Диссертация (Асимптотика решений динамических краевых задач в сингулярно возмущенных областях), страница 4

При ℱ ∈∞ (Ω()×R)для существования гладкого решения ( 1 , 2 ) необходимы условия совместностиdivℱ − = 0 в Ω() × R ( = 1,2), ⟨ℱ 2 ,()⟩ = 0 на Ω() × R.(26)Теперь пусть ℱ подчинена условию (33). Обозначим через M(, ) замыкание множества{( 1 , 2 , 1 , 2 ) ∈ ∞ (Ω(); C8 ) : div = в Ω() ( = 1,2); ⟨ 2 ,⟩ = 0 на Ω()}по норме в 2 (Ω()). Выполнение условий (26) интерпретируется как принадлежность функцииf (·, ) = −F→ ℱ (·, ) пространству M(, ) при почти всех ∈ R. Для ℱ ∈ ∞ (Ω × R) такоеопределение равносильно поточечному выполнению уравнений (26).Теорема 0.0.6. Пусть выполнены условия Теоремы 0.0.5 и при любом ∈ (0,0 ) включение−F→ ℱ (·, )|Ω() ∈ M(, ) выполнено для почти всех ∈ R.

Тогда 1) компоненты 1 ,2 решения при всех ∈ (0,0 ) аннулируются в Ω() × R; 2) функция A, компоненты ℬ1 ,ℬ2 функций = (1 ,2 ,ℬ1 ,ℬ2 ) и компоненты ℋ1 ,ℋ2 функций = (1 ,2 ,ℋ1 ,ℋ2 ) аннулируются наR, в (Ω∖{0}) × R и в (R3 ∖) × R, соответственно.Как и в стационарном случае, теорема 0.0.6 означает, что при выполнении условий совместности векторные компонеты 1 , 2 решения (·, · ,) гиперболической задачи (21) являютсярешениями исходной нестационарной системы Максвелла (19) в Ω().Отметим связь изучаемой задачи в Ω() × R с начально-краевой задачей для нестационарнойсистемы Максвелла в Ω(), рассматриваемой при временах ∈ (0, ).

Пусть начальное условие17является однородным. Продолжим правую часть ℱ нестационарной системы Максвелла нулемпри ≤ 0 и произвольным образом при ≥ (но так чтобы ℱ удовлетворяла условию (33)).Тогда решение задачи в Ω() × R совпадает с решением начально-краевой задачи при ∈ (0, ).Четвертая глава посвящена обобщениям результатов, полученных для стационарной инестационарной систем Максвелла.

Сначала рассматривается стационарная система Максвелла (11) в Ω() с импедансными граничными условиями × [2 × ] + [ × 1 ] = 0, ∈ Ω();(27)здесь = const (Re < 0) – поверхностный импеданс. Как и раньше, задача (11),(27) расширяется до эллиптической(( ) + )u(,,) = f (), ∈ Ω();Γ1 u(,,) = 0, ∈ Ω();(28)соотношения (28) отличаются от (14) лишь заменой Γ на операторΓ1 (1 ,2 ,1 ,2 ) = (⟨2 ,1 ⟩ − ⟨1 ,2 ⟩,⟨2 ,2 ⟩ + ⟨1 ,1 ⟩,1 , 2 ) ,(здесь векторы 1 ,2 такие же, как в (15)).

Вывод асимптотики решения u(·,,) по существу такойже, как в случае идеально проводящей границы Ω(); отличие состоит в том, что теперь ядрои коядро оператора второй предельной задачи двумерны, а не одномерны. Последний шаг - возвращение к нерасширенной системе Максвелла - отличается от случая идеальной проводимостилишь отсутствием равенства ⟨ 2 ,⟩ = 0 на Ω() в условиях совместности (13).Далее рассматривается нестационарная система Максвелла (19) в области Ω() с граничнымиусловиями (27); время пробегает от −∞ до +∞. Гиперболическое расширение( + ( )) (,,) = ℱ (,), (,) ∈ Ω() × R;Γ1 (,,) = 0, (,) ∈ Ω() × R(29)отличается от (21) заменой Γ на Γ1 . После комплексного преобразования Фурье F→ задача (29)переходит в семейство задач (28) зависящих от параметра = − ( ∈ R, = const > 0).Оператор {( ),Γ1 } не является самосопряженным, однако полуплоскость { ∈ C : Im > 0}свободна от его собственных значений.

Таким образом, каждая задача (28) из семейства однозначно разрешима. Благодаря этому исследование асимптотики решения (·, · ,) проводитсятаким же образом, как и в случае идеально проводящей границы Ω(). Возвращение к нерасширенной системе Максвелла отличается от случая идеально проводящей границы лишь изменением условий совместности. Пусть N( ) – замыкание множества{( 1 , 2 , 1 , 2 ) ∈ ∞ (Ω; C8 ) : div = в Ω ( = 1,2)}(30)18по норме в 2 (Ω()). Под условиями совместности понимается включение F→ ℱ (·, ) ∈ N( )при почти всех ∈ R (для ℱ ∈ ∞ (Ω × R) это означает выполнение всех условий в формуле(26), кроме равенства ⟨ℱ 2 ,⟩ = 0 на Ω() × R).Завершает четвертую главу обобщение полученных результатов на случай области Ω()с конечным числом малых полостей.

Пусть Ω содержит конечное число несовпадающих точек ( = 1,...,), а ⊂ R3 ( = 1,...,) – ограниченные области с гладкими границами, содержащие начало координат. В области Ω() := Ω∖ ∪ () с малыми полостями () = { ∈ R3 : −1 ( − ) ∈ } рассматривается стационарная либо нестационарная система Максвелла. На Ω() заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничныеусловия.

Результаты отличаются от рассмотренных выше случаев только числом предельных задач: каждой полости () отвечает своя предельная задача в области R3 ∖ . В качестве примерасформулируем результаты для случая импедансных граничных условий.Теорема 0.0.7. Если f ∈ ∞ (Ω), то решение задачи (28) при всяком = 0,1,2,... допускаетасимптотическое разложениеu(,,) = −1∑︁ (){1, ( )1,=1∑︁+(︁vn (, ) +=0(︁ − )︁∑︁+ 2, ( )2, ()wn,k(︁ − =1(︁ − )︁,)︁)︁}+(31)+ +1 vN+1 (, ) + ũN+1 (,,)с остатком ũN+1 (·,,), удовлетворяющим оценке‖ ũN+1 (·,,) ‖11 (Ω()) = ( +3/2− )при всех > 0.

Здесь ∈ ∞ (Ω), = 1 в окрестности , и ≡ 0 при ̸= , а12,,,1, ,2, ) , где (·, ) ∈ ∞ (Ω∖ ∪=1 { }), ,vn = (1 ,2 ,1 ,2 ) , wn,k = (,(·, ) ∈ ∞ (R3 ∖ ) - трехкомпонентные вектор-функции, а (·, ) ∈ ∞ (Ω∖ ∪=1 { }), , (·, ) ∈ ∞ (R3 ∖ ) - скалярные функции, = 1,2. Для vn (·, ), wn,k (·, ) справедливы асимптотикиvn (, ) =∞∑︁()vn,k (̂︀, )| − | , || → ; wn,k (, ) ==0∞∑︁wn,k () (̂︀, )||− , || → ∞,=1(),1(),2(),1(),2(),1(),2(),1(),2коэффициенты vn,k () (·, ) = (, ,, ,, ,, ) и wn,k () (·, ) = (, ,, ,, ,, ) вкоторых являются гладкими функциями переменной ̂︀ = |− |−1 (− ) = −1 ∈ 2 .

Функции1, , 2, является решением однородной задачи( ), = 0 в R3 ∖ ; Γ1 , = 0 на 19и имеет вид (∇ 0, ,⃗0,0,0) , где ⃗0 = (0,0,0) , а 0, ∈ ∞ (R3 ∖ ) - гармоническая в R3 ∖функция, такая что 0, ≡ 1 на , 0 () = (||−1 ) при || → ∞. При этом, () ≃∞∑︁, () (̂︀)||− , || → ∞,=2где , () ∈ ∞ ( 2 ). Функция v0 (·, ) ∈ ∞ (Ω) является решением задачи(( ) + )v0 (, ) = f (), ∈ Ω;Γ1 v0 (, ) = 0, ∈ Ω,а функция w0,k (·, ) - задачи∑︁( )w0,k (, ) = −, ( ), (), ∈ R3 ∖ ; Γ1 w0,k (, ) = −Γ1 v0 ( , ), ∈ . (32)=1,2Из условия разрешимости последней задачи находятся коэффициенты , ( ) = ( )−1 0 ( , ).Функции vn (·, ) ( ≥ 1) являются решениями первых предельных задач(( ) + )vn (, ) = −∑︁ () wn−1,k (1) (̂︀, )| − |−1 −=1−∑︁(︁ ∑︁[( ), ]wn−s,k () (̂︀, )| − |− +=1=1+∑︁)︁, ( ), (+1) (̂︀)| − |−(+1) , ∈ Ω∖ ∪=1 { };=1,2Γ1 vn (, ) = 0, ∈ Ω.Функции wn,k (·, )( ≥ 1, = 1,...,) являются решениями задач(2)( )wn,k (, ) = − w̃n−1,k (, ), ∈ R3 ∖ ;∑︀Γwn,k (, ) = −Γ1vn−s,k () (̂︀, )|| , ∈ .=0Условия разрешимости этих задач(2),1 (˜−1, ,∇ 0, )R3 ∖=∫︁ ∑︁(2),2 (˜−1, ,∇ 0, )R3 ∖==0∫︁ ∑︁(),1−, (̂︀, )|| 0, ;(),2−, (̂︀, )|| 0, ;=0однозначно фиксируют функции wn,k (·, ) при = 0,1,...

и = 1,...,. Если дополнительно f принадлежит множеству (4.35), то компоненты 1 , 2 функции u(·,,), компоненты1 (·, ), 2 (·, ) функций vn (·, ) и компоненты 1, (·, ), 2, (·, ) функций wn,k (·, ) аннулируются20в Ω(), Ω∖ ∪=1 { } и R3 ∖ , соответственно. Кроме того, аннулируются , ( ), w0,k (1) (·, )и v1 (·, ).Теорема 0.0.8. Пусть > 0, ∈ (0,1), и правая часть ℱ удовлетворяет условию∫︁+∞ ∫︁| |=−∞ ∈Ω(︀ ∑︁)︀| − |−2 −3+2 + | | |F→ ℱ (, )|2 < ∞,(33)=1где = 2 ( + 3) + 10 + 2, = 2 + 5 − 2.

Тогда решение (·, · ,) задачи (29) допускаетасимптотическое разложение (,,) = −1+∑︁=0∑︁(︁(︁ − )︁(︁ − )︁)︁ () A1,k ()1,+ A2,k ()2,+=1(︁ (,) +∑︁=1 () ,(︁ − )︁)︁˜ +1 (,,);, + +1 +1 (,) + ˜ +1 (·, · ,), подчиненным оценке (25). Слагаемые Al,k , , в разложениис остатком −1−1(24) задаются равенствами Al,k () = F−1 → , , = F → vi , , = F → wi,k , где функ-ции → , ( ), (, ) → vi (, ), (, ) → wi,k (, ) - такие же, как в разложении (31).Если дополнительно при почти всех ∈ R справедливо включение F→ ℱ (·, ) ∈ N( ), то1) компоненты 1 ,2 решения при всех ∈ (0,0 ) аннулируются в Ω() × R; 2) функ12ции Al,k , компоненты ℬ1 ,ℬ2 функций = (1 ,2 ,ℬ1 ,ℬ2 ) и компоненты ℋ,,ℋ,функций2121) аннулируются на R, в (Ω∖ ∪=1 { }) × R и в (R3 ∖ ) × R,,ℋ,,ℋ,,, , = (,соответственно.21Глава 1Асимптотика решений волновогоуравненияВ этой главе рассматривается задача Дирихле для волнового уравнения в ограниченной области Ω() ⊂ R3 с малой полостью; диаметр полости пропорционален малому параметру > 0.Время пробегает всю вещественную ось.

Выводится асимптотика решения при → 0. Дляописания асимптотики решений применяется метод составных асимптотических разложений.Этот метод позволяет описать поведение только тех волн, длина которых больше, чем диаметрполости. Вклад коротких волн в энергию решения оказывается пренебрежимо малым за счетгладкости правой части волнового уравнения по времени. В разделе 1.2 выводится главный членасимптотики с оценкой остатка. Полное асимптотическое разложение с оценкой остатка строится в разделе 1.3. В разделе 1.4 развитый подход распространяется на случай ограниченнойобласти Ξ(), которая при → 0 переходит в область Ξ с конической точкой на границе.1.1Краткое содержание главыПусть Ω, - ограниченные области в R3 с гладкими границами, содержащие начало координат. Вводится область Ω() = Ω∖() с малой полостью () = { ∈ R3 : −1 ∈ } зависящаяот малого параметра > 0. Рассматривается краевая задача(2 − △ ) (,,) = (,), (,) ∈ Ω() × R; (,,) = 0,(,) ∈ Ω() × R.(1.1)Правая часть принадлежит классу∫︁+∞ ∫︁=−∞ ∈Ω−2 | (,)|2 < ∞,(1.2)22где > 0.

Тогда при всех достаточно малых > 0 существует единственное решение (·, · ,)задачи (1.1) из класса∫︁+∞ ∫︁∫︁+∞ ∫︁−2 |∇(,) (,,)|2 ≤ 2−2 | (, )|2 (1.3)=−∞ ∈Ω()=−∞ ∈Ω()(постоянная в (1.3) не зависит от ). После комплексного преобразования Фурье F→ , где = − , ∈ R задача (1.1) переходит в семейство эллиптических задач−(△ + 2 )(,,) = (, ), ∈ Ω(); ∈ Ω(),(,,) = 0,(1.4)зависящих от дополнительного параметра ; здесь = F→ и = F→ . Из условия (1.2)следует включение (·, ) ∈ 2 (Ω) при почти всех .

Для вывода асимптотики функции (·,,)при → 0 используется метод составных разложений. Асимптотика (·,,) составляется изрешений так называемых предельных задач, не зависящих от . Для области с малой полостьютаких предельных задач две. Первая предельная задача−(△ + 2 )0 (, ) = (, ), ∈ Ω;0 (, ) = 0, ∈ Ω.(1.5)получается из исходной ”заклеиванием” полости ().

Решение 0 (·, ) удовлетворяет всем условиям исходной задачи (1.4), за исключением условия Дирихле на (). Поведение невязки(, ) − 0 (, ) на () при → 0 описывается с помощью асимптотики 0 (·, ) вблизи начала координат; главный член невязки имеет вид 0 (0, ). Для его компенсации вводится решение0 (·, ) второй предельной задачи−△ 0 (, ) = 0, ∈ R3 ∖;0 (, ) = −0 (0, ), ∈ ,(1.6)убывающее на бесконечности, как (||−1 ). Главный член асимптотики (·,,) при → 0 ищется в виде0 (,,) = 0 (, ) + ()0 (−1 , ),(1.7)где ∈ ∞ (Ω) равна единице в окрестности начала координат, и () не зависит от угловойпеременной ̂︀ = ||−1 .