 ‖ () ‖ 1/2 () }.Для завершения доказательства осталось заметить, что‖ ‖2 (Ω()) ≤ (){‖ (( ) + ) ‖2 (Ω()) +1/2 | | ‖ () ‖ 1/2 () }в силу теоремы 2.5.4.Cоотношения (2.70),(2.71) и (2.79) приводят к оценке‖ ũ1 (·,,) ‖11 (Ω()) = (3/2− )(2.84)при всяком > 0.

Таким образом, доказанаТеорема 2.5.6. Пусть f ∈ ∞ (Ω). Решение задачи (2.7), (2.8) допускает асимптотическое разложениеu(,,) = u0 (,,) + ũ1 (,,),(2.85)в котором функция u0 (·,,) описывается формулой (2.64), а для остатка ũ1 (·,,) справедливаоценка (2.84).Замечание 2.5.7. Главный член асимптотики u0 (·,,) определен с точностью до слагаемогоconst· (где () = (−1 )), произвол связан с неоднозначностью выбора частного решения77w0 (·, ) задачи (2.56),(2.57). Включение ∈ 11 (R3 ∖) означает, что ‖ const · ‖11 (Ω()) =(3/2 ). Поэтому слагаемое const · оказывается пренебрежимо малым.2.5.3Связь решений исходной и расширенной систем МаксвеллаПокажем, что если правая часть f = ( 1 , 2 , 1 , 2 ) задачи (2.7), (2.8) удовлетворяет условиямсовместности (2.3), (2.4), то компоненты 1 (·,,), 2 (·,,) функции u(·,,) удовлетворяют исходной нерасширенной системе уравнений Максвелла (2.1) в области Ω().

Для этого достаточно показать, что при выполнении условий совместности оставшиеся две компоненты 1 (·,,),2 (·,,) равны нулю в Ω(). Последний факт получается из следующего утверждения.Предложение 2.5.8. Пусть ⊂ R3 – ограниченная область с гладкой границей и =( 1 , 2 ,1 ,2 ) ∈ ∞ ( ) – решение задачи(( ) + ) = f в ,Γ = 0 на .Если правая часть f = ( 1 , 2 , 1 , 2 ) удовлетворяет условиям совместности−div () − () = 0, ∈ , = 1,2,⟨ 2 (),()⟩ = 0, ∈ ,(2.86)(2.87)то 1 ≡ 2 ≡ 0 в .Доказательство.

Подействуем на обе части равенства (( ) + ) = f оператором (( ) − ). По формуле (2.10) получаем, что −(△ + 2 ) = (( ) − )f . Выпишем уравнения длякомпонент 1 , 2 функции . В силу (2.9) и (2.86) они имеют вид−(△ + 2 ) = −div − = 0 в , = 1,2.Выпишем векторные уравнения системы (( ) + ) = f явно с помощью (2.9). В частности,−rot 1 () − ∇ 2 () + 2 () = 2 (),∈.При ∈ умножим обе части последнего равенства скалярно на ().

С учетом условия (2.87)имеем−⟨rot 1 ,()⟩ − 2 + ⟨ 2 ,()⟩ = 0 на .Из граничного условия Γ = 0 на следует, что 1 = 0, [ 1 × ()] = 0 и ⟨ 2 ,()⟩ = 0 на ;поэтому предыдущая формула дает 2 = 0 на . Таким образом, функция 1 (2 ) являетсярешением однородной задачи Дирихле (Неймана) для оператора Гельмгольца △ + 2 . Легковидеть, что 2 ̸∈ [0, + ∞), поэтому указанные однородные задачи имеют только тривиальныерешения. Таким образом, 1 ≡ 2 ≡ 0 в .78Следствие 2.5.9.

Пусть 0 > 0 и для правой части f исходной задачи (2.7), (2.8) при всех ∈(0,0 ) выполнены условия совместности (2.3), (2.4). Тогда компоненты 1 , 2 функции u(·,,) икомпоненты 10 , 20 функции v0 (·, ) равны нулю в Ω() и Ω, соответственно. Асимптотическоеразложение (2.85) принимает видu(,,) = v0 (, ) + u^ 1 (,,),где остаток u^ 1 (·,,) подчинен оценке‖u^ 1 (·,,) ‖11 (Ω()) = (3/2− )при всяком > 0.Доказательство. Тождества 1 ≡ 2 ≡ 0, 10 ≡ 20 ≡ 0 очевидны из предложения 2.5.8 (при = Ω() или = Ω).

Коэффициент ( ) в разложении (2.85) задан формулой (2.58) и аннулируется при 10 (0, ) = 0. Вместе с ним аннулируется коэффициент w0 (1) в разложении(2)(2.60), поэтому w0 (·, ) = w̃0 (·, ) ∈ 11 (R3 ∖). Поскольку ( ) = 0 и w0 (1) = 0, задача(2.62), (2.63) однородная, и имеет только тривиальное решение v1 (·, ) ≡ 0. Таким образом,u0 (·,,) = v0 (·, ) + w0, (·, ) (здесь w0, (, ) = w0 (−1 , )). Из включения w0 ∈ 11 (R3 ∖)следует оценка ‖ w0, ‖11 (Ω()) = (3/2 ). Поэтому ‖ u(·,,) − v0 (·, ) ‖11 (Ω()) = (3/2− ).Следствие 2.5.9 означает, что при выполнении условий совместности (2.3), (2.4) главныйчлен асимптотики решения u(·,,) при → 0 совпадает с v0 (·, ). Это значит, что для исходнойнерасширенной системы Максвелла структура двухмасштабного разложения не проявляется науровне главного члена асимптотики.

При этом компоненты 01 (·, ), 02 (·, ) функции v0 (·, ) удовлетворяют исходной системе уравнений Максвелла с правой частью f в области Ω.2.62.6.1Полное асимптотическое разложениеАсимптотический ряд для решения задачи (2.7),(2.8)Пусть параметр фиксирован и f ∈ ∞ (Ω). Будем искать асимптотическое разложение решения задачи (2.7),(2.8) при → 0 в формеu(,,) ≃ −1 ()( )(−1 ) +∞∑︁(︀)︀ vn (, ) + ()wn (−1 , ) ,(2.88)=0где коэффициент ( ) задан формулой (2.58), функция описана в предложении 2.4.4, аvn = (1 ,2 ,1 ,2 ) , wn = (1 ,2 ,1 ,2 ) – гладкие функции в Ω∖{0} и R3 ∖, соответствен-79но, допускающие при всех ∈ N асимптотические разложенияvn (, ) =−1∑︁vn () (,, )|| + ṽn() (, ),(2.89)wn () (,, )||− + w̃n(+1) (, ),(2.90)=0wn (, ) =∑︁=1()(+1)1в которых ṽn (·, ) ∈ −−1/2+(Ω) при всех > 0, w̃n(),1(),2(),1(·, ) ∈ 1 (R3 ∖). Коэффициенты(),2vn () (·, · , ) = ( , , , ) , wn () (·, · , ) =(),1(),2(),1(),2= ( , , , ) в формулах (2.89), (2.90) являются гладкими функциями на 2 .

Крометого, каждый коэффициент wn () (·, · , ) ( ∈ N) есть конечная сумма функций вида−1 Φ(,),где ≥ , ̸= 1, A()Φ = 0.Мы считаем, что функции v0 , w0 и v1 – те же, что в формуле (2.64). Проверим, что для этихфункций справедливы соотношения (2.89), (2.90). Из теоремы 2.4.7 получается асимптотическоеразложение∑︁() ≃ () (,)||− + (+1) ()(2.91)=2с остатком (+1) ∈ 1 (R3 ∖), справедливое при всех ∈ N. Коэффициенты в этом разложении удовлетворяют уравнениям A() () = 0. Теперь разложения (2.89), (2.90) для v0 , v1 , w0вытекают из формулы Тейлора, следствия 2.3.4 и следствия 2.4.9, соответственно.Подставляя выражения (2.89)–(2.91) в (2.88), получаем формальные ряды∞∑︁∞∞∑︁∑︁(︀)︀()− vn (, ) + ()wn (,, ) ||+ ( )() () (,)−1 ||− ==0∞∑︁==1∑︁(︁ vn (, ) + ()=0(2.92)=2)︁wn−k () (,, )||− + ( )() (+1) (,)||−(+1) ,=1−1−1 ()( )( ) +∞∑︁= −1 ()( )(−1 ) +=0∞∑︁=0∞(︀ ∑︁(︀)︀vn () (,, ) || + ()wn (, ) ==0∑︁)︀vn−k () (,, )|| + ()wn (, ) ,(2.93)=0где = −1 .

Подставим разложение (2.88) в граничные условия (2.8) и воспользуемся формулами (2.92), (2.93). ИмеемΓvn (, ) = 0, ∈ Ω; Γwn (, ) = −Γ∑︁=0vn−k () (,, )|| , ∈ .80Аналогично, подставляя (2.88) в систему уравнений (2.7), получим∞∑︁(︁(( ) + )vn (, ) + ()=1∑︁wn−k () (,, )||− +=1)︁+( )() (+1) (,)||−(+1) + (){( )wn+1 (, ) + wn (, )} = 0,(2.94)где – матрица-функция, введенная после формулы (2.32). В силу (2.90) следует, чтоwn (, ) = wn (1) (,, )||−1 + w̃n(2) (, )(2.95)(2)при всяком ∈ N; здесь w̃n (·, ) ∈ 11 (R3 ∖) ⊂ 2 (R3 ∖).

Функция wn (·, ), вообще говоря,не принадлежит 2 (R3 ∖). С другой стороны, из формулы (2.95), в которой заменено на +1, вытекает соотношение ( )wn+1 (·, ) ∈ 2 (R3 ∖). Поэтому равенство ( )wn+1 (, ) =− wn (, ) в общем случае невозможно; вместо этого потребуем, чтобы( )wn+1 (, ) = − w̃n(2) (, )при ≥ 1. Теперь (2.94) означает, что(( ) + )vn (, ) = −() wn−1 (1) (,, )||−1 −(︁ ∑︁)︁−()wn−k () (,, )||− + ( ) (+1) (,)||−(+1)=1при каждом ≥ 1. Выпишем краевые задачи, которым должны удовлетворять функции vn (·, ),wn (·, ).

Функция vn (·, ) ( ≥ 1) является решением задачи(( ) + )vn (, ) = −() wn−1 (1) (,, )||−1 −(︁ ∑︁)︁−()wn−k () (,, )||− + ( ) (+1) (,)||−(+1) ,(2.96) ∈ Ω∖{0};=1Γvn (, ) = 0, ∈ Ω.(2.97)Поскольку правая часть (2.96) принадлежит 2 (Ω), задача (2.96), (2.97) имеет единственное решение vn (·, ) ∈ 1 (Ω).

Функция wn (·, ) ( ≥ 1) является решением задачи(2)( )wn (, ) = − w̃n−1 (, ), ∈ R3 ∖;∑︁Γwn (, ) = −Γvn−k () (,, )|| , ∈ .(2.98)(2.99)=0Правая часть уравнения (2.98) принадлежит пространству 2 (R3 ∖). Согласно теореме 2.4.6 (сучетом формулы = (∇ 0 , ⃗0,0,0) ) задача (2.98), (2.99) имеет решение из 01 (R3 ∖), если и81только если правая часть этой задачи удовлетворяет условию разрешимости(2),1 (˜−1 (·, ),∇ 0 )R3 ∖=∫︁ ∑︁(),1− (,, )|| 0 .(2.100) =0(),1(),1(),2(),1(),2Здесь − – компонента коэффициента vn−k () = (− ,− ,− ,− ) в асимптотиче(2),1(2)ском разложении (2.89) (с − вместо ), а ˜−1 – первая компонента остатка w̃n(2),1(2),2 (2),1 (2),2 (˜−1 ,˜−1 ,˜−1 ,˜−1 )=в разложении (2.90) (при = 1).

Решение wn (·, ) определено с точ-ностью до прибавления функции , где - произвольная константа.Замечание 2.6.1. Правая часть условия (2.100) не зависит от выбора частного решенияwn−1 (·, ). Таким образом, условие (2.100) однозначно фиксирует частное решение wn−1 (·, )при каждом = 1,2,... .(0),1Доказательство. В правой части формулы (2.100) только коэффициент wn−1 (·, ).

Покажем, что функция vn (·, ) (а значит, и коэффициент(·, · , ) зависит от(0),1 (·, · , ))не меняется призамене wn−1 (·, ) на wn−1 (·, ) + const. Поскольку = (||−2 ), при такой замене не меняетсякоэффициент wn−1 (1) (·, · , ) в асимптотике wn−1 при || → ∞. Но тогда и правая часть задачи(2.96),(2.97) для функции vn (·, ) остается прежней.Предположим, что vj (·, ), wj (·, ) при всех < построены и допускают асимптотические представления (2.89), (2.90), в которых заменено на .