Диссертация (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели), страница 3

В случае (2 iii) такие многообразия образуютоднопараметрическое семейство.Схема доказательства этой теоремы следующая. Любое пересечениедвух квадрик однозначно задаётся некоторым комбинаторным объектом —символом Сегре. Изучив все возможные символы Сегре, мы сразу отбрасыва­ем большинство из них, поскольку для них на многообразии имеются инвари­антные точки, прямые или плоскости, проекция из которых даёт эквивариант­ный морфизм на более простое -многообразие Фано или расслоение Мори.Для оставшихся мы описываем группы автоморфизмов, исходя из свойствих символа Сегре, а также минимальные подгруппы, используя известнуюгеометрию этих многообразий.Для одного из полученных многообразий мы доказываем бирациональ­ную жёсткость относительно подгруппы полной группы автоморфизмов ин­декса два, а именно:Пусть — многообразие из пункта (2 i) теоремы 1.2.2, а≃o C5 .

Тогда многообразие является -бирационально жёстким,т.е. если есть другое -расслоение Мори ′ → ′ с -эквивариантнымбирациональным отображением 99K ′, то ′ ≃ . Как след­ствие, любое другое -расслоение Мори даёт нам несопряжённое вложениеC42 o C5 = ⊂ Cr3 (k).Теорема 1.2.3.C4211Доказательство состоит в последовательном исключении всех возмож­ных неканонических центров.В пятой главе мы изучаем многообразия дель Пеццо степени 3. Основноеполе снова предполагается алгебраически замкнутым характеристики нуль.В этом случае является кубической гиперповерхностью. Мы доказываемследующую теорему.Пусть = 3 ⊂ P4 — кубическая гиперповерхность, яв­ляющаяся рациональным -многообразием Фано.

Предположим, что нелинеаризуема и не является группой расслоенного типа. Тогда все особен­ности являются обыкновенными двойными точками, а описываетсяследующей таблицей:Теорема 1.2.4.type1 type2 () () Aut() J15 31∘610S6A5 , S5 (подгруппы S6 фиксирую­щие координату ), A6 , Aut()Aut() ≃ S6 действует перестановкой координат 0 , ..., 5 (см. J15 ниже)J14 30∘59S23 oC2 S23 (подгруппа Aut(), действую­щая транзитивно на множестве ко­ординат), C23 o C4 , Aut()Aut() ⊂ S6 действует перестановкой координат 0 , ..., 5 (см. J14 ниже)J9a 28∘26S5Aut()J9b 28∘26S23 oC2 S23 (единственная подгруппа, дей­ствующая транзитивно на Sing()),C23 o C4 , Aut()J5a 27∘15S5C5 o C4 , A5 , Aut()J5b 27∘15A5Aut()где type1 — тип многообразия в терминологии работы [25], type2 — типмногообразия в терминологии работы [58], () — ранг группы классов ди­визоров Cl(), () — количество особенностей многообразия .

Уравне­ния, задающие , в этих случаях имеют следующий вид:J15:{︂5∑︀=0 =5∑︀=0}︂3 = 0 ⊂ P5, т.е. — кубика Сегре;125∑︀J14: {0 1 2 − 3 4 5 = = 0} ⊂ P5=0J9a:4∑︀ 1+ 2+ −лю 5);=04∑︀ 1+ 3+ = 0=0;(мы рассматриваем индексы по моду­J9b: 0 1 2 − 0 1 3 + 0 1 4 + 0 2 3 − 30 2 4 + 0 3 4 − 1 2 3 + 1 2 4 −;−1 3 4 + 2 3 4 = 0∑︀J5a: = 006<<64J5b:;, где — примитивный корень тре­=0=0тьей степени из 1 (оба корня дают изоморфные многообразия; мы рас­сматриваем индексы по модулю 5).4∑︀ 1+ 2+ − 4∑︀ 1+ 3+ = 0Схема доказательства этой теоремы следующая. Используя то, что груп­па Aut() не является линеаризуемой или группой расслоенного типа, мыописываем все возможные конфигурации и типы особенностей и их взаим­ное расположение с плоскостями, лежащими на многообразии .

Всего мыполучаем 6 типов принципиально разных многообразий. Исследуя каждыйслучай по отдельности и используя такие факты, как, например, транзитив­ность действия группы автоморфизмов на множестве особых точек или намножестве плоскостей, а также отсутствие некоторых типов инвариантныхподпространств, мы классифицируем возможные многообразия, а также ми­нимальные подгруппы ⊂ Aut(), не допускающие эквивариантных пере­строек.Результаты диссертации опубликованы в шести работах, из которых три([A1], [A2], [A3]) — в изданиях ВАК. Результаты третьей главы содержатся вработах [A1] и [A4].

Результаты четвёртой главы содержатся в работе [A2]. Ре­зультаты пятой главы содержатся в работах [A3] и [A5] (полная версия [A3]).АвторвыражаетблагодарностьнаучномуруководителюЮ. Г. Прохорову за постановку задачи и неоценимую помощь в её вы­полнении и оформлении результатов и К.

А. Шрамову и А. С. Трепалину заполезные обсуждения и ценные замечания.131.3. ОбозначенияВ этой работе мы будем использовать следующие обозначения:∙ k обозначает произвольное поле характеристики нуль;∙ k обозначает алгебраическое замыкание поля k;∙ = ⊗ k;∙ обозначает канонический дивизор многообразия ;∙ Pic() (соответственно Pic() ) обозначает группу Пикара (соотв.,-инвариантную группу Пикара) многообразия ;∙ Cl() (соответственно Cl() ) обозначает группу классов дивизоров(соотв., -инвариантную группу классов дивизоров) многообразия ;∙ () = rk Pic(), () = rk Pic() ;∙ () = rk Cl(), () = rk Cl() ;∙ C — циклическая группа порядка ;∙ D2 — диэдральная группа порядка 2;∙ S — симметрическая группа степени ;∙ A — знакопеременная группа степени ;∙ — прямое произведение копий группы .14Глава 2Предварительные сведения2.1.

Основные понятияОсновным объектом-многообразия.исследованиявдиссертацииявляются-многообразием называется многообразие над по­лем k с действием группы на ⊗ k.Определение 2.1.1.В дальнейшем нас будет интересовать геометрический случай действиягруппы .Пусть — -многообразие. Будем говорить, что имеет Q, если любой -инвариантный диви­зор Вейля является дивизором Q-Картье.Определение 2.1.2.-факториальные особенностиВажнейшим классом многообразий для нас являются многообразия, до­пускающие структуру расслоения Мори:Проективное -многообразие с эквивариантнымморфизмом : → называется , если его осо­бенности не более чем терминальные Q-факториальные, * = ,dim > dim , относительное инвариантное число Пикара (/ ) = 1(группа при этом называется) и антиканонический класс− является -обильным.Определение 2.1.3.-расслоением Мориминимальной-расслоением Мори на коники (соотв., поверхностидель Пеццо) мы будем называть -расслоение Мори относительной размер­ности 1 (соотв., относительной размерности 2).Определение 2.1.4.Нормальное проективное -многообразие назы­вается Q, если его отображение в точку является-расслоением Мори.

Если при этом канонический дивизор является ди­визором Картье, то называется .Определение 2.1.5.-многообразием Фано-многообразием ФаноВ этой работе мы исследуем некоторый подкласс в многообразиях Фа­но — многообразия дель Пеццо.15(-)многообразие размерности называется, если оно имеет не более чем терминальныегоренштейновы особенности, а его антиканонический класс − являетсяобильным дивизором Картье и делится на − 1 в группе Пикара. Число1() = (− −1 ) называетсямногообразия .Определение2.1.6.( -)многообразием дель ПеццостепеньюСледующаятеорема(-)многообразий дель Пеццо:Теорема 2.1.7являетсячастичнойклассификациейПусть — трёхмерное многообразие— дивизор Картье. Тогда([34], [70], [27], [28]).дель Пеццо и =1.

dim || = () + 1;2. линейная система || не имеет базисных точек (соотв., очень обиль­на) при () > 2 (соотв., () > 3). При () > 4 образ привложении с помощью линейной системы || является пересечениемквадрик;3. при () = 4 многообразие изоморфно пересечению двух квадрик вP5 ;4. при () = 3 многообразие изоморфно кубической гиперповерхностив P4 ;5. при () = 2 линейная система || задаёт двулистное накрытие → P3 разветвлённое в поверхности четвёртой степени ⊂ P3 ,имеющей изолированные особенности. Многообразие изоморфно ги­перповерхности степени 4 в P(14, 2);6.

при () = 1 линейная система || имеет ровно одну базиснуюточку, являющуюся неособой, и задаёт рациональное отображение 99K P2 , общий слой которого является эллиптической кривой. Мно­гообразие является гиперповерхностью степени 6 в P(13, 2, 3).− 21 Также мы будем использовать следующие понятия, связанные с группа­ми автоморфизмов многообразий:16Пусть — произвольное многообразие, а — конечнаяподгруппа Aut(). Будем говорить, что (соотв.,), если существует -эквивариантное бирациональное отображениена -многообразие P (соотв., на -многообразие ′ , имеющее структуру-расслоения Мори с базой положительной размерности).Определение 2.1.8.линеаризуемаго типарасслоенно­Для проверки того, что группа имеет расслоенный тип, нам будет полез­на следующая известная лемма.Пусть — трёхмерное -многообразие, а —-многообразие размерности 1 или 2.