Автореферат (1137350)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Федеральное государственное бюджетное учреждение наукиМатематический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наукНа правах рукописиУДК 512.776, 512.765Авилов Артем АлексеевичАвтоморфизмы алгебраических многообразийи минимальные моделиСпециальность:01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселАвторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква — 2016Работа выполнена на факультете математики Национального Исследо­вательского Университета "Высшая Школа Экономики"Научный руководитель:ПРОХОРОВ Юрий Геннадьевич — доктор физико-математических на­ук, профессор, ведущий научный сотрудник отдела алгебраической геомет­рии Федерального государственного бюджетного учреждения науки Матема­тический институт им.

В.А.Стеклова Российской академии наук (специаль­ность 01.01.06).Официальные оппоненты:КУЗЬМИН Леонид Викторович - доктор физико-математических наук,ведущий научный сотрудник Института информационных технологий Феде­рального государственного бюджетного учреждения Национальный исследо­вательский центр «Курчатовский институт» (специальность 01.01.06);ТРЕПАЛИН Андрей Сергеевич - кандидат физико-математическихнаук, и.о. научного сотрудника Федерального государственного бюджет­ного учреждения науки Институт проблем передачи информации им.А.А.Харкевича Российской академии наук (ИППИ РАН), сектор 4.1 "Алгебраи теория чисел"(специальность – 01.01.06).Ведущая организация:Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования «Владимирский государственный университет имениАлександра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».Защита диссертации состоится 20 октября 2016 г.

в 15 часов на заседаниидиссертационного совета Д 002.022.03 при Математическом институте им.В.А. Стеклова Российской академии наук по адресу: 119991, г. Москва, ул.Губкина, д. 8, конференц-зал.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического ин­ститута им. В.А. Стеклова Российской академии наук и на сайте МИАН поадресу: http://www.mi.ras.ru/dis/ref16/avilov/dis.pdfАвтореферат разосланавгуста 2016 г. Отзывы и замечания по ав­тореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать поуказанному адресу на имя учёного секретаря диссертационного совета.Учёный секретарь диссертационного советаД 002.022.03, доктор физико-математических наукМ.

А. КоролёвОбщая характеристика работыАктуальность темыКлассификация алгебраических многообразий – одна из важнейших за­дач алгебраической геометрии. Многие известные математики занимались ейс самых ранних работ по алгебраической геометрии конца XIX века. Суще­ствует два основных направления классификации – бирегулярная и бираци­ональная классификация, в которых многообразия классифицируются с точ­ностью до изоморфизма и бирациональной эквивалентности соответственно.Бирациональная классификация алгебраических кривых устроена доста­точно просто: в любом классе бирациональной эквивалентности есть ровноодна неособая проективная кривая, основным инвариантом которой являетсяеё род.

Следующим шагом является классификация поверхностей. Она былаосуществлена в начале XX века усилиями итальянских геометров (Ф. Севе­ри, К. Сегре, Г. Кастельнуово, Ф. Энриквеса и др.), однако зачастую методы,которыми они пользовались, были нестрогими, а доказательства содержалиошибки. В 60-х годах XX века их работы были критически пересмотрены, аутверждения передоказаны с использованием разработанной на тот моменттехники московской школой алгебраической геометрии1 . Любая неособая ал­гебраическая поверхность с помощью стягивания (−1)-кривых может бытьприведена к минимальной модели (поверхность называется минимальной, ес­ли на ней нет (−1)-кривых), поэтому классифицировать нужно только мини­мальные поверхности. Основным их инвариантом является размерность Ко­даиры, которая для поверхностей может принимать значение −∞, 0, 1 или2.

Поверхности кодаировой размерности −∞ бирационально эквивалентныP1 × , где – алгебраическая кривая; поверхности кодаировой размерно­сти 0 принадлежат одному из следующих классов: К3, абелевы, биэллипти­ческие или поверхности Энриквеса; поверхности кодаировой размерности 1являются эллиптическими; поверхности кодаировой размерности 2 называ­ются поверхностями общего типа. Множество результатов имеется на темудальнейшей классификации поверхностей, не все классы классифицированыполностью.В процессе классификации многообразий над алгебраически незамкну­В.А. Исковских, И.Р.

Шафаревич “Алгебраические поверхности”, Алгебраическая геометрия-2, Итогинауки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 35, ВИНИТИ, М., (1989), 131–26311тыми полями и при классификации конечных групп бирациональных авто­морфизмов естественным образом возникает понятие -многообразия.-многообразием называется многообразие над полем k сдействием группы на ⊗ k.Определение.Впервые понятие -многообразия было введено Ю.И.

Маниным2 приизучении рациональных поверхностей над совершенными полями. Техника-поверхностей была усовершенствована В.А. Исковских, который класси­фицировал рациональные -поверхности34 . Наиболее важными случаями-многообразий являются следующие:1. алгебраический случай: группа является группой Галуа поля k надk и действует на ⊗ k через второй сомножитель;2. геометрический случай: группа является конечной группой, действу­ющей на k-автоморфизмами.Первый случай важен для классификации многообразий над алгебраиче­ски незамкнутыми полями. Далее мы будем рассматривать только геометри­ческий случай.

Одним из важнейших приложений изучения геометрическогослучая -многообразий является изучение группы Кремоны.Группа Кремоны Cr (k) ранга – это группа бирациональ­ных автоморфизмов проективного пространства Pk .Определение.Изучение свойств этих групп также является давней и важной задачейбирациональной геометрии.

В дальнейшем в этом параграфе мы будем пола­гать, что k – алгебраически замкнутое поле характеристики 0.Группа Кремоны ранга 1 устроена очень просто: поскольку бирациональ­ные автоморфизмы кривых совпадают с их бирегулярными автоморфизмами,то Cr1 (k) = PGL2 (k). Если ранг равен 2, то группа Кремоны порождается23Наука, Москва, 1987В.А. Исковских, “Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых”, Матем. Сб., 74(116):4Ю.И. Манин, “Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика”,(1967), 608–6384В.А. Исковских, “Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых и с положительнымквадратом канонического класса”,Матем.

Сб., 83(125):1(9) (1970), 90–1192группой Aut(P2 ) ≃ PGL2 (k) и всего одним дополнительным элементом5 , дей­ствующим по правилу(0 : 1 : 2 ) ↦→ (1 2 : 0 2 : 0 1 ).Соотношения на её порождающие были впервые найдены М. Гизатуллиным6 .Однако, уже начиная с ранга 3 группа Кремоны не обладает хорошим набо­ром порождающих7 , и практически ничего не известно о её структуре. Изу­чение алгебраических и топологических свойств группы Кремоны ранга 2активно продолжается в настоящее время.Другая классическая задача, связанная с группами Кремоны – класси­фикация их конечных подгрупп с точностью до сопряжения (и, в частности,элементов конечного порядка). Известно, что группы Кремоны ранга 2 и 3удовлетворяют свойству Жордана – существует такая константа , что длялюбой конечной подгруппы группы Кремоны в ней есть нормальная абелеваподгруппа индекса не более, чем 89 . Преположительно этот результат веренв любой размерности.

Поэтому можно ожидать, что конечные подгруппы вгруппе Кремоны малого ранга допускают разумную классификацию.Изучение конечных подгрупп в группе Cr2 (C) было начато Бертини10и продолжена многими другими математиками. Классификация конечныхподгрупп в Cr2 (C) была завершена И. Долгачёвым и В. Исковских11 (за ис­ключением некоторых специальных случаев).

Суть метода классификациисостоит в следующем. Пусть – конечная подгруппа в Cr2 (C). Тогда дей­ствие регуляризуется, т.е. существует неособое проективное многообразие , на котором действует бирегулярными автоморфизмами с эквивариант­ным бирациональным отображением 99K P2 . После эквивариантных стя­5M. Noether, “Uber die ein-zweideutigen Ebenentransformationen”,zu Erlangen, 18786Sitzungberichte der physicmedizin, Soc.М.Х. Гизатуллин, “Определяющие соотношения для кремоновой группы плоскости”,Сер. матем., 46:5 (1982), 909–9707H.P. Hudson, “Cremona transformations in plane and space”,8Yu.

Prokhorov, C. Shramov “Jordan property for CremonaИзв. АН СССР,Cambridge Univ. Press, 1927groups”, Compositio Math., 150:12(2014).2054-20729J.-P. Serre, “A Minkowski-style bound for the orders of the finite subgroups of the Cremona group of rank2 over an arbitrary field”,108Mosc. Math. J., 9:1 (2009), 183–198E.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации