Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137351), страница 6

Файл №1137351 Диссертация (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели) 6 страницаДиссертация (1137351) страница 62019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Тогда существует -расслоение Мори на рациональные кривые( ′ , ′ , ′ ), эквивалентное исходному, где ′ и ′ проективны. При этомособенности ′ не более, чем терминальные, а особенности ′ — дювалев­ские.Доказательство. Перейдя к открытым подмножествам, можно считать, чтоЛемма 3.1.2. действует на и регулярными автоморфизмами, а и нормальны.Таким образом, можно применить лемму 2.1.9. Обозначим полученное рас­слоение Мори через ( ′ , ′ , ′ ). По соображениям размерности, ( ′ , ′ , ′ )является расслоением Мори на рациональные кривые. Особенности ′ не бо­лее, чем терминальные, а ′ — поверхность с не более, чем дювалевскимиособенностями по теореме 2.2.8 и замечанию 2.2.9.

Лемма доказана.Таким образом, можно считать, что отображение : 99K из тео­ремы 3.1.1 является -расслоением Мори на рациональные кривые. Следую­щая лемма показывает, как свести теорему 3.1.1 к случаю -расслоения нарациональные кривые над гладкой базой, причем его дивизор вырожденияявляется приведённым дивизором с простыми нормальными пересечениями.30Пусть ( ′, ′, ′) — -расслоение Мори над двумерной базой.̃︀ ̃︀ , ̃︀), гдеТогда оно эквивалентно -расслоению на рациональные кривые (,̃︀ — проективное многообразие, а̃︀ — гладкая проективная поверхность, все точки, над которыми слои ̃︀ не являются гладкими, лежат в некото­ром дивизоре с простыми нормальными пересечениями.Доказательство.

Выкинув из ′ конечное число точек, а именно особые точ­Лемма 3.1.3.ки ′ и образы особых точек ′ (особенности ′ терминальны, а значитизолированы), мы получаем открытое множество ⊂ ′ , над которым на­ше расслоение является регулярным расслоением на коники, поэтому можноопределить дивизор вырождения в . Обозначим через Δ′ его замыканиев ′ , этот дивизор приведён согласно замечанию 2.4.13. Рассмотрим эквива­риантный морфизм ̃︀ : ̃︀ → ′ — эквивариантное разрешение особенностей̃︀ = Δ′ + Exc(̃︀пары ( ′ , Δ′ ). Тогда дивизор Δ) — приведённый дивизор с̃︀ эквивариантноепростыми нормальными пересечениями. Обозначим через разрешение особенностей доминантной компоненты ′ × ′ ̃︀ (предваритель­̃︀ в ̃︀ обо­но нормальзовав её, если нужно), соответствующее отображение значим ̃︀.

Очевидно, что все вырожденные слои могут лежать только над̃︀ . Лемма доказана.точками кривой ΔОпределение 3.1.4.-точкой -многообразия будем называть -орбитунекоторой замкнутой точки.В следующей лемме мы покажем, как, имея -расслоение Мори на ра­циональные кривые, построить эквивалентное ему -расслоение Мори, базакоторого является частичным крепантным разрешением особенностей базыисходного -расслоения. Применив несколько раз построенный линк, мы пол­ностью разрешим особенности базы расслоения.Пусть (, , ) — -расслоение Мори с двумерной базой.Пусть — особая -точка поверхности . Тогда существует эквива­лентное ему -расслоение на рациональные кривые ( ′, ′, ′), являющее­ся -расслоением Мори, причём отображение ′ → является крепант­ным частичным разрешением особенности в -точке , а отображение 99K ′ является элементарным преобразованием Саркисова (см.

[46,§13]).Лемма 3.1.5.31Доказательство.Рассмотрим такую линейную систему гиперплоских сече­ний ℋ для некоторого подходящего вложения в проективное пространство,что Bs(ℋ) совпадает с , а ℋ инвариантна относительно действия группы .Для этого рассмотрим на очень обильный дивизор , инвариантный от­носительно действия группы. Тогда в качестве ℋ можно рассмотреть подси­стему дивизоров, проходящих через -точку в полной линейной системе|| для достаточно большого .

Пусть = *−1 (ℋ) — прообраз ℋ, а —канонический порог пары (, ). По теореме 2.2.7 у пары (, ) суще­̃︁ , ̃︀ ). Обозначимствует частичное крепантное разрешение особенностей (̃︁ → через .морфизм Рассмотрим теперь относительную над эквивариантную программу̃︁ , ̃︀ ). Все кривые на исключительномминимальных моделей для пары (дивизоре отображения численно пропорциональны и пересекаются с̃︀̃︀̃︁ + по нулю по формуле проекции.

Пусть — достаточно общий слой̃︁ → , а — слой отображения → над той жеотображения ℎ : точкой, тогда по формуле проекции̃︀ · (̃︁ + ̃︀ ) = ̃︀ · * ( + ) = · ( + ) = · < 0,где последнее равенство следует из выбора линейной системы. Значит, на ко­̃︁ / ) есть ровно один отрицательный экстремальный луч,нусе Мори NS(причём его стягивание даёт либо расслоение на рациональные кривые, ли­бо малое стягивание (на самом деле первый случай невозможен, но это намневажно).Во втором случае после последовательности эквивариантных лог-фли­пов (она не может быть бесконечной, см.

[45, §6.3] или [46, §9.2]) мы прихо­̃︁ ′ с -эквивариантным морфизмом ℎ′ : ̃︁ ′ → .дим к -многообразию ̃︁ ′ / ) порождён двумяОтносительный -инвариантный конус Мори NS(лучами, ровно один из которых отрицателен, причём его стягивание являет­ся либо дивизориальным стягиванием, либо -расслоением Мори. Предполо­жим, что имеет место первый случай, тогда после стягивания мы получаем̂︁ с морфизмом ̂︀ : ̂︁ → , причём этот морфизм явля­-многообразие ̂︁ являютсяется -расслоением Мори над поверхностью.

Но тогда и -расслоениями Мори над общей базой , причём они изоморфны в кораз­мерности 1, поэтому на самом деле они изоморфны: ≃ Proj(︁⨁︁)︁(︁⨁︁)︁̂︁ (− ) ≃ Proĵ︁ (−̂︁ ) ≃ .32Заметим, что исключительным дивизором стягивания может быть толькообраз дивизора , поскольку по построению это единственный дивизор в̃︁ ′ → . Но тогда с одной стороны дивизор крепантен для парыслоях ℎ′ : (, ), а с другой стороны он не является крепантным, поскольку являетсяисключительным дивизором стягивания отрицательного луча. Противоречие.Значит, возможность дивизориального стягивания исключена, поэтому̂︁ = ̃︁ ′ → ̂︀ с мор­в любом случае мы получили -расслоение Мори ̂︀ : физмом : ̂︀ → . По соображениям размерности оно является расслоениемна рациональные кривые.

Таким образом, имеем следующую коммутативную-эквивариантную диаграмму, задающую элементарное преобразование Сар­кисова:(, ) õ︁ , ̃︀ )(/̂︁ , ̂︀ )(ô︀̂︀Более того, ̂︀ имеет только дювалевские особенности по теореме 2.2.8,а исключительное множество морфизма ̂︀ → состоит из одного̃︁ → -инвариантного дивизора (исключительный дивизор морфизма : не может целиком лежать в слое морфизма ̂︀). Согласно [52, Theorem 1.4],морфизм ̂︀ → может быть либо композицией взвешенных раздутий глад­ких точек, либо крепантным частичным разрешением особенностей . Пер­вый случай невозможен, поскольку исключительный дивизор лежит над осо­бой -точкой , а значит поверхность ̂︀ является крепантным частичнымразрешением особенностей поверхности .

Лемма доказана.Пусть (, , ) — -расслоение Мори с двумерной базой.Тогда существует эквивалентное ему -расслоение на рациональные кри­вые ( ′, ′, ′), являющееся -расслоением Мори, причём поверхность ′является минимальным разрешением особенностей поверхности .Доказательство. Применив лемму 3.1.5 несколько раз, мы придём кСледствие 3.1.6.-расслоению Мори над неособой двумерной базой, поскольку количествокрепантных дивизоров на конечно (все крепантные исключительные ди­визоры реализуются на минимальном разрешении особенностей поверхно­сти ).

Следствие доказано.Пусть расслоение : 99K удовлетворяет условиямтеоремы 3.1.1. Тогда существует эквивалентное ему -расслоение МориЛемма 3.1.7.33такое, что ̂︀ — неособая проективная поверхность, а криваявырождения является приведённым дивизором с простыми нормальнымипересечениями.Доказательство. Использовав лемму 3.1.2, мы получаем -расслоение Мо­̂︀ → ̂︀̂︀ : ри ′ : ′ → ′ , эквивалентное исходному. Затем применим лемму 3.1.3 к-расслоению ′ : ′ → ′ , имеем -расслоение на рациональные кривые̃︀ → ̃︀ такое, что ̃︀ — гладкая поверхность, а все точки, над которы­̃︀ : ми слои морфизма ̃︀ не являются гладкими, лежат в дивизоре с простыминормальными пересечениями.

Применим относительную -эквивариантную̃︀ → ̃︀ . Рассуждая так же, как в лем­программу минимальных моделей к ме 3.1.2, получаем, что результатом программы минимальных моделей будет-расслоение на рациональные кривые : → , с морфизмом : → ̃︀ .Особенности будут терминальными, а особенности — дювалевскими.Применим следствие 3.1.6 к -расслоению : → . Мы получаем̂︀ → ̂︀ с морфизмом -расслоение Мори ̂︀ : ̂︀ : ̂︀ → . Возникает следую­щая коммутативная -эквивариантная диаграмма:/o′ o′′o/̃︀̃︀̃︀̃︀ o/̂︀ô︀̂︀̂︀̂︀ = ( ∘ )̃︀ + Exc( ∘ )̃︀ — дивизор,Рассмотрим дивизор Δ̂︀ * Δ̂︀ , где Δ̂︀ — дивизор с простыми нормальнымипостроенный в лемме 3.1.3.

Тогда Δ̃︀ , а ∘ пересечениями, поскольку таким был дивизор Δ̂︀ — морфизм междугладкими проективными поверхностями. Дивизор вырождения -расслоения̂︀ ̂︀ , ̂︀) является приведённым дивизором, все компоненты которого содер­(,̂︀ . Обозначим этот дивизор вырождения Δ̂︀ ′ . Таким образом, Δ̂︀ ′ —жатся в Δприведённый дивизор с простыми нормальными пересечениями. Лемма дока­зана.Таким образом, любое -расслоение на рациональные кривые эквива­лентно -расслоению Мори на рациональные кривые с гладкой базой и ди­визором вырождения, являющимся приведённым дивизором с простыми нор­мальными пересечениями. В следующих двух леммах мы покажем, что оноявляется вложенным -расслоением на коники. Для этого нам потребуетсяпонятие -пучка.34пучкомназывается квазикогерентный пучок на*-многообразии с набором изоморфизмов пучков : → , удовле­* творяющих соотношениям 1 = Id и 1 2 = 2 (1 ) ∘ 2 .Определение 3.1.8.Пусть : → — регулярное -расслоение на коники,где — открытое подмножество неособой поверхности , причём допол­нение ∖ состоит из конечного числа точек.

Тогда существует эквива­лентное ему вложенное -расслоение на коники ′ : ′ → , изоморфноеисходному над .Доказательство. Обозначим за : → естественное вложение. Тогда поЛемма 3.1.9.предложению 2.4.4 антиканонический дивизор − задаёт вложение вP(ℰ1 ), где ℰ1 = * (− ).Заметим, что дуализирующий пучок имеет естественную структуру-пучка на , она индуцирует структуру -пучка на антиканоническомпучке, следовательно на локально свободном пучке ℰ имеется естественнаяструктура -пучка. Рассмотрим пучок ℰ = (* ℰ1 )∨∨ . Он является локальносвободным пучком ранга 3 (он рефлексивен, а на неособой поверхности любойрефлексивный пучок является локально свободным, см. [30, Corollary 1.4])на , причём на нём также имеется естественная структура -пучка.

Болеетого, это единственный локально свободный пучок, продолжающий ℰ1 на всю . Обозначим через ′ замыкание в P(ℰ). Это вложенное расслоение наконики, на котором определено действие группы . Лемма доказана.Пусть ℎ : → — трёхмерное -расслоение Мори наддвумерной базой, причём неособо, а дивизор вырождения Δ являетсяприведённым дивизором с простыми нормальными пересечениями.

Тогдасуществует такой локально свободный -пучок ℰ ранга 3 на и такое-эквивариантное вложение → P(ℰ) над , что является вложен­ным -расслоением на коники.Доказательство. Если неособо, то утверждение доказано по утвержде­Лемма 3.1.10.нию 2.4.4. Если же оно особо, то его особенности терминальны. Посколькутрёхмерные терминальные особенности изолированы, можно применить лем­му 3.1.9 для , являющегося дополнением до образа множества особых точек .

Характеристики

Список файлов диссертации

Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее