Галкин С.В. Математический анализ. Метод. указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.1-63. 2004г (Методичка с лекциями (Галкин С.В.))

осковский государственный технический университет имени Н,Э, Баумана /= Л/ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ии. Н.Э. БАУМАНА СВ. Галкин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Москва Г6489М Галкин С.В. ~ Математический анализ ' 2004 20-92 ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока ИИИМ аи аааааа:р ипаи*.:-..: аааюаюю О ~ж-: и' оаааааао о Методические указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре УДК 517 ББК 22.161 Г!6 Рецензенты: Ю. Ф. Палое Галкин С.В. Г!6 Математический анализ: Методические указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.

— Мх Издательство МГТУ им. Н.Э, Баумана, 2004. — 116 сг ил. 18В)«1 5-703 8-2406-0 Кратко раскрыты, пояснены и доказаны основные теоретические положения, излагаемые и лекциях по разделам математического аиампа а первом семестре: зяемонты логики, тооРни множеств, теория предааоа, дифференциальное исчнсяеннс и теория экстремума. Изложение материааа завершается выводом формул скоРости и ускорения материапьиоя точки при плоском крипопинояном движении, Это позвоняьт ососновать формулы, прнводнмыо в курос теоротическоя механики первого семестра.

Дяя студентов первого курса всех специаяьностея. УДК 517 ББК 22.161 кхин «-тозя-2поь-ц М М1 "ГУ нль Н.Э. Бауь«яна,звоа ВВЕДЕНИЕ, ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ (лекции 1, 2) Введение Числа. Еще в школе мы изучаем числа, Натуральные числа 1класс, или мнсокество натуральных чисел обозначается 1«1) могут быть представлены в виде суммы конечного числа единиц, например: 4 = 1 + 1 + 1 + 1. Если взять все натуральные числа, нуль и все натуральные числа со знаком минус, получится класс, или множество целых чисел, обозначаемое Е.

Рациональные числа (класс, или множество рациональных чисел обозначается 11) можно представить в видо отношения (лат. гайо — отношение) двух целых чисел: а ц=-, если Ьм О, Рациональные числа можно представить ко- Ь печной нли бесконечной периодической десятичной дробью, например: 1/4 = 0,25; 4/3 =1,(З); 17/45 = 0,3(7). Числа, представляемые бесконечной непериодической дробью, называются иррациональными числами. Опи известны давно, некоторые из них имеют фундаментальное значение, и их обозначают специальными буквами« /2 = 14142..., /3 = 1732..., — = т = 1618„., за= 31415, «/5+ 1 е = 2 718...), Рациональньш и иррациональные числа образуют класс, или множество действительных чисел, обозначаемое Е, Метод математической индукции известен очень давно, но и сейчас довольно часто используется при докпзательстветеорем.

Он основан на принципе математической индукции: Утеероюдение г/(ф заеисли/ее оггз натуралыюго параметра и, перно дпл любого налгурального л, если: — доказано А(1/ «или А/7«/, /, Но — натуральное числа); — предполагается справедливость А(п) — индуктивное пред»алоэ>гение; на основе первых двух пунктов можно доказать справедливость А!и+1), Примеры: 1. Докажем формулу для суммы нечетных чисел; 1 + 3+ 5+ „, + + Он> — !) и>.

Прн п 1 утверждение спрвведлнво. Пусть опо справедливо для некоторого натурального л: 1+ 3+ 5+ ... 2» — 1 я>, Довел>ем утверждение для л+ 1: 1+ 3+ 5+... (2» - 1) + (2л+ 1) = л + 2»+ 1 = (п+ 1) . 2. Докежеь> н«рея«хс>яео Бернулли(1+ х)" <1» >ж (х г -!). Прн л = 1 неравенство выполнено. Прсдположнм, что оно выполнено прн некотором натурвяьном л. Доны«ем, что оно выполнено прн л + 1; (1+х)ы'- (1+х)(!+х) В(1«лх)(1+х) = ! +х+ »хе лх'В В 1+ х+ >ж 1+ (л+1) х, Следовательно, неравенство выполнено для л>обого натурального и.

Элементы математической логики В математической логике имеют дело с вь>слазь>ваниями Прас>псе высказывание- это некоторос утверждение, которое либо истинно, либо лспкно. Например, высказывание «2 — четное числ» истинно, а «3 — четное число» ложно, Истинность или ложность таких высказываний не меняетсл — это логические константы (обозначение: И вЂ” всегда истинное и Л вЂ” всегда ложное высказывание). Есть высказывания, истинность или ложность которых зависит от некоторых условий, например зш х» О, Оно истинно, если 2пк <х < < (2п+ 1)к, и = О, +1, й2, ..., и ложна при других значениях х. Над высказываниями можно выполнять логические операциь Истинность результата логической операции устанавливают по таблице истинности, которая задаст истинность или ложность резудьтата в зависимости от истинности или ложности высказываний-операндов, Рассмотрим оснавныс логические операции; отрицание, коньюллцто (логнческое умна>кение), дизьюннцто (логическое сложение), мыпликацию (следование) и эквиваленцию.

Отр>!наине: А, А, «не А». Высказывание -А истинно тогда н только тогда, когда высказывание А ложно. Например, высказываппо А состоит в там, что х = О, тогда «не А» — в том, что х ы О. Запишем эно символически: А: х= О, тогда А:х~ О. Конъюнкция (логическое умножение): Ад В, «А и 3». Высказывание А л В истинно тогда н только тогда« когда А истинно и 3 истинно. Если А или В ложно, то А л В ложно. Пусть, например, А: х+у=1,3: х — у=О(х,у-действительныечисла).ТогдаАлВ: х =у = 112. Пара (х,у) является решением системы уравнений, если опа являетсл решением и первого, и второго уравнения, Дизъюикцня (лагическое сложение), А >В, «А илн В», Высказывание А ч В истинно, если А истинно или В истинно. Например, если А: х — 1=0, В: х — 2=0 (х — действитель>юе числа), та АмВ.

(х — 1)(х — 2) = О. Импликац ил (следованне); А ~ 3, «еслн А, то В», «для 3 даста- точна А», «для А необходимо В», Высказывание А =э В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно (из истины не может следовать ложь). Эквиваленция (эквивалентность): А«о В «А эквивалентна В», Высказывание А е» В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают, т. е. А н 3 ложны или А и В истинны, Запишем таблицу истшп>ости для логических операций: Примеры: 1, Доке>«ел> спрвведлнвость способа докезятельстм теорем «от протнвлогок (л => В) ее (-б => ->!).

Длл этого составим твблнлу нстннностн: 2. Докажем закон трлнзитияности для деяствитсльнмх чисел, т. е, высклзыаание К: (А => В) л (В => С) => (А => С)- всегда истинно. Составим тлбллну истинности: В самом деле, высказывание К истинно лрн всех знеченняк А, В, С, Приведем основные свойс>ива логических операций; 1) -( А) =А — двойное отрицание; 2) А л (В л С) = (А гл В) >л С, А ч (В ч С) = (А ч В) ч С вЂ” ассоциативность; З)Ач1Вг,С)м(АчВ)л(АчС), Ал(ВчС)=(А>чВ)ч(АлС) — дистрибутивность; 4) (АдВ)=~ Ач В), (лАчВ)=( Агл В)-законыдеМоргана Справедливость свойств доказывается с помощью таблиц истинности, упрлжнсннс.

Проверьте снрласдлиаость некоторых снаястн. Часто в >яатематических записях используют квантор всеобщности 'Ф (означает: «любой, произвольный») и квалтор существования 3 (означает: «существует»). Напри>лер, запись чх е Х будет ь Заметим, что законы ессоцнятианостн для умножения чисел А(ВС) = (АВ)С и сложения чисел (А+ В)+С = А+(В+С) аналогичны логическнль Законы листрнбутиености для чисел несколько иаыс. Для чисел А(В+С) =АВ+АС (соясем кяк а логике), но А + (ВС) н (А + В)(А + С). Из этого следует, что законы арифметики, по которым до снк пор строят компьютеры, отличаются от законов логики, оо которым мыслит человек. По>тол>у для того, чтобы сконсгруиронать интеллектулльного робота, подобного чслоаску, л|ало улслнчить намять и скорость лылолпения оосрллнв.

Недо изменить арно«ни конструирования и составлять интсллсктулчьныс лрогрлмм>л нл языке логики, а нс нл языке лрифметнки. прочитана так: любой элемент х из мно>кестваХ, а запись»х: р или >Ух (р означает: любой элемент х, для которого выполнено свойствор. Записи Зх е Хи Лх; р (Зх /р) будут прочитаны соответственно: существует элемент х из множества Х и существует элемент х, для которого выполнено свойство р. Символы математической логики позволяют записывать математические определения и теоремы кратко, просто и содержательно.

Запишем, например, определение предела функции г"(х) при Х вЂ” > + со~ (ппл,„у'(х) = Ь с=>'з>е» О ЛМ(е) > О;(х > М) =а|,((х)- Ь! <е. Здесь Ы(е) предполагается действительным числом, Запишем еще определение предела последовательности действительных чисел (х„), (и = 1, 2, 3 „.). |пи „„х„= Ь с=»уе > О Л Ф(е) > О;(л > дг) =ж |х„- Ь! < е. Здесь Ф(е) предполагается натуралы>ым числом, Понятие предела мы обсудим подробно далее, но постарайтесь осмыслить (или запомнить) его уже сейчас. Если это удалось, постарайтесь записать определения предела функции при х -> —, х -> хо, где хб — конечное число.

Элементы теории множеств Множество — это совокупность элементов. Запись х и А означает, что элемент х принадле>кит множеству А, а х Ф А означает, что х не является элементом множества А. Два множестваА и В называ>отея равными (А = В), если оии состоят из одних и тех >ке элементов, Множество считается заданным, если его элементы заданы нли указан алгоритм их отыскания.

Мноясество ма>кот быть задано следующими способами: — перечислением элементов, если число элементов конечно; — указанием характеристического свойства мномсества я(х), которому удовлетворяют все его элементы и только опи, например: М: (х: я(х)) или М: (х/В(х)); — выделением части из целого, например: множество четных чисел, делящихся на 6; — объединением частей в целое, например: множество целыхчиссл определяется как совокупность множества натуральных чисел, нуля и множества натуральных чисел, умноженных на (-1).