Галкин С.В. Математический анализ. Метод. указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.1-63. 2004г (Методичка с лекциями (Галкин С.В.)), страница 4

Возрастающая и убь>вмещая функции называются строго мопотопнымв функциями. Функция /'(х) называется четной, если /(х) = /(-х), Функция /'!х) ннзьшастся нечетной, если,/(х) =-/'(-х). График чсп>сй функщш симметричен относительно осн Оу, график нечетной функции сил>л>етричен относнтсльно начала координат. Имеет место теорема. Теорема. Любую функцию /"(х), определенную на отрезке ! (-а,а), ма>кис представить единственным образом в виде суммы четной н нечетной функций. е> Обозначим я(х) = О 5(/" (х)+ /'(-х)), Ь(х) = 05(г"(х) — / ( — х)).

Очевидно, что я(х)- четная функция, а Ь(х) — нечетная. Поскольку /'(х) = я(х)+ Ь(х), то теорема доказана. !> Функция / (х) называется периодической, если / (х+ Т) = / (х) (минимальное из всех таких Т называется периодом функции). Имеет место теорема: Теорема.

Бслн функция / (х)- периодическая с периодом Г, та функция/'(Ьх) — периодическая с периодом Т/Ь. уорежнепнк: Ь докажите еемоетолтольно сформулироеенную выше теорему. 2. Вычислите периоде> функций е!и 2х н сое(0,5х), Функция назьсвается ограниченной (ограниченной сверху, снизу), если множества ее значений ограничено (ограничено сверху, снизу), Основные злемептарныс функции, К основным злементарным функциям относятсж степенная функциях"; показательная а', тригонометрические функции з!и х, сов х, 1йх, ссйх; обратные тригонометрические функции агсз!пх, агссозх, агссйх, агсссйх; логарифмическая функция 1ол„х. Элелтонтарпым>» фунпцпялсн являются функции, которые получаются из основных злементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умно>кенил, деления и композиции функций, Графики функций и операции пад ними, Для отображения /': Х -> У можно составить мноиссства упорядоченных пар (х,у), которое является подмножеством декартова произведения Х х У.

Такое множество называется графиком отобралсення у", нли графиком функции /'(х). Допускшотся следу>ащие преобразования графика функции: — сдвнгграфикапоасихнаа,поосиунаЬ(дляа, Ь>0 функция будет иметь вид у — Ь = /" (х — а) — сдвиг в положительном направлении осей н у+ Ь = /" (х+ а) — в отрицательном направлении); — сжатие нин растюкенис графика в Ь > 0 раз по осн х, в нт > 0 раз по оси уч л>у = /'(/ст), причем для сжатия выбирают Ь, и» 1, а для растяжения /с,л> <1; — инверсия (изменение направления) координатной оси, причем при инверсии оси у функция будет иметь вид (-у) и у (х), а при ин- версии оси х функция будет записана в виде у = )г(-х). Упражнение. Постройте графики функций, 'у-5=(х-5), Зу=аа»(05х), у = 1п(-х), Над графиками функций можно выполнять следующие опера- ции: ело>кение, вычитание„умножение, деление, композицию функ- ций.

Надо помнить, что все операции выполняются над ординатами графиков, Упражнение, Постройте графики функций. 'у=1х-11+1х+11, у=х-(х1, (х-1) у=хмок у= — у 1п(солт) у= соч(1пх) (х- 3) ПРЕДЕЛ ПОСЛКДОВАТЕЛЪЕ(ОСТИ (лекция 5) Числовая последовательность и ее предел, Упорядоченное в соответствии с Х множество числовых значений некоторой переменной величины называется числовой последовательностью.

Если можно указать номер последнего элемента, то последовательность конечна, если этого сделать нельзя, то она бесконечна, Пример. Послсдоаатсльность чисел Фнбоначчн (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...) определена рскуррснтцой формулой 1, хл»! =ха+ха 1, и= 2, 3... Будем рассматривать бесконечные числовые последователы!ости. Число а называется пределом последовательности, если для л!обого положительного числа е найдется такой номер Ф(е), что при всех и> г»г будет выполнено неравенство 1хл — а1<е, Запишем определение предела символически; 1ппхи гласе!ге> О пУ(е): тгл»У=о1х„— а1<в.

РИ 1 Пример. Рассмотрим исследо а атал ьи ость ! - ». Покажем, что 11п»- = О. Пусть л л иы эадаио е > О, найлом номер гг'(е), после которого члены послсдоаатсльиосги мсныпс е: 1 — се=»л> — =»»»г= д, л е е гдс Е( ) — целая часгь. Если, напр имср, е = 0,01, то Л' = 100. При и >! 00 будет 1 1 — с 0,01 = е, Постол»у 1ип- = О. и л ° » Число а является пределом последовательности 1ппхл =а, л-»» если в любой в-окрестности точки а лежит бесконечное число точек последовательности, а вне ее — конечное число. Точка а называется предельной точкой последовательности, если в любой ее е-окрестности лежит бесконечное число точек последовательности.

Вне е-окрестности предельной точки может лежать и бесконечное число точек последовательности, Пример, Послсдоьатсльиость ~(-1) + - » пмсст дав продольные точки:-! и 1. л Послслоаатсльпость (л) еосбшс ис имеет предельных точек, Если предельная точка одна, то из определения предельной точки следует, гго она является пределом. Например, предельная точка 0 ~ (-1)" 1 последовательности — является и ее пределом.

и Приведем основные своиства предела последовательности. 1. Предел постоянной равен самой постоянной. а Пуотъ Хл = С, ТОГда дпя Л>сбОГО НОМЕра ВЫПОЛНЕНО 1Х»» — С(ж =1с — с1» О независимо от выбора е. Следовательно, по опрвделе- иию предела 1нпхн и с, !> и-» Если последовательность (х„) имеет предел а, то говорят, что последовательность сходится к а ((х»») — » а). 20 2.

Если предел последовательности существует, то оп единственный. 3 Пусть существуют два предела последовательности ам Ь. Пусть для определенности а> Ь. Идея доказательства состоит в 21 выборе такого малого размера е-окрестности, что все элементы, начиная с некоторого, должньг как бы «разорваться», т. е. доюкны лежать как в е-окрестности а, так и в е-окрестности Ь, а это невозможно, так как пределы различны. (а- Ь) Зададиме < .Поскольку 1ппх„= а, существуеттакой ио- 2 а? ~.0" (а — Ь) мерУ!(е),чтодлялюбогои> У! выполнено !х„— а!< —, т.е. (а-Ь) (а-Ь) а- — — <х„< а+ 2 " 2 (а+ Ь) (За — Ь) откуда — < х < — — .

я Поскольку 1ппх„= Ь, то существует такой номер Уз(е), что для 6-Ф '"' (а- Ь) шобого и> Уз выполнено!х — Ь! < — т. е. » 2 (а- Ь) (а-Ь) Ь— <хп «Ь+ 2 и 2 (ЗЬ вЂ” а) (а + Ь) откуда — <х < †. л Выберем У> глах(УПУз), Тогда для любых и> У выполнены (а+ Ь) (а+ Ь) оба неравенства — <х„и х„<, что невозможно, Пришли к противоречию с предположением аФ Ь. Следовательно, а=Ь, г 3. Сходящаяся последовательность является ограниченной, а Пусть последовательность (х „) сходится к а, Тогда для любого числа е найдется такой номер У(е), что при любом номере и > У выполнено!х„— а!<е или а — е <х„«а+ е, откуда !х„!< шах(!а — е!,!а+в!)= М!.

Докажем теорему Вейерштрасса. ! Теорема, Любая возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел. Любая убывающая, ограниченная снизу последовательность имеет предел. «! Приведем доказательство для возрастающей последовательности. Так как последовательность (х„) ограничена сверху, существует ее точная верхняя грань а = анр х„. Зададим ч е > О. По свойству точной верхней грани найдется такой'элемент последовательности хл, что а- е <хя < а. Поскольку последовательность возрастает, то Чп> У=» а-е <хл~ <х„<а.

Следовательно, выполнено неравенство )ха — а!<е и 1ипх„=. а. !> и-) В качсствс примера докажем формулу для второго замечательного предела — числа е: , л Ит 1+-) =е, «=2,7181828... л л и Р- р .а~Д- ° . -. „=~~~-) =~ૠ—,.П.. « 3 кажем, что эта последовательность монотонно возрастающая и ограниченная сверху. Тогда, по теореме Вейерштрасса, она имеет конечный предел. 1, Докажем, что последовательность монотонно возрастающая; 1)а л л(л-1) 1 гг(л-1)(л — 2) 1 х„= 1+ — ~ =1+ + — + +...+ л,! л 2! лз 3! аз 1 л(л — 1)" (л — к+1) 1 л(п — 1)" 1 1 + — +...+ — =!+1+ — "+ Ы ах л! л" 2! и! 3! 23 ПРил <У !х„!>глек(!х!!,!хз!„...,!ху!)= Мз.Таккак М,, Мз конечны, последовательность ограничена, т.

е. Ч~х„~ <шах(М!,Мз), !> 1 !" п+1 (и+1)п 1 хл„= 1+ — ! =1+ — + — — + и+1,~ п+1 2! (и+ !)2 Оценивая слагаемые с факториалом членами геометрической прогрессии и записывая ее сумму, получаем 1 1 1 1 х„<1+1+-+ — +...+ — =1+ — =3. 2 22 "' 2л-1 1 2 ! —— 1- — 1 —— (и+1)и" 1 1 и+! 1, и+1!1, и+Ц + =1+1+ и + + (и+ 1)! (п+ !) 2! 3! (и+1)! СравниМ х„,! н х„, рассмотрев дроби с одинаковыми знаменателямн; 1 — — 1 — 1- — 1 — — — 1 — — 1 —— ""' > 2! 21 3! Поскольку каждое такое слагаемое элемента х „+! больше соответствующего слагаемого элемента х„, а последнее слагаемое в х„1, которого нет в х„, положительно, то х„+! > х„.

Следовательно, последовательность (х„) монотонно возраста1ошая, 2. Покажем, что последовательность (хл) ограничена сверху. Заметим, что 1 — — 1-— 2! 2! 3! 3! 1 1 1 Следовательно, х„<1+1+ — + — +...+ —. 2! 3! п! Далее покажем, что п1>2" 1. Действительно, поскольку и1= =п(и-1)(п-2) "4 3 2 1, 2л =2 2 2 2и 2=2, 3>2, 4>2,..., 1 1 п>2,тои!>2 и — < —. 2л-1 Следовательно, последовательность (х л ) ограничена сверху. Так как последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то по теореме Вейерштрасса существует ее конечный предел — иррациональное число в = 2,71828„. Число в используется в определении гиперболических функций, которые можно рассматривать как аналоги к)зубовых тригонометрических функций- синус, косинус, тангенс и котангенс гиперболические: Вх В х Вх! В л ВЬХ СЬХ вЬх=, сйх= — —, й1х= —, с1Ьх= —, 2 ' 2 ' сйх' зЬх Они называются гииврболичвскив1и функциями, так как основное соотношение для них: сй х-вЬ х=1.