Диссертация (Задача Монжа-Канторовича с линейными ограничениями)

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»На правах рукописиЗаев Данила АндреевичЗАДАЧА МОНЖА–КАНТОРОВИЧА С ЛИНЕЙНЫМИОГРАНИЧЕНИЯМИСпециальность 01.01.05 —«Теория вероятностей и математическая статистика»Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорКолесников Александр ВикторовичМосква — 20162ОглавлениеСтр.Введение. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 1. Задача Канторовича с ограничениями общего вида4. . .121.1Формулировка задачи с дополнительными ограничениями. . . .161.2Двойственность Канторовича . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .201.2.1Двойственность для задачи Канторовича с ограничениями211.2.2Двойственность в классической задаче Канторовича . . . .231.3Носитель оптимального транспортного плана в задаче сограничениями1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Мартингальная задача . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .32Глава 2. Инвариантная задача Монжа—Канторовича. . . . . . .35. . . . . . . . . . . . . . . . .352.1Инвариантная задача Канторовича2.2Случай компактной группы симметрий. . . . . . . . . .

. . . . .412.3Инвариантная задача Монжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462.4Инвариантное расстояние Канторовича49. . . . . . . . . . . . . . .Глава 3. Эргодические разложения и задача Канторовича. . . .533.1Симплексы распределений и дезинтегрирование. . . . . .

. . . .583.2Геометрические свойства дополнительных линейных ограничений653.3О некоторых вопросах измеримости. . . . . . . . . . . . . . . . .733.4Эргодическое разложение задачи Канторовича . . . . . . . . . . .773.5Эргодическое разложение инвариантных метрик Канторовича . .81Глава 4. Инвариантная задача Монжа—Канторовича набесконечномерных пространствах . . . . . .

. . .4.1Типы симметрий на пространствах последовательностей. . . . .83. . . . .864.1.1Перестановочные вероятностные распределения. . . . . .864.1.2Сферически-инвариантные вероятностные распределения .884.2Транспортировка мер на гильбертовых пространствах . . . . . . .884.3Транспортировка перестановочных вероятностных распределений9134.4Характеризация равномерно логарифмически вогнутыхвероятностных распределенийЗаключение .. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .95. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004ВведениеАктуальность темы исследования и степень ее разработанности.Задача Монжа – Канторовича, или задача об оптимальной транспортировке ве­роятностных мер, в последние два десятилетия пользуется большим вниманиемспециалистов из различных областей математики: теории вероятностей, анали­за, геометрии, теории динамических систем.

Помимо чисто теоретических за­дач, возникающих на стыке различных областей математики, развитие теорииМонжа – Канторовича стимулируется многочисленными приложениями, вклю­чающими модели статистической физики, финансовых рынков, динамики жид­костей. Кроме того, задача представляет заметный интерес для экономическихи технических приложений.Базовые результаты транспортной теории были получены Л.В. Канторо­вичем в 1940-е годы.

Задача оптимальной транспортировки интенсивно разви­валась во второй половине XX – начале XXI века в работах В.Н. Судакова,С. Виллани, Л. Амброзио, А.М. Вершика и других крупных ученых. Современ­ная формулировка (которую уместно называть «задачей Канторовича») былапредложена Канторовичем [11]. Он рассмотрел задачу нахождения вероятност­ного распределения на прямом произведении двух пространств с фиксированны­ми проекциями (маргиналами), минимизирующего некоторый линейный функ­ционал. Используя линейность задачи и свои результаты в теории линейногопрограммирования, Канторович нашел достаточные условия существования ре­шения и сформулировал фундаментальный принцип двойственности.Важно отметить, что рассматриваемая Канторовичем задача тесно свя­зана с классической (нелинейной) задачей о перемещении масс, предложеннойГ. Монжем [52] в 1781 году (задача Монжа): имеются куча песка и яма одинако­вых объемов.

Как засыпать песком яму, потратив наименьшие усилия на транс­портировку массы? В формулировке Канторовича фиксированные маргиналы— распределение куч песка и ям на плоскости, а оптимальное вероятностное рас­пределение — обобщение понятия транспортировки, называемое транспортнымпланом. Известно, что наRв довольно общей ситуации решение задачи Кан­торовича является решением в смысле Монжа: оно сосредоточено на графикенекоторого отображения.5В современных работах задача Монжа – Канторовича обычно рассматри­вается в весьма общей постановке: пространства, на которых определены марги­нальные распределения, предполагаются польскими (полными сепарабельнымиметрическими), а функция стоимости, задающая критерий оптимальности —полунепрерывной снизу или даже борелевской (см., например, работу В.Л. Ле­вина и А.А. Милютина [13], а также обзор В.И. Богачева и А.В.

Колесникова[1]).Задача Канторовича формулируется следующим образом. Найти мини­мум функционала∫︁→(,),(1)×на множествеΠ(,) вероятностных распределений на ×с фиксированнымимаргиналами:(Pr )# = , (Pr )# = . : × — функция, называемая функцией стоимости. Элементы мно­жества Π(,) называют транспортными планами. Измеримые отображения : → со свойством # = называют транспортными отображени­Здесьями или транспортировками.

Задача Канторовича заключается в поиске оп­тимального транспортного плана, а задача Монжа — в поиске оптимальноготранспортного отображения. Классический принцип двойственности утвержда­ет, что минимум в задаче (1) совпадает с супремумом функционала∫︁(,) =∫︁ +,((),()), удовлетворяющих ограничению() = () ≤ (,). Носитель распределения характеризуется, как правило,который ищется на парах функцийважным геометрическим свойством циклической монотонности, из которогов ряде случаев можно вывести, что решение задачи Канторовича однозначноопределяет решение задачи Монжа.В такой постановке задача оказывается связанной со многими приложе­ниями, например с геометрией метрических пространств (Л. Амброзио [17],С.

Виллани [60]), гидродинамикой (Я. Бренье [31]), динамическими система­ми (А.М. Вершик [2]), статистический физикой (Р. Л. Добрушин [7]), теори­ей марковских цепей (Я. Оливье [53]). Обширные вероятностные приложения6представлены в книгах С.Т. Рачева и Л. Рюшендорфа [56], а также Д. Бакри,И. Жантиля и М. Леду [19]. В последней книге продемонстрирована теснаявзаимосвязь вероятностных и аналитических задач, где техника транспортнойзадачи выступает одним из главных инструментов изучения неравенств концен­трации, неравенств Соболева, энтропийных оценок.Имеются важные ситуации, когда вместо стандартной транспортной зада­чи имеет смысл рассматривать ее некоторые модификации. Одной из такой мо­дификаций является ее инвариантный аналог.

В этом случае мы рассматриваемнекую группу преобразований пространств, действующую на них непрерывно(или, более общим образом, измеримо). Фиксированные маргинальные распре­деления предполагаются инвариантными относительно действия этой группы, апоиск оптимального решения производится только среди инвариантных транс­портных планов. Для задачи в такой постановке известны лишь частичные ре­зультаты: например, подробно исследован случай, когда функция стоимоститакже инвариантна (А.

Моамени [51]). Однако такие вопросы, как формулиров­ка двойственной задачи Канторовича, связь между задачей Монжа и Канто­ровича (когда решение задачи Канторовича будет решением задачи Монжа?),свойство циклической монотонности, взаимосвязь между эргодичностью реше­ния и его оптимальностью представляют большой интерес для исследования.Достаточные условия существования решения инвариантной задачи Монжа нестоль очевидны, как для инвариантной задачи Канторовича и тесно связаныс теорией эргодических разложений и изучением структуры крайних точек би­стохастических распределений (А.М. Вершик [3], В.Н.

Судаков [14], Р. МакКэн[34]). Среди потенциальных приложений отметим теорию случайных процес­сов (в частности, стационарных, Л. Рюшендорф [58]), теорию мер на графах(А.М. Вершик [4]).Отметим, что исследования по бесконечномерной задаче Монжа-Канто­ровича мотивированы, в частности, задачами анализа на пространстве Винера(В.И. Богачев и А.В. Колесников , Д. Фейель и А.С.

Устюнель [27], [28], [39], [47])и теорией диффузионных процессов (Д.Б. Букин [32]). В цитированных работахобычно рассматривались вероятностные распределения, абсолютно непрерыв­ные относительно фиксированного гауссовского распределения и, как правило,в этой ситуации решение задачи Монжа существует и совпадает с решениемзадачи Канторовича.

В этом смысле транспортная задача на пространстве Ви­7нера похожа на конечномерную. В настоящей работе развивается подход дляпринципиально иной, но также естественной для приложений ситуации. В инва­риантной задаче Канторовича на бесконечномерных пространствах маргиналь­ные вероятностные распределения, как правило, взаимно сингулярны, а вопросо существовании решения Монжа очень сложен.Другая важная модификация задачи связана с моделированием финан­совых активов. Фиксированные маргинальные распределения в этом случаеможно интерпретировать как распределения стоимости актива в определенныемоменты времени, а оптимальный транспортный план — как совместное рас­пределение модельного процесса.

В таком случае естественно рассматриватьтранспортную задачу с конечным (не обязательно равным двум) числом марги­налов. Кроме этого, большинство вероятностных распределений в финансовыхмоделях являются мартингальными мерами. Поэтому на транспортные планыестественно наложить условие мартингальности, которое также является ли­нейным. Мартингальная задача Канторовича изучалась в работах М. Байглбе­ка, В. Шахермайера и соавторов [21—23; 25; 30]. Эта задача тесно связана спотраекторными неравенствами для мартингалов, которые естественно интер­претируются как ограничения в задаче, двойственной к мартингальной задачеКанторовича (см., например, Б. Буршар, М. Нутц и др.[24; 30]).Имея в виду два описанных выше примера модификации стандартной за­дачи Монжа – Канторовича, можно заметить, что в обоих случаях речь идет оналожении дополнительных условий на множество возможных решений, при­чем математически эти условия можно описать как линейные бесконечномер­ные ограничения.