Диссертация (1137351), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Обозначим через ′ ⊂ P(ℰ) соответствующее вложенное -расслоениена коники. Поскольку ∖ — конечный набор точек, дивизор вырождения-расслоения на коники ( ′ , , ℎ′ ) совпадает с Δ.35Проверим, что морфизм ℎ′ плоский. Над некоторой окрестностью про­извольной точки ∈ расслоение ℎ′ задаётся квадратичной формой (1 , 2 , 3 ) =3∑︁ , =1в P2 × , где — функции из []. Если ранг этой формы в равен нулю, товсе обнуляются в , а значит det лежит в m3 , где m — максимальныйидеал точки .

Но det задаёт дивизор вырождения, а он имеет в точке не более, чем простое нормальное пересечение, значит ранг формы не мо­жет обнулиться. Многообразие ′ является нормальным локально полнымпересечением, поэтому из того, что морфизм ℎ′ равноразмерный следует, чтоон плоский. Как следствие, многообразия и ′ изоморфны над в кораз­мерности 1. Антиканонические дивизоры − и − ′ обильны, поэтому насамом деле ≃ Proj(︁⨁︁)︁(︁⨁︁)︁ (− ) ≃ Proj ′ (− ′ ) ≃ ′ .Таким образом, является вложенным -расслоением на коники, причёмдивизор вырождения приведён и имеет только простые нормальные пересе­чения в качестве особенностей.

Лемма доказана.Применив лемму 3.1.7 к произвольному -расслоению на рациональныекривые (, , ), удовлетворяющему условиям теоремы 3.1.1, мы получаем̂︀ → ̂︀ , причём поверхность ̂︀ неособа, а дивизор-расслоение Мори ̂︀ : ̂︀ является приведённым дивизором с простыми нормальнымивырождения Δпересечениями. По лемме 3.1.10, оно является вложенным (в проективизациюнекоторого локально свободного пучка ранга 3) -расслоением на коники.̂︀ неособо, то теорема доказана (плоскость морфизма следует из [50,Если ̂︀ особо. Будем последовательно разрешать егоTheorem 3.5]). Пусть теперь особенности элементарными преобразованиями Саркисова.Пусть ℎ : → — вложенное расслоение на коники,причём поверхность неособа (но не обязательно проективна), а дивизорвырождения Γ этого расслоения приведён и имеет только простые нормаль­ные пересечения.

Тогда все особые точки обыкновенные двойные. Более̃︁ → — раздутие максимальных идеалов особых точек,того, если : ̃︁ неособо, а антиканонический дивизор −̃︁ относительно численното эффективен и объёмен.Лемма 3.1.11.36Замечание 3.1.12. В этой и следующей лемме мы забываем про действие груп­пы . Однако, как будет видно далее, из-за каноничнисти производимых ло­кальных преобразований действие группы в итоге сохранится.Доказательство.Согласно Саркисову (см. [66, Следствие 1.11]) особые точ­ки лежат в тех слоях расслоения над особыми точками Γ, которые явля­ются геометрически приводимыми кониками.

Пусть — особая точка , а = ℎ(). Покажем, что в некоторой формальной окрестности точки рас­слоение → можно задать квадратичной формой(1 , 2 , 3 ) = 21 + 22 + 23 = 0,(3.1)где и — функции, локально задающие компоненты Γ, проходящие через , а и — некоторые ненулевые элементы поля k.Рассмотрим такую окрестность точки , что над ней тривиально рас­слоение, в проективизацию которого вложено , и пересечение ∩Γ состоитиз двух компонент, проходящих через .

Тогда над ней задаётся квадра­тичной формой (1 , 2 , 3 ) =3∑︁ , =1в P2 × , где — функции из k[ ]. Над точкой эта квадратичная формазадаёт геометрически приводимую конику, поэтому линейной заменой коор­динат (с коэффициентами из k) можно добиться того, что11 () = ̸= 0, 22 = ̸= 0,а все остальные равны нулю в точке . Приведя после этого квадратичнуюформу к каноническому виду методом Лагранжа и уменьшив окрестность ,если необходимо, получим, что задаётся в P2 × квадратичной формой′ (1 , 2 , 3 ) = 21 + 22 + 23 ,где , , лежат в k[ ], причём () = , () = . Но мы знаем, что det ′задаёт дивизор Γ в , значит = ′ , где ′ () = 1. Осталось заметить, чтов формальной окрестности из любого ряда со свободным членом, равным 1,можно извлечь квадратный корень. Теперь первое утверждение леммы легкоследует из явной формулы (3.1), локально задающей .37Последнее утверждение локально по базе.

Рассмотрим его над окрестно­стью точки , не содержащей других точек, в слоях над которыми имеются̃︁ / ) есть два экстремальных лучаособенности. Тогда на конусе Мори NS(1 и 2 . Луч 1 порождён кривой на исключительном дивизоре морфизма−1 и пересекается с ̃︁ отрицательно, а 2 — собственным прообразом * ()слоя морфизма → над точкой . Второй луч ̃︁ -тривиален:−1*−1*−1 () · ̃︁ = * () · ( ( ) + ) = · + * () · = −2 + 2 = 0.Предпоследнее равенство следует из того, что кривая геометрически приво­дима, и над алгебраическим замыканием каждая её компонента пересекаетсяс исключительным дивизором трансверсально в одной точке.

Таким образом,численная эффективность дивизора −̃︁ доказана. Его объёмность следуетиз того, что −̃︁ обилен на общем слое. Лемма доказана.Пусть ℎ : → — вложенное расслоение на коники,причём поверхность неособа (но не обязательно проективна), дивизорвырождения Γ этого расслоения приведён и состоит из двух гладких непри­водимых компонент, пересекающихся трансверсально в одной точке , а особо в точке . Тогда существует и единственна следующая коммута­тивная диаграмма, задающая элементарное преобразование Саркисова:Лемма 3.1.13.õ︁ℎ/̂︁̂︀ℎô︀̃︁ → — раздутие точки , морфизм ̂︀ → — разду­где морфизм ̃︁ 99K ̂︁ — изоморфизм в коразмерности 1, атие точки , отображение ̂︁ → ̂︀ — стандартное расслоение на коники.Доказательство.

Пусть — эффективный очень обильный дивизор на ,проходящий через . Обозначим через сумму ℎ* () − , где ≫ 0,при достаточно большом этот дивизор будет обилен, поскольку − отно­сительно обилен, а очень обилен на базе. Существует такое число , что очень обилен. Обозначим через ℋ полную линейную систему дивизоров, экви­валентных и проходящих через , а через — канонический порог пары̃︁ → (, ℋ). Особенности пары (, ℋ) разрешаются одним раздутием : из-за выбора линейной системы согласно лемме 3.1.11.38̃︁ / ). Так же, как и в лем­Рассмотрим относительный конус Мори NS(ме 3.1.11, он порождён двумя лучами, 1 порождён кривой на исключитель­ном дивизоре раздутия и пересекается с * ( +ℋ) по нулю, а 2 порождёнсобственным прообразом слоя ℎ−1 () и * ( + ℋ)-отрицателен. Примение̃︁ , ℋ̃︀ = −1программы минимальных моделей в категории Q к паре (* ℋ)̃︁ 99K ̂︁ , через ℋ̂︀на первом шаге даёт лог-флип между многообразиями ̃︀ на ̂︁ .

По лемме 3.1.11 этот лог-флипобозначим образ линейной системы ℋявляется флопом, а значит сохраняет гладкость (см. [44, Theorem 2.4]).На втором шаге программы минимальных моделей получаем̂︁̂︀̂︀̂︁ -отрицательное стягивание Мори → (дивизоры ̂︁ и ̂︁ + ℋ неявляются численно эффективными, поскольку отрицательно пересекаются собщим слоем расслоения). Это стягивание не может быть дивизориальным,̂︁ → крепантен.поскольку единственный дивизор в слоях морфизма Кроме того, это стягивание не может быть малым, поскольку после лог-фли­̂︀па все ̂︁ + ℋ-отрицательные кривые являются ̂︁ -отрицательными, а нагладком трёхмерном многообразии нет малых экстремальных стягиваний(см. [45, §2.1]).

Следовательно, мы получаем неособое расслоение Мори сдвумерной базой, которая также неособа, см. [50, Theorem 3.5]. Морфизммежду гладкими поверхностями ̂︀ → имеет один исключительный диви­зор, который отображается в точку . Таким образом, нужная диаграммапостроена. Её единственность следует из того, что расслоения Мори надобщей базой, изоморфные в коразмерности один, на самом деле изоморфны,⨁︀поскольку они оба изоморфны Proj( (−̂︁ )). Лемма доказана.̂︀ , мы по­Применив лемму 3.1.13 в окрестности каждой особой точки ̂︀ ′ → ̂︀ , которое, ввиду канонич­лучаем стандартное расслоение на коники ности построения разрешения в лемме 3.1.13, наследует действие группы,значит, оно является искомым стандартным -расслоением, эквивалентнымисходному.

Теорема 3.1.1 доказана.39Глава 4Трёхмерные пересечения двух квадрик4.1. Автоморфизмы пересечения двух квадрикС этого момента основное поле предполагается алгебраически замкну­тым характеристики нуль.В этой главе — трёхмерное -многообразие дель Пеццо, являющее­ся пересечением двух квадрик. Мы знаем (см. предложение 2.5.2), что оноявляется пересечением двух квадрик, одна из которых неособа, поэтому емуможно сопоставить его символ Сегре (см.

определение 2.5.5).Любая скобка в символе Сегре многообразия содер­жит не более двух характеристических чисел, а любая скобка из двух чиселимеет вид (, 1).Доказательство. Действительно, если в какой-то скобке содержится болееПредложение 4.1.1.двух чисел, то квадрика, соответствующая корню дискриминанта с этим на­бором характеристических чисел, является конусом над коникой с двумернойвершиной. Эта вершина пересекается с другой квадрикой из пучка по кривойособых точек, что противоречит терминальности .Любой скобке вида (, ) соответствует конус над неособой квадратичнойповерхностью с одномерной вершиной. Простая проверка (см.

следствие 2.5.9)показывает, что если > 1, то эта вершина целиком лежит на , что даётпрямую особых точек. Это противоречит терминальности многообразия .Замечание 4.1.2. Если же все скобки в символе Сегре многообразия имеютвид () или (, 1), то несложно проверить, что особыми точками на будутвершины конусов, соответствующих скобкам вида (), > 1, и точки пере­сечения одномерных вершин конусов, соответствующих скобкам длины 2, сдругой квадрикой из пучка (для скобок вида (1, 1) пересечение состоит издвух точек, для скобок вида (, 1), > 1 — из одной). В частности, пересече­ние двух квадрик неособо тогда и только тогда, когда его символ Сегре равен[1, 1, 1, 1, 1, 1].40Замечание 4.1.3.

Кроме того, существует ровно одно многообразие с симво­лом Сегре [(1, 1), (1, 1), (1, 1)]. Несложно проверить (например, написав явныеуравнения, см. следствие 2.5.9), что оно совпадает с многообразием из пункта1 теоремы 1.2.2.Пусть — трёхмерное многообразие дель Пеццо степе­ни 4. Тогда группа Aut() вкладывается в точную последовательностьТеорема 4.1.4.0 → Aut()′ → Aut() → Aut()′′ → 0,где группа Aut()′ действует на P5, сохраняя каждую квадрику из пучка, аAut()′′ — группа автоморфизмов P1 , переводящая каждый корень дискри­минанта в корень дискриминанта с тем же набором характеристическихчисел.Доказательство. Это простое следствие из теоремы 2.5.8.Далее мы рассмотрим многообразие дель Пеццо степени 4 с действи­ем — такой конечной подгруппы Aut(), что многообразие является-минимальным.Пусть — -многообразие дель Пеццо, причём группа минимальна. Предположим, что не является линеаризуемой или рас­слоенного типа, а кроме того не является -бирационально эквива­лентным квадрике в P4.

Характеристики

Список файлов диссертации