Диссертация (1137351), страница 2
Текст из файла (страница 2)
[6, Corollary 1.3.3]). В данной ситуации имеется такжеэквивариантная (например, относительно конечной группы или группыГалуа) и относительная (над произвольным многообразием) программаминимальных моделей. В настоящий момент в обосновании программыминимальных моделей остаются открытые вопросы в случае многообразийразмерности выше 4 и промежуточной кодаировой размерности, а такжедля многообразий над полями положительной характеристики. Ввиду того,6что любое многообразие (и -многообразие) можно компактифицироватьи разрешить особенности, программа минимальных моделей даёт первыйшаг к полной бирациональной классификации многообразий. Таким образом, классификация -расслоений Мори является важной задачей длябирациональной классификации многообразий. Среди них выделяется классмногообразий Фано.Нормальное проективное -многообразие называется Q, если его отображение в точку является-расслоением Мори.
Если при этом канонический дивизор является дивизором Картье, то называется .Определение 1.1.4.-многообразием Фано-многообразием ФаноКлассификация (особых) многообразий Фано тривиальна в случае кривых: только P1 является одномерным многообразием Фано. В случае поверхностей классификация устроена несколько сложнее, но тоже обозримо. Неособые многообразия Фано размерности 2 называются поверхностями дель Пеццо и полностью классифицированы: все они являются либо раздутиями P2в не более чем восьми точках в общем положении, либо P1 × P1 (см., например, [47]). Поскольку в двумерном случае программа минимальных моделейне выводит из класса неособых многообразий, то с её точки зрения этой классификации достаточно.В трёхмерном случае уже классификация неособых многообразийФано является крайне нетривиальной, даже для случая Pic() = Z(см.
[38], [39], [27], [28], [53], [54], [35]). Однако, этого недостаточно для нуждпрограммы минимальных моделей, поскольку в трёхмерном случае минимальным классом многообразий, в котором работает программа, являютсямногообразия с не более чем терминальными особенностями. Классификация особых многообразий Фано проводится отдельно для горенштейновыхи негоренштейновых многообразий различными методами. В случае горенштейновых многообразий с терминальными особенностями известно, например, что они обладают сглаживанием (см.
[55]), в частности, они имеют те жекогомологические инварианты, что и неособые многообразия. В случае негоренштейновых многообразий наиболее важным результатом является ограниченность трёхмерных многообразий Q-Фано с каноническими особенностями [43]. Имеются отдельные результаты в зависимости от индекса Фано многообразия. Имеются частичные результаты по классификации горенштейновых7-многообразий Фано (см. [58], [59], [60]).Так же, как и в двумерном случае, изучение Q-расслоений Мори помогает в задаче классификации конечных подгрупп в Cr (k). Эта программа была реализована в некоторых частных случаях для группы Кремоны ранга 3над полем C: например, классифицированы простые неабелевы подгруппы([63], см.
также [12], [13], [14]), -элементарные подгруппы (см. [62], [57]).Таким образом, классификация рациональных -расслоений Мори является важной задачей с разных точек зрения.Большая часть диссертации посвящена классификации конечных группавтоморфизмов трёхмерных многообразий дель Пеццо (см. [26]), изучениюих минимальности и бирациональной жёсткости.многообразиТрёхмерное многообразие называется, если оно имеет не более чем терминальные горенштейновы особенности, а его антиканонический класс − является обильным дивизоромКартье и делится на 2 в группе Пикара.
Если — такая конечная подгруппаAut(), что () = 1, то будем говорить, что является ,а группу в этом случае будем называть.Определение 1.1.5.ем дель Пеццоминимальной-минимальнымЧастично трёхмерные Q-многообразия дель Пеццо были классифицированы Ю. Прохоровым в работе [58] в терминах структуры группы классовдивизоров и действия группы на ней.Поскольку нас в основном интересуют приложения к изучениюгруппы Кремоны, мы изучаем следующий вопрос: классифицироватьQ-многообразия дель Пеццо, не допускающие бирациональной перестройкив более простые Q-многообразия Фано (например, в P3 или квадрику в P4 ),поскольку соответствующие подгруппы в группе Кремоны уже описаны, атакже в -расслоения Мори с базой положительной размерности, посколькуих группы автоморфизмов лучше изучать с других точек зрения.
Группы,допускающие перестройку в P3 мы будем называть, а группы, допускающие перестройку в расслоение Мори на коники или поверхностидель Пеццо —.Основным инвариантом многообразия дель Пеццо является его = (− 21 )3 , которая может принимать значения от 1 до 8. В случае > 5 любое -многообразие является неособым (см. [58]), а такие многообразия и их группы автоморфизмов хорошо изучены.линеаризуемымирасслоенного типастепень81.2. Основные результаты диссертацииДиссертация состоит из пяти глав.Первая глава — введение.
В ней формулируется основная задача, изучаемая в этой работе, обсуждается история вопроса, даётся общий обзор ходадоказательства, обозначаются дальнейшие направления применения полученных результатов, вводятся используемые обозначения.Во второй главе даются предварительные сведения, касающиеся понятий, возникающих в работе, и техники работы с ними.В параграфе 2.1 вводятся базовые понятия теории -многообразий. Также даются определения многообразий Фано и дель Пеццо, расслоений Мори,в частности, расслоений Мори на коники. В параграфе 2.2 формулируютсяосновные утверждения программы минимальных моделей. В параграфе 2.3формулируется понятие бирациональной жёсткости, описывается её связь снеканоническими центрами линейных систем и формулируются необходимыетеоремы для работы с ними. В параграфе 2.4 приводятся некоторые необходимые факты о структуре и геометрии расслоений на коники.
В параграфе 2.5вводится понятие символа Сегре пересечения двух квадрик и формулируются необходимые утверждения для работы с ним. В параграфе 2.6 приводятсянеобходимые сведения из геометрии трёхмерных кубических гиперповерхностей, имеющих только обыкновенные двойные точки с качестве особенностей.Третья глава диссертации посвящена изучению -расслоений на рациональные кривые. А именно, мы доказываем следующую теорему, котораяявляется обобщением теоремы Саркисова (см. [66, Теорема 1.13]) на случайтрёхмерных расслоений над произвольным полем характеристики 0 с действием конечной группы.Пусть k — произвольное поле характеристики нуль.
Пусть — геометрически неприводимое трёхмерное алгебраическое многообразиенад k, и пусть : 99K — доминантное рациональное отображение собщим слоем, являющимся рациональной кривой над полем k( ). Предположим, что конечная группа действует на и бирациональными автоморфизмами так, что отображение является эквивариантным. Тогда у существует стандартная модель, то есть существует коммутативнаяТеорема 1.2.1.9диаграмма/′/′′где ′ и ′ — неособые проективные многообразия с действием группы ,отображения 99K ′ и 99K ′ бирациональны, ′ — расслоение Морина рациональные кривые, а все отображения -эквивариантны.Таким образом, для бирациональной классификации всех -расслоенийМори на коники (и, в частности, конечных подгрупп в группе Кремоны, которые соответствуют рациональным -расслоениям на коники) достаточноклассифицировать только неособые расслоения.Схема доказательства состоит в следующем: с помощью эквивариантнойкомпактификации, разрешения особенностей и программы минимальных моделей, задачу легко свести к случаю -расслоения Мори.
Согласно теоремеШ. Мори и Ю. Прохорова 2.2.8, особенности базы являются дювалевскимиособенностями типа А. Далее мы строим линк Саркисова, применение которого частично разрешает особенности базы. Применив его несколько раз,мы сводим задачу к -расслоению Мори над неособой базой. Анализ локального уравнения этого расслоения показывает, что оно имеет только обыкновенные двойные точки в качестве особенностей.
Каждую из этих особенностей мы локально разрешаем некоторым каноническим образом с помощьюдругого линка Саркисова. Применив полученную конструкцию ко всем особенностям, ввиду каноничности мы получим эквивариантную перестройку вискомое гладкое -расслоение Мори.В четвёртой главе мы изучаем трёхмерные -многообразия дель Пеццостепени 4. Основное поле предполагается алгебраически замкнутым полемхарактеристики нуль.Пусть — трёхмерное -многообразие дель Пеццо степени 4. Предположим, что не является -бирационально эквивалентнымP3 и квадрике в P4 с регулярным действием группы , а также не является группой расслоенного типа.
Тогда изоморфно одному из следующихмногообразий:1. пересечение двух квадрик в P5 с шестью обыкновенными двойнымиТеорема 1.2.2.10точками. Такое многообразие единственно (см. [58]), а его полная группа автоморфизмов изоморфна (C* o C2)3 o S3;2. неособое пересечение двух квадрик. В этом случае возможны следующие варианты:(i) Aut() ≃ C52 o C5 ;(ii)Aut() ≃ C52 o D12 ;(iii)Aut() ≃ C52 o D6 ;(iv) группа Aut() вкладывается в точную последовательность0 → C52 → Aut() → S4 → 0.В случаях (2 i), (2 ii) и (2 iv) многообразие единственно с точностью до изоморфизма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
