Диссертация (Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях), страница 10

Такая правая часть принадлежит пространству 2 (Ω), ноимеет особенность в нуле, поэтому решение v(·, ) не является гладким. Однако и в этом случае63для функции v(·, ) можно выписать асимптотическое разложение в форме (2.25) с остаткомṽl (·, ) ∈ ∞ (Ω∖{0}), подчиненным оценкам (2.26).Предпошлем доказательству этого факта двелеммы.Лемма 2.3.1. Равенства A()Φ = 0 и A( + 2)1 Φ = 0 равносильны.Доказательство. При Φ = 0 утверждение леммы очевидно. Пусть Φ ̸= 0 и A()Φ = 0.

Тогда – чисто мнимое в силу предложения 2.2.1. Положим := 2 + (sin)−1 3 ;тогда равенство A()Φ = 0 переписывается с помощью формулы (2.20) в виде Φ = −1 Φ.Из соотношений (2.18) следует, что 1 + 1 = −2, поэтому1 Φ = ( − 2)Φ = −( + 2)1 1 Φ.Отсюда A( + 2)1 Φ = ( + ( + 2)1 )1 Φ = 0. Наоборот, пусть A( + 2)1 Φ = 0. Обозначим′ = + 2, Ψ = 1 Φ; тогда по уже доказанному 0 = A(′ + 2)1 Ψ = A()21 Φ. Поскольку21 = , отсюда следует, что A()Φ = 0.Лемма 2.3.2. Пусть A()Φ = 0. ТогдаA( − )1 Φ = (, )−11 Φ,где (, ) = (2 − ( + 2)), если нечетное, и (, ) = −, если четное.Доказательство.

При Φ = 0 утверждение леммы очевидно. Пусть Φ ̸= 0 и A()Φ = 0. Тогда – чисто мнимое в силу предложения 2.2.1. Пусть – четное. Поскольку A()Φ = 0 и 21 = ,имеемA( − )1 Φ = (A( − ) − A())Φ.Из формулы (2.20) вытекает равенствоA(1 ) − A(2 ) = (1 − 2 )1 ,(2.29)справедливое при всех 1 , 2 ∈ C. Поэтому A( − )1 Φ = −1 Φ = −1−1 Φ. Теперь пусть – нечетное, тогда −1= = 21 . Поскольку A()Φ = 0, и – чисто мнимое, из леммы 2.3.11следует, что A(2 − )1 Φ = A( + 2)1 Φ = 0.

ПоэтомуA( − )1 Φ = A( − )1 Φ = (A( − ) − A(2 − ))1 Φ.С учетом (2.29) отсюда получаем A( − )1 Φ = (2 − ( + 2))21 Φ = (2 − ( + 2))−11 Φ.Вернемся к описанию асимптотики решения v(·, ).64Лемма 2.3.3. Пусть правая часть f задачи (2.23), (2.24) задана формулой (2.28). Тогда длярешения v(·, ) ∈ 1 (Ω) этой задачи справедливо разложение (2.25) с коэффициентами v() (·, ·, ) ∈ ∞ ( 2 ) и остатком ṽ() (·, ) ∈ ∞ (Ω∖{0}), подчиненным оценкам (2.26).Доказательство.

Положимv1 (, ) =+2∑︁ +1 Φ(,)(− ||) ,(2.30)=0где коэффициенты заданы соотношениями0 = (,)−1 , = (, + )−1 −1 ( ≥ 1).Из формулы (2.19) и леммы 2.3.2 следует, что−1( ) || +A( − ( + ))+1 Φ(,) = ||1 Φ(,) == (, + )||−1 +−1Φ(,) = −1 ||−1 +−1Φ(,);11таким образом,−1(( ) + )v1 (, ) = −1+ +2 ++2Φ(,)(− ||)+2 .1 Φ(,)||1(2.31)Пусть v2 (, ) = v(, ) − ()v1 (, ); в силу (2.31)(( ) + )v2 (, ) = −() +2 ++2Φ(,)(− ||)+2 −1(2.32)−[( ),]v1 (, ).Коммутатор := [( ),] является оператором умножения на гладкую матрицу-функцию.

Вокрестности начала координат функция аннулируется благодаря равенству () = 1. Поэтомупоследнее слагаемое справа в (2.32) принадлежит классу ∞ (Ω). Первое слагаемое в правойчасти попадает в ∞ (Ω∖{0}), причем его частные производные до порядка + 1 включительностремятся к нулю при || → 0; значит, это слагаемое оказывается в +1 (Ω).

Таким образом,(( ) + )v2 (·, ) ∈ +1 (Ω), и в силу теоремы о повышении гладкости v2 (·, ) ∈ +2 (Ω).Следовательно, v2 (·, ) ∈ (Ω) (теорема вложения) и для функции v2 (·, ) справедлива формулаТейлора (2.25). Отсюда и из формулы (2.30) вытекает утверждение леммы.В итоге мы имеемПредложение 2.3.4. Пусть правая часть f задачи (2.23), (2.24) отличается от элемента ∞ (Ω)конечной суммой членов вида (2.28). Тогда для решения v(·, ) ∈ 1 (Ω) задачи (2.23), (2.24)справедливо разложение (2.25) с коэффициентами v() (·, · , ) ∈ ∞ ( 2 ) и остатком ṽ() (·, ) ∈ ∞ (Ω∖{0}), подчиненным оценкам (2.26).652.4Вторая предельная задачаВторой предельной задачей называется краевая задача вида( )w() = f (), ∈ R3 ∖;(2.33)Γw() = (), ∈ ,(2.34)где w = (1 ,2 ,1 ,2 ) , f = ( 1 , 2 , 1 , 2 ) , = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) .

Введем пространство (R3 ∖),норма в котором определяется формулой (2.27) с заменой Ω на R3 ∖. При ∈ R свяжем сзадачей (2.33), (2.34) оператор w → ℳ()w := {( )w,Γw}, непрерывно действующий из1 (R3 ∖) в 0 (R3 ∖) × 1/2 (). Следующее утверждение является частным случаем теоремы4.1.2, [7].Теорема 2.4.1. 1) Если − 1/2 ̸= ± при каждом = 1,2,..., то оператор ℳ() фредгольмов.Для всякой функции w ∈ 1 (R3 ∖) справедливы оценки0 (R3 ∖) };‖ w ‖1 (R3 ∖) ≤ {‖ ( )w ‖0 (R3 ∖) + ‖ Γw ‖ 1/2 () + ‖ w ‖−2(2.35)inf ‖ w + ‖1 (R3 ∖) ≤ {‖ ( )w ‖0 (R3 ∖) + ‖ Γw ‖ 1/2 () }.(2.36)Инфимум в левой части (2.36) вычисляется по всем ∈ ker ℳ().

2) Если ̸= 1/2 и −1/2 ∈ Z, то образ оператора ℳ() незамкнут. Существует последовательность функцийw ∈ 1 (R3 ∖), = 1, 2, . . . , для которых правая часть оценки (2.35) ограничена равномерноотносительно , а левая часть стремится к бесконечности при → ∞.Займемся исследованием структуры ядра и коядра оператора ℳ(0).

Для этого докажемнесколько вспомогательных утверждений.Лемма 2.4.2. Пусть функция ∈ ∞ (R3 ∖) удовлетворяет уравнению △ = 0 в R3 ∖ и любомуиз граничных условий = 0 или = 0 на . Тогда выполнение любого из условий ∈2 (R3 ∖) или ∈ 01 (R3 ∖) влечет равенство = 0 в R3 ∖.Доказательство. Пусть ∈ 0∞ ([0, + ∞),R) и = 1 вблизи нуля; пусть также 1 () = ()2 ,2 () = 1 (). Очевидно, что|2 ()| = 2| ()|(1 ())1/2 ≤ const(1 ())1/2 .Пусть 1, () = 1 (−1 ||), 2, () = 2 (−1 ||), где > 0; тогда∇ 1, () = −1 2, ()||−1 ;(2.37)|2, ()| ≤ const(1, ())1/2 .(2.38)66Ввиду формулы Грина для оператора Лапласа при больших имеем∫︁∫︁△ · 1, =0=−⟨∇ ,∇ (1, )⟩.R3 ∖R3 ∖Отсюда, с учетом (2.37),∫︁∫︁21⟨∇ ,∇ 1, ⟩ = −1, |∇ | = −R3 ∖R3 ∖∫︁⟨2, ∇ ,||−1 ⟩.(2.39)R3 ∖Пусть ∈ 2 (R3 ∖).

Тогда (2.39) приводит к неравенству∫︁1, ()|∇ ()|2 ≤ −1 ‖ ‖2 (R3 ∖) ‖ 2, ∇ ‖2 (R3 ∖) .(2.40)R3 ∖В силу (2.38)‖ 2, ∇ ‖22 (R3 ∖) ≤∫︁const1, ()|∇ ()|2 ,R3 ∖и формула (2.40) принимает вид∫︁R3 ∖1, |∇ ()|2 ≤ const−2 ‖ ‖22 (R3 ∖) .Отсюда предельным переходом при → ∞ получаем ∇ = 0 в R3 ∖. Для ∈ 2 (R3 ∖) этовозможно только когда = 0 в R3 ∖.Теперь пусть ∈ 01 (R3 ∖).

Формула (2.39) и неравенство || ≤ const при ∈ supp1,дают оценку∫︁R3 ∖0 (R3 ∖) ‖ 2, ∇ ‖ (R3 ∖) .1, |∇ |2 ≤‖ ‖−12(2.41)0 (R3 ∖) < ∞ и ‖ 2, ∇ ‖ (R3 ∖) → 0Включение ∈ 01 (R3 ∖) имеет место только если ‖ ‖−12при → ∞. Поэтому при → ∞ формула (2.41) влечет равенство ∇ = 0 в R3 ∖. Но функция = const принадлежит пространству 01 (R3 ∖) только если = 0.Рассмотрим задачу△ 0 = 0 в R3 ∖, 0 = 1 на .(2.42)Существование и единственность решения 0 ∈ 12 (R3 ∖) следуют из теоремы 1.6.5, [6]. Изэтой же теоремы вытекает асимптотическое разложение(1)0 () = 0 ||−1 + (| −2 |), || → ∞,(2.43)(1)где 0 – постоянный коэффициент.

Разложение (2.43) допускает дифференцирование по любоечисло раз. Обозначим через шар в R3 радиуса с центром в начале координат. Из формулы67Грина для оператора Лапласа в области ∖ при → ∞ получается соотношение∫︁(1) 0 =‖ ∇ 0 ‖22 (R3 ∖) = 40 .(2.44)Лемма 2.4.3. 1.

Пусть ∈ ∞ (R3 ∖), ∇ ∈ 01 (R3 ∖), пусть также △ = 0 в R3 ∖. Тогда:1) если = 0 на , то = const в R3 ∖; 2) если ∇ = 0 на (∇ – касательныйградиент), то = 1 + 2 0 в R3 ∖, где 1 ,2 – некоторые константы.2. Пусть ∈ ∞ (R3 ∖), ∇ ∈ 2 (R3 ∖), причем △ = 0 в R3 ∖. Тогда: 1) если = 0 на, то = 0 в R3 ∖; 2) если ∇ = 0 на , то = 0 в R3 ∖, где – некоторая константа.Доказательство. 1. Пусть ∇ ∈ 01 (R3 ∖). Следующее неравенство известно ( [18], теорема330):∫︁∞4 |()|2 ≤( + 1)20∫︁∞+2 | ()|2 (2.45)0(здесь ̸= −1, ∈ 1 ([0, + ∞)), (0) = 0).

Пусть ∞ ∈ ∞ (R3 ∖), ∞ = 0 вблизи и∞ = 1 в окрестности бесконечности. Положим в формуле (2.45) = −2, (,,) = ∞ ()(),проинтегрируем по , и получим неравенство∫︁−42∫︁ |∞ | ≤ 4R3 ∖−2 | (∞ )|2 ) ≤ 4 ‖ ∇ (∞ ) ‖2 1 (R3 ∖) ,0R3 ∖из которого следует включение ∈ 02 (R3 ∖). Согласно теореме 4.2.1 и замечанию 4.1.5, [7],справедливо представление = const + ˜, в котором ˜ ∈ 12 (R3 ∖). Тогда если = 0 на ,то и ˜ = 0 на , и значит, ˜ = 0 в R3 ∖ в силу леммы 2.4.2. Таким образом, = const. Еслиже ∇ = 0 на , то ˜ = = const на и поэтому ˜ = 0 .2. Пусть ∇ ∈ 2 (R3 ∖).

Тогда формула (2.45) при = 0 означает, что∫︁−2 |∞ |2 ≤ 4 ‖ ∇ (∞ ) ‖22 (R3 ∖) ;R3 ∖поэтому ∈ 01 (R3 ∖). Тогда при = 0 на в силу леммы 2.4.2 имеем = 0 в R3 ∖. Еслиже ∇ = 0 на , то = на , где – некоторая константа. Таким образом, ˜ = − 0 = 0на и △˜ = 0 в R3 ∖. Поскольку ˜ ∈ 01 (R3 ∖), лемма 2.4.2 приводит к равенству ˜ = 0.Задача (2.33), (2.34) самосопряжена относительно формулы Грина (2.12). Эта задача имеетрешение w ∈ 01 (R3 ∖), если и только если ее правая часть f ∈ 2 (R3 ∖), ∈ 1/2 ()удовлетворяет равенству(f ,u)R3 ∖ + (,Tu) = 0(2.46)68для всякой функции u ∈ ∞ (R3 ∖) ∩ 2 (R3 ∖), такой что( )u = 0 в R3 ∖, Γu = 0 на .(2.47)Оператор T в (2.46) задан формулой (2.13).Лемма 2.4.4.