Диссертация (1137351), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тогда существует -расслоение Мори на рациональные кривые( ′ , ′ , ′ ), эквивалентное исходному, где ′ и ′ проективны. При этомособенности ′ не более, чем терминальные, а особенности ′ — дювалевские.Доказательство. Перейдя к открытым подмножествам, можно считать, чтоЛемма 3.1.2. действует на и регулярными автоморфизмами, а и нормальны.Таким образом, можно применить лемму 2.1.9. Обозначим полученное расслоение Мори через ( ′ , ′ , ′ ). По соображениям размерности, ( ′ , ′ , ′ )является расслоением Мори на рациональные кривые. Особенности ′ не более, чем терминальные, а ′ — поверхность с не более, чем дювалевскимиособенностями по теореме 2.2.8 и замечанию 2.2.9.
Лемма доказана.Таким образом, можно считать, что отображение : 99K из теоремы 3.1.1 является -расслоением Мори на рациональные кривые. Следующая лемма показывает, как свести теорему 3.1.1 к случаю -расслоения нарациональные кривые над гладкой базой, причем его дивизор вырожденияявляется приведённым дивизором с простыми нормальными пересечениями.30Пусть ( ′, ′, ′) — -расслоение Мори над двумерной базой.̃︀ ̃︀ , ̃︀), гдеТогда оно эквивалентно -расслоению на рациональные кривые (,̃︀ — проективное многообразие, а̃︀ — гладкая проективная поверхность, все точки, над которыми слои ̃︀ не являются гладкими, лежат в некотором дивизоре с простыми нормальными пересечениями.Доказательство.
Выкинув из ′ конечное число точек, а именно особые точЛемма 3.1.3.ки ′ и образы особых точек ′ (особенности ′ терминальны, а значитизолированы), мы получаем открытое множество ⊂ ′ , над которым наше расслоение является регулярным расслоением на коники, поэтому можноопределить дивизор вырождения в . Обозначим через Δ′ его замыканиев ′ , этот дивизор приведён согласно замечанию 2.4.13. Рассмотрим эквивариантный морфизм ̃︀ : ̃︀ → ′ — эквивариантное разрешение особенностей̃︀ = Δ′ + Exc(̃︀пары ( ′ , Δ′ ). Тогда дивизор Δ) — приведённый дивизор с̃︀ эквивариантноепростыми нормальными пересечениями. Обозначим через разрешение особенностей доминантной компоненты ′ × ′ ̃︀ (предваритель̃︀ в ̃︀ обоно нормальзовав её, если нужно), соответствующее отображение значим ̃︀.
Очевидно, что все вырожденные слои могут лежать только над̃︀ . Лемма доказана.точками кривой ΔОпределение 3.1.4.-точкой -многообразия будем называть -орбитунекоторой замкнутой точки.В следующей лемме мы покажем, как, имея -расслоение Мори на рациональные кривые, построить эквивалентное ему -расслоение Мори, базакоторого является частичным крепантным разрешением особенностей базыисходного -расслоения. Применив несколько раз построенный линк, мы полностью разрешим особенности базы расслоения.Пусть (, , ) — -расслоение Мори с двумерной базой.Пусть — особая -точка поверхности . Тогда существует эквивалентное ему -расслоение на рациональные кривые ( ′, ′, ′), являющееся -расслоением Мори, причём отображение ′ → является крепантным частичным разрешением особенности в -точке , а отображение 99K ′ является элементарным преобразованием Саркисова (см.
[46,§13]).Лемма 3.1.5.31Доказательство.Рассмотрим такую линейную систему гиперплоских сечений ℋ для некоторого подходящего вложения в проективное пространство,что Bs(ℋ) совпадает с , а ℋ инвариантна относительно действия группы .Для этого рассмотрим на очень обильный дивизор , инвариантный относительно действия группы. Тогда в качестве ℋ можно рассмотреть подсистему дивизоров, проходящих через -точку в полной линейной системе|| для достаточно большого .
Пусть = *−1 (ℋ) — прообраз ℋ, а —канонический порог пары (, ). По теореме 2.2.7 у пары (, ) суще̃︁ , ̃︀ ). Обозначимствует частичное крепантное разрешение особенностей (̃︁ → через .морфизм Рассмотрим теперь относительную над эквивариантную программу̃︁ , ̃︀ ). Все кривые на исключительномминимальных моделей для пары (дивизоре отображения численно пропорциональны и пересекаются с̃︀̃︀̃︁ + по нулю по формуле проекции.
Пусть — достаточно общий слой̃︁ → , а — слой отображения → над той жеотображения ℎ : точкой, тогда по формуле проекции̃︀ · (̃︁ + ̃︀ ) = ̃︀ · * ( + ) = · ( + ) = · < 0,где последнее равенство следует из выбора линейной системы. Значит, на ко̃︁ / ) есть ровно один отрицательный экстремальный луч,нусе Мори NS(причём его стягивание даёт либо расслоение на рациональные кривые, либо малое стягивание (на самом деле первый случай невозможен, но это намневажно).Во втором случае после последовательности эквивариантных лог-флипов (она не может быть бесконечной, см.
[45, §6.3] или [46, §9.2]) мы прихо̃︁ ′ с -эквивариантным морфизмом ℎ′ : ̃︁ ′ → .дим к -многообразию ̃︁ ′ / ) порождён двумяОтносительный -инвариантный конус Мори NS(лучами, ровно один из которых отрицателен, причём его стягивание является либо дивизориальным стягиванием, либо -расслоением Мори. Предположим, что имеет место первый случай, тогда после стягивания мы получаем̂︁ с морфизмом ̂︀ : ̂︁ → , причём этот морфизм явля-многообразие ̂︁ являютсяется -расслоением Мори над поверхностью.
Но тогда и -расслоениями Мори над общей базой , причём они изоморфны в коразмерности 1, поэтому на самом деле они изоморфны: ≃ Proj(︁⨁︁)︁(︁⨁︁)︁̂︁ (− ) ≃ Proĵ︁ (−̂︁ ) ≃ .32Заметим, что исключительным дивизором стягивания может быть толькообраз дивизора , поскольку по построению это единственный дивизор в̃︁ ′ → . Но тогда с одной стороны дивизор крепантен для парыслоях ℎ′ : (, ), а с другой стороны он не является крепантным, поскольку являетсяисключительным дивизором стягивания отрицательного луча. Противоречие.Значит, возможность дивизориального стягивания исключена, поэтому̂︁ = ̃︁ ′ → ̂︀ с морв любом случае мы получили -расслоение Мори ̂︀ : физмом : ̂︀ → . По соображениям размерности оно является расслоениемна рациональные кривые.
Таким образом, имеем следующую коммутативную-эквивариантную диаграмму, задающую элементарное преобразование Саркисова:(, ) õ︁ , ̃︀ )(/̂︁ , ̂︀ )(ô︀̂︀Более того, ̂︀ имеет только дювалевские особенности по теореме 2.2.8,а исключительное множество морфизма ̂︀ → состоит из одного̃︁ → -инвариантного дивизора (исключительный дивизор морфизма : не может целиком лежать в слое морфизма ̂︀). Согласно [52, Theorem 1.4],морфизм ̂︀ → может быть либо композицией взвешенных раздутий гладких точек, либо крепантным частичным разрешением особенностей . Первый случай невозможен, поскольку исключительный дивизор лежит над особой -точкой , а значит поверхность ̂︀ является крепантным частичнымразрешением особенностей поверхности .
Лемма доказана.Пусть (, , ) — -расслоение Мори с двумерной базой.Тогда существует эквивалентное ему -расслоение на рациональные кривые ( ′, ′, ′), являющееся -расслоением Мори, причём поверхность ′является минимальным разрешением особенностей поверхности .Доказательство. Применив лемму 3.1.5 несколько раз, мы придём кСледствие 3.1.6.-расслоению Мори над неособой двумерной базой, поскольку количествокрепантных дивизоров на конечно (все крепантные исключительные дивизоры реализуются на минимальном разрешении особенностей поверхности ).
Следствие доказано.Пусть расслоение : 99K удовлетворяет условиямтеоремы 3.1.1. Тогда существует эквивалентное ему -расслоение МориЛемма 3.1.7.33такое, что ̂︀ — неособая проективная поверхность, а криваявырождения является приведённым дивизором с простыми нормальнымипересечениями.Доказательство. Использовав лемму 3.1.2, мы получаем -расслоение Мо̂︀ → ̂︀̂︀ : ри ′ : ′ → ′ , эквивалентное исходному. Затем применим лемму 3.1.3 к-расслоению ′ : ′ → ′ , имеем -расслоение на рациональные кривые̃︀ → ̃︀ такое, что ̃︀ — гладкая поверхность, а все точки, над которы̃︀ : ми слои морфизма ̃︀ не являются гладкими, лежат в дивизоре с простыминормальными пересечениями.
Применим относительную -эквивариантную̃︀ → ̃︀ . Рассуждая так же, как в лемпрограмму минимальных моделей к ме 3.1.2, получаем, что результатом программы минимальных моделей будет-расслоение на рациональные кривые : → , с морфизмом : → ̃︀ .Особенности будут терминальными, а особенности — дювалевскими.Применим следствие 3.1.6 к -расслоению : → . Мы получаем̂︀ → ̂︀ с морфизмом -расслоение Мори ̂︀ : ̂︀ : ̂︀ → . Возникает следующая коммутативная -эквивариантная диаграмма:/o′ o′′o/̃︀̃︀̃︀̃︀ o/̂︀ô︀̂︀̂︀̂︀ = ( ∘ )̃︀ + Exc( ∘ )̃︀ — дивизор,Рассмотрим дивизор Δ̂︀ * Δ̂︀ , где Δ̂︀ — дивизор с простыми нормальнымипостроенный в лемме 3.1.3.
Тогда Δ̃︀ , а ∘ пересечениями, поскольку таким был дивизор Δ̂︀ — морфизм междугладкими проективными поверхностями. Дивизор вырождения -расслоения̂︀ ̂︀ , ̂︀) является приведённым дивизором, все компоненты которого содер(,̂︀ . Обозначим этот дивизор вырождения Δ̂︀ ′ . Таким образом, Δ̂︀ ′ —жатся в Δприведённый дивизор с простыми нормальными пересечениями. Лемма доказана.Таким образом, любое -расслоение на рациональные кривые эквивалентно -расслоению Мори на рациональные кривые с гладкой базой и дивизором вырождения, являющимся приведённым дивизором с простыми нормальными пересечениями. В следующих двух леммах мы покажем, что оноявляется вложенным -расслоением на коники. Для этого нам потребуетсяпонятие -пучка.34пучкомназывается квазикогерентный пучок на*-многообразии с набором изоморфизмов пучков : → , удовле* творяющих соотношениям 1 = Id и 1 2 = 2 (1 ) ∘ 2 .Определение 3.1.8.Пусть : → — регулярное -расслоение на коники,где — открытое подмножество неособой поверхности , причём дополнение ∖ состоит из конечного числа точек.
Тогда существует эквивалентное ему вложенное -расслоение на коники ′ : ′ → , изоморфноеисходному над .Доказательство. Обозначим за : → естественное вложение. Тогда поЛемма 3.1.9.предложению 2.4.4 антиканонический дивизор − задаёт вложение вP(ℰ1 ), где ℰ1 = * (− ).Заметим, что дуализирующий пучок имеет естественную структуру-пучка на , она индуцирует структуру -пучка на антиканоническомпучке, следовательно на локально свободном пучке ℰ имеется естественнаяструктура -пучка. Рассмотрим пучок ℰ = (* ℰ1 )∨∨ . Он является локальносвободным пучком ранга 3 (он рефлексивен, а на неособой поверхности любойрефлексивный пучок является локально свободным, см. [30, Corollary 1.4])на , причём на нём также имеется естественная структура -пучка.
Болеетого, это единственный локально свободный пучок, продолжающий ℰ1 на всю . Обозначим через ′ замыкание в P(ℰ). Это вложенное расслоение наконики, на котором определено действие группы . Лемма доказана.Пусть ℎ : → — трёхмерное -расслоение Мори наддвумерной базой, причём неособо, а дивизор вырождения Δ являетсяприведённым дивизором с простыми нормальными пересечениями.
Тогдасуществует такой локально свободный -пучок ℰ ранга 3 на и такое-эквивариантное вложение → P(ℰ) над , что является вложенным -расслоением на коники.Доказательство. Если неособо, то утверждение доказано по утверждеЛемма 3.1.10.нию 2.4.4. Если же оно особо, то его особенности терминальны. Посколькутрёхмерные терминальные особенности изолированы, можно применить лемму 3.1.9 для , являющегося дополнением до образа множества особых точек .