Диссертация (1137351)
Текст из файла
Национальный Исследовательский Университет "Высшая ШколаЭкономики"факультет математикиНа правах рукописиУДК 512.776, 512.765Авилов Артем АлексеевичАвтоморфизмы алгебраических многообразий иминимальные модели01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математическихнаук, профессор Ю. Г. ПрохоровМосква — 2016Оглавление. . .
. . . . . . . . . . .История вопроса и постановка задачиОсновные результаты диссертации . .Обозначения . . . . . . . . . . . . . .Глава 1.1.1.1.2.1.3.......................................................... . . . . . . . . . . . . . . .Основные понятия . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .Программа минимальных моделей . . . . . . . . . . . . . . . .Бирациональная жёсткость и особенности линейных систем .Некоторые факты о геометрии расслоений на коники . . . . .Пересечения двух квадрик и символы Сегре . . . . . . . . . .Трёхмерные кубические гиперповерхности с обыкновеннымидвойными точками . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 2.2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.ВведениеПредварительные сведения. 3. 3. 9. 14......151517202124. 27-расслоений на коники . . . . 303.1. Доказательство теоремы 1.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30Глава 3.. . . . . . . . . 40Автоморфизмы пересечения двух квадрик . . . . . . . . . . . . 40-бирациональная жёсткость многообразия типа (2 i) . . . . . 47Глава 4.4.1.4.2.Стандартные моделиТрёхмерные пересечения двух квадрик. . . .5.1. Особенности трёхмерных кубических гиперповерхностей .5.2. Кубика Сегре . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .5.3. Кубические гиперповерхности с девятью особыми точками5.4. Кубические гиперповерхности типа J11 . . . . . . . . . . .5.5. Кубические гиперповерхности типа J9 . . . . . . . . . . .5.6. Пять особых точек . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .Публикации по теме диссертации . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 5.Трёхмерные кубические гиперповерхности2...........................545459656869757879Глава 1Введение1.1.
История вопроса и постановка задачиКлассификация алгебраических многообразий — одна из важнейших задач алгебраической геометрии. Многие известные математики занималисьей с самых ранних работ по алгебраической геометрии конца XIX века. Существует два основных направления классификации — бирегулярная и бирациональная классификация, в которых многообразия классифицируются сточностью до изоморфизма и бирациональной эквивалентности соответственно.Бирациональная классификация алгебраических кривых устроена достаточно просто: в любом классе бирациональной эквивалентности есть ровноодна неособая проективная кривая, основным инвариантом которой являетсяеё род.
Следующим шагом является классификация поверхностей. Она былаосуществлена в начале XX века усилиями итальянских геометров (Ф. Севери, К. Сегре, Г. Кастельнуово, Ф. Энриквеса и др.), однако зачастую методы,которыми они пользовались, были нестрогими, а доказательства содержалиошибки. В 60-х годах XX века их работы были критически пересмотрены, аутверждения передоказаны с использованием разработанной на тот моменттехники Московской Школой алгебраической геометрии (см. [41]). Любаянеособая алгебраическая поверхность с помощью стягивания (−1)-кривыхможет быть приведена к минимальной модели (поверхность называется минимальной, если на ней нет (−1)-кривых), поэтому классифицикация минимальных поверхностей является основной задачей для классификации всехповерхностей.
Основным их инвариантом является размерность Кодаиры, которая для поверхностей может принимать значение −∞, 0, 1 или 2. Поверхности кодаировой размерности −∞ бирационально эквивалентны P1 × ,где — алгебраическая кривая; поверхности кодаировой размерности 0 принадлежат одному из следующих классов: К3, абелевы, биэллиптические илиповерхности Энриквеса; поверхности кодаировой размерности 1 являются эллиптическими; поверхности кодаировой размерности 2 называются поверхностями общего типа.
Множество результатов имеется на тему дальнейшей3классификации поверхностей, не для всех классов существует полная классификация.В процессе классификации многообразий над алгебраически незамкнутыми полями и при классификации конечных групп бирациональных автоморфизмов естественным образом возникает понятие -многообразия.-многообразиемназывается многообразие над полем k с действием группы на ⊗ k.Определение 1.1.1.Впервые понятие -многообразия было введено Ю. Маниным в работе [48] при изучении рациональных поверхностей над совершенными полями. Техника -поверхностей была усовершенствована В.
Исковских, которыйклассифицировал рациональные -поверхности в работах [36] и [37]. Наиболее важными случаями -многообразий являются следующие:1. алгебраический случай: группа является группой Галуа поля k надk и действует на ⊗ k через второй сомножитель;2. геометрический случай: группа является конечной группой, действующей k-автоморфизмами на .Первый случай важен для классификации многообразий над алгебраически незамкнутыми полями.
Далее мы будем рассматривать только геометрический случай. Одним из важнейших приложений изучения геометрическогослучая -многообразий является изучение группы Кремоны.Определение 1.1.2.Группа Кремоны Cr(k) ранга — это группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства Pk .Изучение свойств этих групп также является давней и важной задачейбирациональной геометрии. В дальнейшем в этом параграфе мы будем полагать, что k — алгебраически замкнутое поле характеристики 0.Группа Кремоны ранга 1 устроена очень просто: поскольку бирациональные автоморфизмы неособых кривых совпадают с их бирегулярными автоморфизмами, то Cr1 (k) = PGL2 (k). Если ранг равен 2, то группа Кремоныпорождается группой Aut(P2 ) ≃ PGL3 (k) и всего одним дополнительнымквадратичным преобразованием, действующим по правилу(0 : 1 : 2 ) ↦→ (1 2 : 0 2 : 0 1 )4([56], [68]).
Соотношения на её порождающие были впервые найдены М. Гизатуллиным ([29]). Однако, уже начиная с ранга 3, группа Кремоны не обладает хорошим набором порождающих [32], и практически ничего не известноо её структуре. Изучение алгебраических и топологических свойств группыКремоны ранга 2 и выше над различными полями активно продолжается внастоящее время (см., например, [10], [8], [19]).Другая классическая задача, связанная с группами Кремоны — классификация их конечных подгрупп с точностью до сопряжения (и, в частности,элементов конечного порядка). Известно, что группы Кремоны ранга 2 и 3удовлетворяют свойству Жордана — существует такая константа , что длялюбой конечной подгруппы группы Кремоны в ней есть нормальная абелеваподгруппа индекса не более, чем (см.
[67], [64]). Преположительно этот результат верен в любой размерности (см. [64]). Поэтому можно ожидать, чтоконечные подгруппы в группе Кремоны малого ранга допускают разумнуюклассификацию.Изучение конечных подгрупп в группе Cr2 (C) было начато Бертини [5]и продолжено многими другими математиками: [24], [3], [7]. Классификация конечных подгрупп в Cr2 (C) была завершена И. Долгачёвым и В. Исковских (не считая некоторых специальных случаев) в работе [22]. Сутьметода классификации состоит в следующем. Пусть — конечная подгруппа в Cr2 (C). Тогда действие регуляризуется, т.е. существует неособое проективное многообразие , на котором действуетавтоморфизмами с -эквивариантным бирациональным отображением 99K P2 .
После -эквивариантных стягиваний (−1)-кривых, мы получим-многообразие , которое является либо -расслоением на рациональныекривые над P1 с rk Cl() = 2, либо -минимальной поверхностью дельПеццо с rk Cl() = 1. Классифицировав все возможные минимальныегруппы для расслоений на коники и для поверхностей дель Пеццо (т.е. такие, что rk Cl() = 2 в случае расслоений на коники и rk Cl() = 1в случае поверхности дель Пеццо), Долгачёв и Исковских получили полную классификацию конечных подгрупп в Cr2 (C) (по модулю некоторыхсерий). Но довольно часто полученные подгруппы являются сопряжёнными в Cr2 (C), поэтому их естественно отождествить. Несложно видеть, что-многообразия 1 и 2 дают сопряжённые подгруппы в том и только томслучае, когда есть -эквивариантное бирациональное отображение 1 99K 2 .бирегулярными5Поэтому кроме классификации всех рациональных -расслоений на коникии -поверхностей дель Пеццо необходимо исследовать также и бирациональные отображения между различными такими -многообразиями.
Есть некоторые частные результаты также для групп Кремоны ранга 2 над полями,отличными от C: см., например, [67], [23], [74], [20].Новый взгляд на бирациональную классификацию алгебраических многообразий появился с развитием программы минимальных моделей. Она является естественным обобщением процедуры приведения поверхности к минимальной форме путём стягивания (−1)-кривых на многообразия старшихразмерностей. Она состоит в следующем: любое неособое проективное многообразие с помощью определённых бирациональных преобразований, а именно дивизориальных стягиваний и флипов, можно привести к многообразиюодного из следующих типов: либо полученное многообразие имеет численноэффективный антиканонический класс, либо оно допускает структуру расслоения Мори (см. [45], [46]).Проективное(-)многообразиес(-эквивариантным) морфизмом : → называется , если его особенности не более чем терминальные Q-факториальные(соотв., Q-факториальные, т.е.
любой -инвариантный дивизор Вейляявляется дивизором Q-Картье), * = , dim > dim , относительноечисло Пикара (/ ) равно 1 (соотв., (/ ) = 1, где (/ ) – числоПикара инвариантной относительной группы Пикара) и антиканоническийкласс − является -обильным.Определение1.1.3.( -)расслоениемМориПрограммаминимальныхмоделейполностьюобоснованадля трёхмерных многообразий над полями характеристики нуль(см. [50], [49], [42], [71], [45], [46]), а также для некоторых классов многообразий в старших размерностях, например, для рационально связныхмногообразий (см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
