Диссертация (1137351), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Тогда существует -расслоение Мори на рациональные кривые( ′ , ′ , ′ ), эквивалентное исходному, где ′ и ′ проективны. При этомособенности ′ не более, чем терминальные, а особенности ′ — дювалев­ские.Доказательство. Перейдя к открытым подмножествам, можно считать, чтоЛемма 3.1.2. действует на и регулярными автоморфизмами, а и нормальны.Таким образом, можно применить лемму 2.1.9. Обозначим полученное рас­слоение Мори через ( ′ , ′ , ′ ). По соображениям размерности, ( ′ , ′ , ′ )является расслоением Мори на рациональные кривые. Особенности ′ не бо­лее, чем терминальные, а ′ — поверхность с не более, чем дювалевскимиособенностями по теореме 2.2.8 и замечанию 2.2.9.

Лемма доказана.Таким образом, можно считать, что отображение : 99K из тео­ремы 3.1.1 является -расслоением Мори на рациональные кривые. Следую­щая лемма показывает, как свести теорему 3.1.1 к случаю -расслоения нарациональные кривые над гладкой базой, причем его дивизор вырожденияявляется приведённым дивизором с простыми нормальными пересечениями.30Пусть ( ′, ′, ′) — -расслоение Мори над двумерной базой.̃︀ ̃︀ , ̃︀), гдеТогда оно эквивалентно -расслоению на рациональные кривые (,̃︀ — проективное многообразие, а̃︀ — гладкая проективная поверхность, все точки, над которыми слои ̃︀ не являются гладкими, лежат в некото­ром дивизоре с простыми нормальными пересечениями.Доказательство.

Выкинув из ′ конечное число точек, а именно особые точ­Лемма 3.1.3.ки ′ и образы особых точек ′ (особенности ′ терминальны, а значитизолированы), мы получаем открытое множество ⊂ ′ , над которым на­ше расслоение является регулярным расслоением на коники, поэтому можноопределить дивизор вырождения в . Обозначим через Δ′ его замыканиев ′ , этот дивизор приведён согласно замечанию 2.4.13. Рассмотрим эквива­риантный морфизм ̃︀ : ̃︀ → ′ — эквивариантное разрешение особенностей̃︀ = Δ′ + Exc(̃︀пары ( ′ , Δ′ ). Тогда дивизор Δ) — приведённый дивизор с̃︀ эквивариантноепростыми нормальными пересечениями. Обозначим через разрешение особенностей доминантной компоненты ′ × ′ ̃︀ (предваритель­̃︀ в ̃︀ обо­но нормальзовав её, если нужно), соответствующее отображение значим ̃︀.

Очевидно, что все вырожденные слои могут лежать только над̃︀ . Лемма доказана.точками кривой ΔОпределение 3.1.4.-точкой -многообразия будем называть -орбитунекоторой замкнутой точки.В следующей лемме мы покажем, как, имея -расслоение Мори на ра­циональные кривые, построить эквивалентное ему -расслоение Мори, базакоторого является частичным крепантным разрешением особенностей базыисходного -расслоения. Применив несколько раз построенный линк, мы пол­ностью разрешим особенности базы расслоения.Пусть (, , ) — -расслоение Мори с двумерной базой.Пусть — особая -точка поверхности . Тогда существует эквива­лентное ему -расслоение на рациональные кривые ( ′, ′, ′), являющее­ся -расслоением Мори, причём отображение ′ → является крепант­ным частичным разрешением особенности в -точке , а отображение 99K ′ является элементарным преобразованием Саркисова (см.

[46,§13]).Лемма 3.1.5.31Доказательство.Рассмотрим такую линейную систему гиперплоских сече­ний ℋ для некоторого подходящего вложения в проективное пространство,что Bs(ℋ) совпадает с , а ℋ инвариантна относительно действия группы .Для этого рассмотрим на очень обильный дивизор , инвариантный от­носительно действия группы. Тогда в качестве ℋ можно рассмотреть подси­стему дивизоров, проходящих через -точку в полной линейной системе|| для достаточно большого .

Пусть = *−1 (ℋ) — прообраз ℋ, а —канонический порог пары (, ). По теореме 2.2.7 у пары (, ) суще­̃︁ , ̃︀ ). Обозначимствует частичное крепантное разрешение особенностей (̃︁ → через .морфизм Рассмотрим теперь относительную над эквивариантную программу̃︁ , ̃︀ ). Все кривые на исключительномминимальных моделей для пары (дивизоре отображения численно пропорциональны и пересекаются с̃︀̃︀̃︁ + по нулю по формуле проекции.

Пусть — достаточно общий слой̃︁ → , а — слой отображения → над той жеотображения ℎ : точкой, тогда по формуле проекции̃︀ · (̃︁ + ̃︀ ) = ̃︀ · * ( + ) = · ( + ) = · < 0,где последнее равенство следует из выбора линейной системы. Значит, на ко­̃︁ / ) есть ровно один отрицательный экстремальный луч,нусе Мори NS(причём его стягивание даёт либо расслоение на рациональные кривые, ли­бо малое стягивание (на самом деле первый случай невозможен, но это намневажно).Во втором случае после последовательности эквивариантных лог-фли­пов (она не может быть бесконечной, см.

[45, §6.3] или [46, §9.2]) мы прихо­̃︁ ′ с -эквивариантным морфизмом ℎ′ : ̃︁ ′ → .дим к -многообразию ̃︁ ′ / ) порождён двумяОтносительный -инвариантный конус Мори NS(лучами, ровно один из которых отрицателен, причём его стягивание являет­ся либо дивизориальным стягиванием, либо -расслоением Мори. Предполо­жим, что имеет место первый случай, тогда после стягивания мы получаем̂︁ с морфизмом ̂︀ : ̂︁ → , причём этот морфизм явля­-многообразие ̂︁ являютсяется -расслоением Мори над поверхностью.

Но тогда и -расслоениями Мори над общей базой , причём они изоморфны в кораз­мерности 1, поэтому на самом деле они изоморфны: ≃ Proj(︁⨁︁)︁(︁⨁︁)︁̂︁ (− ) ≃ Proĵ︁ (−̂︁ ) ≃ .32Заметим, что исключительным дивизором стягивания может быть толькообраз дивизора , поскольку по построению это единственный дивизор в̃︁ ′ → . Но тогда с одной стороны дивизор крепантен для парыслоях ℎ′ : (, ), а с другой стороны он не является крепантным, поскольку являетсяисключительным дивизором стягивания отрицательного луча. Противоречие.Значит, возможность дивизориального стягивания исключена, поэтому̂︁ = ̃︁ ′ → ̂︀ с мор­в любом случае мы получили -расслоение Мори ̂︀ : физмом : ̂︀ → . По соображениям размерности оно является расслоениемна рациональные кривые.

Таким образом, имеем следующую коммутативную-эквивариантную диаграмму, задающую элементарное преобразование Сар­кисова:(, ) õ︁ , ̃︀ )(/̂︁ , ̂︀ )(ô︀̂︀Более того, ̂︀ имеет только дювалевские особенности по теореме 2.2.8,а исключительное множество морфизма ̂︀ → состоит из одного̃︁ → -инвариантного дивизора (исключительный дивизор морфизма : не может целиком лежать в слое морфизма ̂︀). Согласно [52, Theorem 1.4],морфизм ̂︀ → может быть либо композицией взвешенных раздутий глад­ких точек, либо крепантным частичным разрешением особенностей . Пер­вый случай невозможен, поскольку исключительный дивизор лежит над осо­бой -точкой , а значит поверхность ̂︀ является крепантным частичнымразрешением особенностей поверхности .

Лемма доказана.Пусть (, , ) — -расслоение Мори с двумерной базой.Тогда существует эквивалентное ему -расслоение на рациональные кри­вые ( ′, ′, ′), являющееся -расслоением Мори, причём поверхность ′является минимальным разрешением особенностей поверхности .Доказательство. Применив лемму 3.1.5 несколько раз, мы придём кСледствие 3.1.6.-расслоению Мори над неособой двумерной базой, поскольку количествокрепантных дивизоров на конечно (все крепантные исключительные ди­визоры реализуются на минимальном разрешении особенностей поверхно­сти ).

Следствие доказано.Пусть расслоение : 99K удовлетворяет условиямтеоремы 3.1.1. Тогда существует эквивалентное ему -расслоение МориЛемма 3.1.7.33такое, что ̂︀ — неособая проективная поверхность, а криваявырождения является приведённым дивизором с простыми нормальнымипересечениями.Доказательство. Использовав лемму 3.1.2, мы получаем -расслоение Мо­̂︀ → ̂︀̂︀ : ри ′ : ′ → ′ , эквивалентное исходному. Затем применим лемму 3.1.3 к-расслоению ′ : ′ → ′ , имеем -расслоение на рациональные кривые̃︀ → ̃︀ такое, что ̃︀ — гладкая поверхность, а все точки, над которы­̃︀ : ми слои морфизма ̃︀ не являются гладкими, лежат в дивизоре с простыминормальными пересечениями.

Применим относительную -эквивариантную̃︀ → ̃︀ . Рассуждая так же, как в лем­программу минимальных моделей к ме 3.1.2, получаем, что результатом программы минимальных моделей будет-расслоение на рациональные кривые : → , с морфизмом : → ̃︀ .Особенности будут терминальными, а особенности — дювалевскими.Применим следствие 3.1.6 к -расслоению : → . Мы получаем̂︀ → ̂︀ с морфизмом -расслоение Мори ̂︀ : ̂︀ : ̂︀ → . Возникает следую­щая коммутативная -эквивариантная диаграмма:/o′ o′′o/̃︀̃︀̃︀̃︀ o/̂︀ô︀̂︀̂︀̂︀ = ( ∘ )̃︀ + Exc( ∘ )̃︀ — дивизор,Рассмотрим дивизор Δ̂︀ * Δ̂︀ , где Δ̂︀ — дивизор с простыми нормальнымипостроенный в лемме 3.1.3.

Тогда Δ̃︀ , а ∘ пересечениями, поскольку таким был дивизор Δ̂︀ — морфизм междугладкими проективными поверхностями. Дивизор вырождения -расслоения̂︀ ̂︀ , ̂︀) является приведённым дивизором, все компоненты которого содер­(,̂︀ . Обозначим этот дивизор вырождения Δ̂︀ ′ . Таким образом, Δ̂︀ ′ —жатся в Δприведённый дивизор с простыми нормальными пересечениями. Лемма дока­зана.Таким образом, любое -расслоение на рациональные кривые эквива­лентно -расслоению Мори на рациональные кривые с гладкой базой и ди­визором вырождения, являющимся приведённым дивизором с простыми нор­мальными пересечениями. В следующих двух леммах мы покажем, что оноявляется вложенным -расслоением на коники. Для этого нам потребуетсяпонятие -пучка.34пучкомназывается квазикогерентный пучок на*-многообразии с набором изоморфизмов пучков : → , удовле­* творяющих соотношениям 1 = Id и 1 2 = 2 (1 ) ∘ 2 .Определение 3.1.8.Пусть : → — регулярное -расслоение на коники,где — открытое подмножество неособой поверхности , причём допол­нение ∖ состоит из конечного числа точек.

Тогда существует эквива­лентное ему вложенное -расслоение на коники ′ : ′ → , изоморфноеисходному над .Доказательство. Обозначим за : → естественное вложение. Тогда поЛемма 3.1.9.предложению 2.4.4 антиканонический дивизор − задаёт вложение вP(ℰ1 ), где ℰ1 = * (− ).Заметим, что дуализирующий пучок имеет естественную структуру-пучка на , она индуцирует структуру -пучка на антиканоническомпучке, следовательно на локально свободном пучке ℰ имеется естественнаяструктура -пучка. Рассмотрим пучок ℰ = (* ℰ1 )∨∨ . Он является локальносвободным пучком ранга 3 (он рефлексивен, а на неособой поверхности любойрефлексивный пучок является локально свободным, см. [30, Corollary 1.4])на , причём на нём также имеется естественная структура -пучка.

Болеетого, это единственный локально свободный пучок, продолжающий ℰ1 на всю . Обозначим через ′ замыкание в P(ℰ). Это вложенное расслоение наконики, на котором определено действие группы . Лемма доказана.Пусть ℎ : → — трёхмерное -расслоение Мори наддвумерной базой, причём неособо, а дивизор вырождения Δ являетсяприведённым дивизором с простыми нормальными пересечениями.

Тогдасуществует такой локально свободный -пучок ℰ ранга 3 на и такое-эквивариантное вложение → P(ℰ) над , что является вложен­ным -расслоением на коники.Доказательство. Если неособо, то утверждение доказано по утвержде­Лемма 3.1.10.нию 2.4.4. Если же оно особо, то его особенности терминальны. Посколькутрёхмерные терминальные особенности изолированы, можно применить лем­му 3.1.9 для , являющегося дополнением до образа множества особых точек .

Характеристики

Список файлов диссертации