Диссертация (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели)

Национальный Исследовательский Университет "Высшая ШколаЭкономики"факультет математикиНа правах рукописиУДК 512.776, 512.765Авилов Артем АлексеевичАвтоморфизмы алгебраических многообразий иминимальные модели01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математическихнаук, профессор Ю. Г. ПрохоровМосква — 2016Оглавление. . .

. . . . . . . . . . .История вопроса и постановка задачиОсновные результаты диссертации . .Обозначения . . . . . . . . . . . . . .Глава 1.1.1.1.2.1.3.......................................................... . . . . . . . . . . . . . . .Основные понятия . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .Программа минимальных моделей . . . . . . . . . . . . . . . .Бирациональная жёсткость и особенности линейных систем .Некоторые факты о геометрии расслоений на коники . . . . .Пересечения двух квадрик и символы Сегре . . . . . . . . . .Трёхмерные кубические гиперповерхности с обыкновеннымидвойными точками . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 2.2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.ВведениеПредварительные сведения. 3. 3. 9. 14......151517202124. 27-расслоений на коники . . . . 303.1. Доказательство теоремы 1.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30Глава 3.. . . . . . . . . 40Автоморфизмы пересечения двух квадрик . . . . . . . . . . . . 40-бирациональная жёсткость многообразия типа (2 i) . . . . . 47Глава 4.4.1.4.2.Стандартные моделиТрёхмерные пересечения двух квадрик. . . .5.1. Особенности трёхмерных кубических гиперповерхностей .5.2. Кубика Сегре . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .5.3. Кубические гиперповерхности с девятью особыми точками5.4. Кубические гиперповерхности типа J11 . . . . . . . . . . .5.5. Кубические гиперповерхности типа J9 . . . . . . . . . . .5.6. Пять особых точек . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .Публикации по теме диссертации . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 5.Трёхмерные кубические гиперповерхности2...........................545459656869757879Глава 1Введение1.1.

История вопроса и постановка задачиКлассификация алгебраических многообразий — одна из важнейших за­дач алгебраической геометрии. Многие известные математики занималисьей с самых ранних работ по алгебраической геометрии конца XIX века. Су­ществует два основных направления классификации — бирегулярная и би­рациональная классификация, в которых многообразия классифицируются сточностью до изоморфизма и бирациональной эквивалентности соответствен­но.Бирациональная классификация алгебраических кривых устроена доста­точно просто: в любом классе бирациональной эквивалентности есть ровноодна неособая проективная кривая, основным инвариантом которой являетсяеё род.

Следующим шагом является классификация поверхностей. Она былаосуществлена в начале XX века усилиями итальянских геометров (Ф. Севе­ри, К. Сегре, Г. Кастельнуово, Ф. Энриквеса и др.), однако зачастую методы,которыми они пользовались, были нестрогими, а доказательства содержалиошибки. В 60-х годах XX века их работы были критически пересмотрены, аутверждения передоказаны с использованием разработанной на тот моменттехники Московской Школой алгебраической геометрии (см. [41]). Любаянеособая алгебраическая поверхность с помощью стягивания (−1)-кривыхможет быть приведена к минимальной модели (поверхность называется ми­нимальной, если на ней нет (−1)-кривых), поэтому классифицикация мини­мальных поверхностей является основной задачей для классификации всехповерхностей.

Основным их инвариантом является размерность Кодаиры, ко­торая для поверхностей может принимать значение −∞, 0, 1 или 2. Поверх­ности кодаировой размерности −∞ бирационально эквивалентны P1 × ,где — алгебраическая кривая; поверхности кодаировой размерности 0 при­надлежат одному из следующих классов: К3, абелевы, биэллиптические илиповерхности Энриквеса; поверхности кодаировой размерности 1 являются эл­липтическими; поверхности кодаировой размерности 2 называются поверх­ностями общего типа.

Множество результатов имеется на тему дальнейшей3классификации поверхностей, не для всех классов существует полная класси­фикация.В процессе классификации многообразий над алгебраически незамкну­тыми полями и при классификации конечных групп бирациональных авто­морфизмов естественным образом возникает понятие -многообразия.-многообразиемназывается многообразие над по­лем k с действием группы на ⊗ k.Определение 1.1.1.Впервые понятие -многообразия было введено Ю. Маниным в рабо­те [48] при изучении рациональных поверхностей над совершенными поля­ми. Техника -поверхностей была усовершенствована В.

Исковских, которыйклассифицировал рациональные -поверхности в работах [36] и [37]. Наибо­лее важными случаями -многообразий являются следующие:1. алгебраический случай: группа является группой Галуа поля k надk и действует на ⊗ k через второй сомножитель;2. геометрический случай: группа является конечной группой, действу­ющей k-автоморфизмами на .Первый случай важен для классификации многообразий над алгебраиче­ски незамкнутыми полями.

Далее мы будем рассматривать только геометри­ческий случай. Одним из важнейших приложений изучения геометрическогослучая -многообразий является изучение группы Кремоны.Определение 1.1.2.Группа Кремоны Cr(k) ранга — это группа бираци­ональных автоморфизмов проективного пространства Pk .Изучение свойств этих групп также является давней и важной задачейбирациональной геометрии. В дальнейшем в этом параграфе мы будем пола­гать, что k — алгебраически замкнутое поле характеристики 0.Группа Кремоны ранга 1 устроена очень просто: поскольку бирациональ­ные автоморфизмы неособых кривых совпадают с их бирегулярными авто­морфизмами, то Cr1 (k) = PGL2 (k). Если ранг равен 2, то группа Кремоныпорождается группой Aut(P2 ) ≃ PGL3 (k) и всего одним дополнительнымквадратичным преобразованием, действующим по правилу(0 : 1 : 2 ) ↦→ (1 2 : 0 2 : 0 1 )4([56], [68]).

Соотношения на её порождающие были впервые найдены М. Ги­затуллиным ([29]). Однако, уже начиная с ранга 3, группа Кремоны не обла­дает хорошим набором порождающих [32], и практически ничего не известноо её структуре. Изучение алгебраических и топологических свойств группыКремоны ранга 2 и выше над различными полями активно продолжается внастоящее время (см., например, [10], [8], [19]).Другая классическая задача, связанная с группами Кремоны — класси­фикация их конечных подгрупп с точностью до сопряжения (и, в частности,элементов конечного порядка). Известно, что группы Кремоны ранга 2 и 3удовлетворяют свойству Жордана — существует такая константа , что длялюбой конечной подгруппы группы Кремоны в ней есть нормальная абелеваподгруппа индекса не более, чем (см.

[67], [64]). Преположительно этот ре­зультат верен в любой размерности (см. [64]). Поэтому можно ожидать, чтоконечные подгруппы в группе Кремоны малого ранга допускают разумнуюклассификацию.Изучение конечных подгрупп в группе Cr2 (C) было начато Бертини [5]и продолжено многими другими математиками: [24], [3], [7]. Классифика­ция конечных подгрупп в Cr2 (C) была завершена И. Долгачёвым и В. Ис­ковских (не считая некоторых специальных случаев) в работе [22]. Сутьметода классификации состоит в следующем. Пусть — конечная под­группа в Cr2 (C). Тогда действие регуляризуется, т.е. существует неосо­бое проективное многообразие , на котором действуетавтоморфизмами с -эквивариантным бирациональным отображением 99K P2 .

После -эквивариантных стягиваний (−1)-кривых, мы получим-многообразие , которое является либо -расслоением на рациональныекривые над P1 с rk Cl() = 2, либо -минимальной поверхностью дельПеццо с rk Cl() = 1. Классифицировав все возможные минимальныегруппы для расслоений на коники и для поверхностей дель Пеццо (т.е. та­кие, что rk Cl() = 2 в случае расслоений на коники и rk Cl() = 1в случае поверхности дель Пеццо), Долгачёв и Исковских получили пол­ную классификацию конечных подгрупп в Cr2 (C) (по модулю некоторыхсерий). Но довольно часто полученные подгруппы являются сопряжённы­ми в Cr2 (C), поэтому их естественно отождествить. Несложно видеть, что-многообразия 1 и 2 дают сопряжённые подгруппы в том и только томслучае, когда есть -эквивариантное бирациональное отображение 1 99K 2 .бирегулярны­ми5Поэтому кроме классификации всех рациональных -расслоений на коникии -поверхностей дель Пеццо необходимо исследовать также и бирациональ­ные отображения между различными такими -многообразиями.

Есть неко­торые частные результаты также для групп Кремоны ранга 2 над полями,отличными от C: см., например, [67], [23], [74], [20].Новый взгляд на бирациональную классификацию алгебраических мно­гообразий появился с развитием программы минимальных моделей. Она яв­ляется естественным обобщением процедуры приведения поверхности к ми­нимальной форме путём стягивания (−1)-кривых на многообразия старшихразмерностей. Она состоит в следующем: любое неособое проективное много­образие с помощью определённых бирациональных преобразований, а имен­но дивизориальных стягиваний и флипов, можно привести к многообразиюодного из следующих типов: либо полученное многообразие имеет численноэффективный антиканонический класс, либо оно допускает структуру рас­слоения Мори (см. [45], [46]).Проективное(-)многообразиес(-эквивариантным) морфизмом : → называется , если его особенности не более чем терминальные Q-факториальные(соотв., Q-факториальные, т.е.

любой -инвариантный дивизор Вейляявляется дивизором Q-Картье), * = , dim > dim , относительноечисло Пикара (/ ) равно 1 (соотв., (/ ) = 1, где (/ ) – числоПикара инвариантной относительной группы Пикара) и антиканоническийкласс − является -обильным.Определение1.1.3.( -)расслоениемМориПрограммаминимальныхмоделейполностьюобоснованадля трёхмерных многообразий над полями характеристики нуль(см. [50], [49], [42], [71], [45], [46]), а также для некоторых классов мно­гообразий в старших размерностях, например, для рационально связныхмногообразий (см.