Диссертация (1137351), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Особенности трёхмерных кубическихгиперповерхностейВ этом параграфе мы изучим возможности взаимного расположения осо­бенностей трёхмерной кубической гиперповерхности и их типа при усло­вии, что не перестраивается Aut()-эквивариантно в другое -расслоениеМори.Предположение.5.1.1 В этой главе является особой гиперповерхностьюв P4 с не более чем терминальными особенностями, а — такая конечнаяподгруппа Aut(), что минимальна и не является ни линеаризуемой, нирасслоенного типа (как следствие, Aut() также удовлетворяет этим свой­ствам).Мы изучаем только особые кубические гиперповерхности, поскольку восновном нас интересуют приложения к изучению группы Cr3 (k), а неособыекубические гиперповерхности нерациональны, см.

[15].Замечание.5.1.2 ПосколькуявляетсяQ-факториальным,-минимальность эквивалентна равенству rk Cl() = 1.Группа Пикара Pic() порождена классом гиперплоского сечения(см. [31, Corollary 4.3.2]), поэтому действие на индуцировано с действия на P4 .Следующая простая лемма очень важна для нас.1. Многообразие не имеет неподвижных особых точеки инвариантных прямых относительно действия группы .2.

Не существует -инвариантных плоскостей в P4.Лемма 5.1.3.54Доказательство.Если содержит неподвижную особую точку, то проекцияиз этой точки даёт -эквивариантное бирациональное отображение на P3 .Таким образом, линеаризуема в этом случае.Если содержит -инвариантную прямую, то проекция из этой пря­мой является -эквивариантным расслоением на рациональные кривые, ес­ли же имеется -инвариантная плоскость в P4 , то проекция из неё даёт-расслоение на квадратичные или кубические поверхности в P3 (первыйслучай реализуется тогда и только тогда, когда плоскость лежит на ). Вобоих случаях мы можем применить лемму 2.1.9 и получить, что имеетрасслоенный тип.Следствие 5.1.4.-орбита особой точки многообразияимеет мощ­ность не меньше 4.Доказательство. В случае, если -орбита особой точки состоит из одной,двух или трёх точек, имеется неподвижная относительно группы особаяточка, прямая, лежащая на или плоскость соответственно.

В любом случаеприменение леммы 5.1.3 приводит к противоречию с предположением 5.1.1.Будем говорить, что точки 1 , ..., ∈ P находятся, если никакие из них не лежат в подпространстве⊂ P для любого 6 + 1.Определение 5.1.5.в общем положенииP−2Лемма 5.1.6.-орбита особой точки многообразия не может состоятьиз 4 элементов.Доказательство.Предположим, что орбита особой точки состоит из4 элементов. Если все они лежат на одной плоскости, то она является-инвариантной, что противоречит лемме 5.1.3.

Следовательно, точки изэтой орбиты лежат в общем положении. Пусть — гиперплоское сечениемногообразия , содержащее орбиту точки . Тогда — особая кубическаяповерхность (возможно, приводимая), имеющая как минимум 4 особые точкив общем положении. Согласно [9] эта поверхность является либо единственнойкубической поверхностью с четырьмя обыкновенными двойными точками, ли­бо приводимой. Во втором случае поверхность является либо объединениемтрёх плоскостей с единственной общей точкой, либо объединением плоскости55и квадратичного конуса, вершина которого является особой точкой многооб­разия , иначе особенности не могут находиться в общем положении. Вобоих случаях группа Aut() не может действовать транзитивно на орби­те точки : если — объединение трёх плоскостей, то либо их общая точкаявляется выделенной особой точкой многообразия , либо имеется выделен­ная плоскость, содержащая ровно две особенности многообразия ; если —объединение плоскости и квадратичного конуса, то вершина конуса — выде­ленная особая точка многообразия .

Кубическая поверхность с четырьмяособенностями типа 1 в подходящей системе координат имеет уравнение (0 , 1 , 2 , 3 ) = 0 1 2 + 0 1 3 + 0 2 3 + 1 2 3 = 0.Имеется естественное отображение : Aut() → S4 — группу перестановокособых точек многообразия . Легко проверить, что диагональное преобразо­вание координат сохраняет поверхность в том и только том случае, когдаоно тривиально.

Поскольку элемент группы PGL4 (k), сохраняющий все осо­бые точки поверхности , является диагональным преобразованием, отобра­жение является инъективным. С другой стороны, группа S4 действует на перестановками координат. Следовательно, Aut() ≃ S4 . Таким образом,имеется Aut()-инвариантная плоскость, заданная уравнением3∑︁ = 0,=0которая, очевидно, является и -инвариантной. Это противоречит лем­ме 5.1.3.Следующие факты об особых точках кубических трёхмерных гиперпо­верхностей хорошо известны.Пусть ⊂ P4 — произвольная кубическая гиперповерхностьс изолированными особенностями.

Тогда(i) никакие три из них не лежат на одной прямой;(ii) если четыре особые точки лежат на плоскости, то эта плоскость со­держится в , причём она содержит ровно четыре особые точки ;(iii) если никакие четыре особые точки не лежат на одной плоскости,то особые точки находятся в общем положении.Лемма 5.1.7.56Доказательство.Первое утверждение напрямую следует из того факта, чтомножество Sing( ) является пересечением квадрик (их уравнения являютсяпроизводными уравнения многообразия по различным переменным).Предположим, что четыре особые точки лежат на одной плоскости .Допустим, что не содержится в .

Тогда ∩ — плоская кубическаякривая с четырьмя особыми точками, причём никакие три из них не лежат наодной прямой. Это невозможно, поэтому содержится в . Вторая часть (ii)также следует из того факта, что множество Sing( ) является пересечениемквадрик.Пусть — гиперплоскость, содержащая как минимум 5 особых точекмногообразия , причём никакие 4 из них не лежат на одной плоскости. Рас­смотрим пересечение = ∩ . Это кубическая поверхность, имеющая какминимум 5 особых точек. Согласно [9], эта поверхность является приводимой.Если является объединением квадрики и плоскости, то как минимум 4 осо­бые точки лежат на этой плоскости, что противоречит предположению.Если является объединением трёх различных плоскостей, то все особыеточки Sing() ∩ лежат на трёх прямых (каждая прямая является пересе­чением двух из трёх плоскостей, образующих ).

В этом случае мы такжевидим, что как минимум одна из плоскостей содержит 4 особые точки , чтопротиворечит предположению. Если же содержит двойную или тройнуюплоскость, то она является множеством особых точек , поэтому содержиткак минимум 5 особенностей . Это противоречие доказывает (iii).Предположим, что все особенности многообразия обыкновенные двойные.

Тогда имеются следующие возможности:Предложение 5.1.8.тип J5J9J11J14J15()()()56691000391512356где () — количество особых точек , () — количество плоскостей,содержащихся в и () — ранг группы Cl().Доказательство. Случаи J1 —J4 (см. теорему 2.6.1) невозможны, поскольку имеет по крайней мере 5 особенностей согласно следствию 5.1.4 и лем­ме 5.1.6. Если многообразие имеет тип J6, J7 или J8, то содержит ровно57одну плоскость (см. теорему 2.6.1), которая Aut()-инвариантна, что невоз­можно по лемме 5.1.3.

Если имеет тип J10 или J12, то есть выделеннаяAut()-инвариантная особая точка (а именно, 7 , см. теорему 2.6.1), чтоневозможно по лемме 5.1.3. Если имеет тип J13, то имеется выделеннаячетвёрка особых точек 5 , 6 , 7 , 8 , которые лежат на одной плоскости (см.теорему 2.6.1), которая, следовательно, Aut()-инвариантна, что невозмож­но по лемме 5.1.3.Теперь мы рассмотрим случай, когда не все особенности многообразия являются обыкновенными двойными точками.Допустим, что многообразие содержит особуюточку, которая не является обыкновенной двойной. Тогда имеет ровно5 особенностей типа 1 или 2 в общем положении и не имеет другихособых точек.Доказательство.

Мы воспользуемся следующей хорощо известной форму­Предложение 5.1.9.лой для степени двойственного многообразия:deg ∨ = 3 · 23 −∑︁(), ∈ Sing()где () = () + ′ () — сумма чисел Милнора особенности (, ) и еёгиперплоского сечения (детали см. в [72]). Очевидно, что deg ∨ > 3, поэтому∑︁() 6 21.∈Sing()Если — cDV особенность типа, отличного от 1 , то () > ′ () > 2 (этолегко получить явным вычислением из определения чисел Милнора), причёмправое равенство выполняется в точности для 2 особенностей. Таким об­разом, согласно следствию 5.1.4 и лемме 5.1.6, имеется ровно 5 особенностей= 12 , поэтомутипа 2 . Число оставшихся особенностей не превосходит 21−5·42других особенностей на нет.Предположим, что все особенности имеют тип 1 .

Характеристики

Список файлов диссертации