Диссертация (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели), страница 9

Применив лемму 2.1.9, мы получаем искомое расслоение.Таким образом, если многообразие является -бирационально жёст­̂︂ким, то либо ′ совпадает с Aut(), либо сопряжена 9 или 10 , то есть принадлежит одному из трёх семейств подгрупп.Замечание.4.1.10 В этих случаях можно более точно описать группу′′ = ker( → ′ ): для некоторого имеется вложение C3 ⊂ ′′ ⊂ C32 , при­чём ′′ инвариантна относительно естественного действия группы C3 .

Длякаждого таких подгрупп ровно четыре. Это несложно получить из того,что ′′ должна быть инвариантна относительно действия ′ сопряжениями.Остаётся открытым вопрос, для каких именно подгрупп Aut() мно­гообразие является бирационально жёстким. Например, является ли онобирационально жёстким относительно всей группы Aut()?4.2. -бирациональная жёсткость многообразия типа(2 i)В этом параграфе мы для одного многообразия из теоремы 1.2.2классифицируем подгруппы в Aut(), относительно которых оно является-бирационально жёстким.

Докажем сначала следующую полезную лемму.47Пусть — гладкое пересечение двух квадрик в P5. Пусть — подгруппа Aut(), имеющая неподвижную точку на . Тогда яв­ляется -эквивалентным -расслоению на квадрики.Доказательство. Пусть : ̃︀ → — раздутие в неподвижной точке.Лемма 4.2.1.̃︀ является гладким -многообразием дель Пеццо степени 3. Действи­Тогда ̃︀ . Если лежиттельно, пусть — произвольная неприводимая кривая на на , то · ̃︀ < 0. В противном случае · ̃︀ = () · + 2 · = −2 deg () + 2 mult 6 0.Более того, равенство достигается только в случае, когда () — прямая.Таким образом, численная эффективность −̃︀ доказана, а его объёмность̃︀ на кубическуюочевидна. Антиканоническая линейная система оботражает гиперповерхность в P4 , содержащую -инвариантную плоскость.

Проекцияиз неё даёт искомую структуру -расслоения на квадрики.Разберём теперь подробнее случай (2 i) теоремы 1.2.2. В этом случае можно задать системой уравнений21+ 2 22+ 3 23+ 4 24+25=6∑︁2 = 0,=1где — корень пятой степени из 1. Группа Aut() изоморфнаC52 o C5 ≃ C2 × (C42 o C5 ), причём C52 действует сменой знаков у 1 , ..., 5 ,а C5 переставляет эти координаты по циклу.Предложение 4.2.2.Группа Aut() имеет следующие подгруппы:{}, C2 , C22 , C32 , C42 , C52 , C5 , C10 , C42 o C5 , C52 o C5 .Доказательство.Для произвольной подгруппы ⊂ Aut() положим = ∩Aut() и ′′ = (), где : Aut() → Aut()′′ — стандартная про­екция (в обозначениях теоремы 4.1.4).

Если ′′ тривиальна, то = ′ ≃ C2 .Предположим теперь, что ′′ = C5 . Рассмотрим произвольный элементнашей подгруппы порядка 5. Несложно показать, что с помощью сопряженияэлементом из C52 его можно перевести в элемент, переставляющий координа­ты по циклу без смены знаков. Отождествим группу C52 с векторным про­странством F52 над полем F2 , на этом пространстве задано тавтологическое′′48представление группы C5 . Подгруппа ′ соответствует подпредставлению, ко­торых ровно 4: нульмерное, тривиальное одномерное (порожденное вектором(1, 1, 1, 1, 1)), ортогональное ему четырёхмерное и пятимерное.

Следователь­но, с точностью до сопряжения Aut() содержит четыре таких подгруппы:C5 , C5 × C2 , C42 o C5 , Aut(). Более того, каждая из таких подгрупп ровноодна.Пусть — гладкое пересечение двух квадрик в P5 сгруппой автоморфизмов Aut() ≃ C52 o C5. Пусть — подгруппа Aut(),изоморфная C5 или C10. Тогда группа имеет расслоенный тип.Доказательство. Это немедленно следует из леммы 4.2.1, поскольку точкаПредложение 4.2.3.(1 : : 2 : 3 : 4 : 0) является C10 -инвариантной.Обозначим подгруппу C42 o C5 ⊂ Aut() через , а нормальную под­группу C42 ⊂ Aut() через ′ .Пусть ⊂ — сечение гиперплоскостью 6 = 0, а ⊂ — сечение гиперплоскостью = 0, ̸= 6. Тогда -орбита точ­ки на может иметь длину 16, 20, 40 или 80, а ′-орбита точки на состоит из 4, 8 или 16 точек.Доказательство.

Пусть — некоторая точка , а — её стабилизатор.Лемма 4.2.4.Если в есть элемент порядка 5, то первые пять координат ненулевые,поэтому никакой элемент ′ в стабилизаторе лежать не может, и орбита имеет длину 16. Если не содержит элементов порядка 5, то ⊂ ′ .Поскольку среди координат не менее трёх ненулевых, то мощность равна1, 2 или 4. Вторая часть утверждения доказывается аналогично.Пусть — гладкое пересечение двух квадрик в P5 с группойавтоморфизмов Aut() ≃ C52 o C5. Пусть ≃ C42 o C5 — подгруппа Aut().Тогда является -бирационально жёстким.Доказательство. Пусть ℋ ⊂ | − | — некоторая -инвариантная линей­Теорема 4.2.5.ная система без неподвижных компонент. Докажем сначала, что точка непожет быть неканоническим центром пары (, 1 ℋ). Предположим против­ное — пусть точка = (1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 ) ∈ 49является неканоническим центром. Из уравнений многообразия легко вы­водится, что среди чисел как минимум три не равны нулю. Без ограниченияобщности можно считать, что 1 , 2 и 3 ̸= 0.

Тогда точки(±1 : ±2 : 3 : 4 : 5 : 6 )лежат в -орбите , поэтому тоже являются неканоническими центрами. Всеэти 4 точки лежат на двумерной плоскости , которая не имеет других точекпересечения с . Рассмотрим общую гиперплоскость , содержащую , идва общих элемента линейной системы 1 , 2 ∈ ℋ. Пусть = 1 · 2 . Изтого, что ∩ нульмерно следует, что не содержит компонент .

Тогда162 = · > 4 mult > 162 ,где последнее неравенство следует из теоремы 2.3.2. Полученное противоре­чие показывает, что точка не может быть неканоническим центром.Пусть = 1 — неприводимая кривая, являющаяся неканоническимцентром, = deg 1 — её степень, а { | 1 6 6 } — её -орбита. Пусть — достаточно общее гиперплоское сечение , а 1 и 2 — общие элементыℋ. Тогда по теореме 2.3.4162 = · 1 · 2 > (mult ℋ)2 · > 2 .Из этого следует, что 6 15. Поскольку является индексом некоторойподгруппы , то (см. утверждение 4.2.2) может быть равным 1, 5 или 10.Предположим, что = 5. В таком случае кривая 1 сохраняется груп­пой ′ ≃ C42 , а её степень не превосходит 3. Выберем такое 1 6 6 5, что1 не лежит в гиперплоскости { = 0}.

Тогда пересечение 1 с этой гипер­плоскостью является множеством из не более чем трёх точек, инвариантнымотносительно ′ . Согласно лемме 4.2.4, такого не может быть. Противоречие.Пусть = 10. В этом случае = 1. Без ограничения общности можносчитать, что 1 и 2 образуют ′ -орбиту. Найдётся такое , что 1 и 2не лежат на гиперплоскости = { = 0}, иначе 1 или 2 лежала бы наплоскости { = = = 0} для некоторых различных , , , но пересечениеэтой плоскости с состоит из 4 точек. Тогда (1 ∪ 2 ) ∩ является паройточек, инвариантной относительно ′ , чего не может быть по лемме 4.2.4.Остался последний случай = 1.

В этом случае не лежит в гипер­плоскости {1 = 0}. Пересечение с гиперплоскостью {1 = 0} является50′ -инвариантным множеством, поэтому из леммы 4.2.4 следует, что степенькривой может быть равна 4, 8 или 12. Кроме того, лежит в гиперплоскости = {6 = 0}, поскольку иначе их пересечение было бы -инвариантным ко­нечным подмножеством , но минимальная мощность орбиты в этом случаеравна 16 > (см. лемму 4.2.4). Легко понять, что в подпространстве размер­ности меньше 4 кривая не лежит, поскольку соответствующее пятимерноепредставление неприводимо.

Поэтому кривая не может иметь степень 4.Кривая является -инвариантной кривой на поверхности дель Пеццо . Группа ′ действует на множестве (−1)-кривых транзитивно. Действи­тельно, пусть элемент ∈ ′ сохраняет некоторую (−1)-кривую, которая внашем случае является прямой в P4 . Элемент меняет знаки у двух иличетырёх координат, во втором случае его неподвижные точки лежат на се­чении координатной гиперплоскостью, в первом — на сечении коорди­натным подпространством коразмерности 2. Действие на прямой имеет двенеподвижные точки, поэтому прямая обязана целиком лежать на сечении координатной гиперплоскостью, чего не может быть, поскольку это сечениеявляется неприводимой кривой степени 4.Таким образом, группа действует на поверхности минимально. Сле­довательно, ∼ · (− ) = − .4Кроме того, мы знаем, что = 4, 8 или 12.

Докажем, что в этом случае является полным пересечением с гиперповерхностью степени 4 в P4 .Любой дивизор из линейной системы | − | является гиперплоскимсечением, поскольку наше вложение ⊂ P4 является антиканоническим.Применив формулу Римана-Роха и теорему Кодаиры об обращении в нуль кдивизорам − , −2 и −3 , получаем5 = ℎ0 (− ) =− · (− − )+ () = 4 + (),2−2 · (−2 − )+ () = 12 + (),2−3 · (−3 − )ℎ0 (−3 ) =+ () = 24 + ().2Отсюда получаем, чтоℎ0 (−2 ) =ℎ0 (−2 ) = 13, ℎ0 (−3 ) = 25,51что совпадает с размерностями пространств сечений квадратичными икубическими гиперповерхностями соответственно.Мы получили, что = ∩ { = 0}, где — квадратичный или куби­ческий многочлен.

Напомним, что задано уравнениями1 =21+ 2 22+ 3 23+ 4 24+25= 0,2 =5∑︁2 = 0.=1Если многочлен кубический, то, прибавив к многочлен вида 1 1 + 2 2для некоторых линейных многочленов , можно добиться того, что коэффи­циенты при мономах 2 ±1 , 1 6 6 5 (мы отождествляем 0 с 5 и 6 с1 ) обнулятся, причём многочлены единственны (это несложно проверить,написав явные уравнения на неизвестные коэффициенты многочленов ).Полученное уравнение является -полуинвариантным, чего не бывает длякубических многочленов.Пусть многочлен квадратичный. В этом случае можно считать, что полуинвариантен относительно действия группы (возможно, после прибав­ления к нему 1 1 +2 2 для некоторых ).

В таком случае легко проверить,что имеет вид21 + 2 22 + 3 23 + 4 24 + 25 = 0,где — корень пятой степени из единицы, отличный от . В частности, кривая неособа. По теореме 2.3.5, соответствующий линк Саркисова происходит̃︀ → , через ̃︀из раздутия кривой . Обозначим это раздутие через : обозначим собственный прообраз , а через — исключительный дивизор.̃︀ есть два экстремальных луча, стягивание первогоНа конусе Мори NE()даёт морфизм , обозначим второй луч через .

Рассмотрим произвольную̃︀ . Тогдакривую на · ̃︀ = · ( * + ) = () · + · = −2 deg + () · | = 0.̃︀ индекс пе­Аналогично показывается, что для произвольной кривой ⊂ ресечения · ̃︀ 6 0. Таким образом, ̃︀ · = 0, но стягивание малымне является, поэтому раздутие не даёт линка Саркисова (см. [17]).Таким образом, линейная система ℋ не имеет неканонических центров,и теорема доказана.52Замечание 4.2.6. Группа может действовать на других расслоениях Мори,например на × P1 , где — поверхность дель Пеццо степени 4 с группойавтоморфизмов C42 oD10 (см.

[22, Theorem 6.9]). Таким образом, группа Cr3 (k)содержит как минимум две несопряжённые подгруппы, изоморфные .Остаётся открытым вопрос, есть ли в случаях (2 ii)–(2 iv) подгруппы вAut(), относительно которых является бирационально жёстким? Боль­шую часть подгрупп Aut() можно отбросить, используя леммы 4.1.7 и 4.2.1,но, к сожалению, не все.53Глава 5Трёхмерные кубические гиперповерхностиВ этой главе основное поле предполагается алгебраически замкнутымхарактеристики нуль.5.1.