Диссертация (1137351), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

кроме того, не со­держится в подгруппе Aut(), изоморфной D12 по той же причине, по ка­кой Aut() D12 . Поэтому либо сопряжена S3 × C3 = ⟨, (1, 2, 3)⟩,либо совпадает с 2 или Aut(). Но в первом случае -орбита точки( : 2 − 1 : −2 : − 1 : 2 ), где — кубический корень из единицы, имеет74длину 3, что противоречит лемме 5.1.3.5.6. Пять особых точекВ этом параграфе является кубической гиперповерхностью в P4 , име­ющей ровно 5 особых точек в общем положении, причём удовлетворя­ет предположению 5.1.1, а — соответствующая минимальная подгруппаAut().Многообразие может быть задано в некоторойсистеме координат уравнениемПредложение 5.6.1.(1 2 3 + 2 3 4 + 3 4 5 + 4 5 1 + 5 1 2 )++(1 2 4 + 2 3 5 + 3 4 1 + 4 5 2 + 5 1 3 ) = 0, 3 = 1.Группа Aut() изоморфна S5 если = 1 и A5 иначе.

Группа изоморфналибо S5, либо A5, либо C5 o C4.Доказательство. Можно считать, что особые точки имеют координаты = { = }. Уравнение многообразия в этой системе координат име­ет вид∑︁ = 0.16<<65Действие Aut() на множестве особых точек индуцирует гомоморфизмAut() → S5 с транзитивным образом, поэтому образ содержит элементпорядка 5. Без ограничения общности можно считать, что образ содержитэлемент (1 2 3 4 5). Очевидно, что любой элемент группы PGL5 (k), перестав­ляющий особенности многообразия по циклу, является композицией цикли­ческой перестановки координат и диагонального отображения. Все элементытакого типа сопряжены друг другу с помощью диагонального отображения.Это несложно показать, выписав явные уравнения на элементы соответству­ющей диагональной матрицы.

Таким образом, мы можем считать (применивдиагональную замену координат, если необходимо), что Aut() содержитциклическую перестановку координат и123 = 234 = 345 = 145 = 125 ,124 = 235 = 134 = 245 = 135 .75Действительно, возможна ситуация, когда123 = 234 = 2 345 = 3 145 = 4 125 ,124 = 235 = 2 134 = 3 245 = 4 135для некоторого — корня пятой степени из 1. В этом случае диагональнаязамена координат1 ↦→ 1 , 2 ↦→ 2 2 , 3 ↦→ 4 3 , 4 ↦→ 4 , 5 ↦→ 3 5приводит уравнение многообразия к нужной нам форме.

Заметим, что все ко­эффициенты ненулевые, иначе особенности многообразия неизолированы.Следовательно, мы можем считать, что 123 = 1 и 124 = для некоторогоненулевого числа . Заметим, что диагональное отображение сохраняет тогда и только тогда, когда оно тривиально. Как следствие, гомоморфизмAut() → S5 является вложением. Заметим, что если = −1, то имеетещё одну особенность в точке (1 : 1 : 1 : 1 : 1), поэтому ̸= −1. Очевидно,что D10 действует на . С точностью до сопряжения имеется три подгруппыв S5 , содержащие D10 в качестве собственной подгруппы: C5 o C4 , A5 и S5 .ГруппаC5 o C4 = ⟨D10 , (2 3 5 4)⟩действует на тогда и только тогда, когда = 1 (это несложно полу­чить, выписав явно условия того, что преобразование, являющееся компо­зицией циклической перестановки координат (2 3 5 4) и диагонального преоб­разования сохраняет уравнение многообразия ) и, очевидно, в этом случаеAut() = S5 .

Группа A5 = ⟨D10 , (1 2 3)⟩ действует на тогда и толькотогда, когда 3 = 1, в этом случае сохраняется автоморфизмом(1 : 2 : 3 : 4 : 5 ) ↦→ (2 : 3 : −1 1 : 4 : 5 ).Теперьмыпредположим, что 3̸=1. Рассмотрим точки(1 : : 2 : 3 : 4 ) и (1 : 4 : 3 : 2 : ), где — примитивныйкорень пятой степени из единицы. Они образуют D10 -орбиту и лежат на . Прямая , проходящая через них, также лежит на . Действительно,в противном случае имеет одинаковые кратности пересечения с вобеих точках, поэтому имеется третья точка пересечения и .

Эта точкадолжна быть инвариантной точкой относительно действия D10 , что может76выполняться только для точки (1 : 1 : 1 : 1 : 1). Но эта точка не лежитна поскольку ̸= −1, противоречие. Следовательно, проекция из пря­мой даёт нам расслоение на коники, которое эквивалентно некоторомуD10 -расслоению Мори. Таким образом, 3 = 1.Группа действует транзитивно на Sing() и не содержится вD10 ,поэтому она является одной из групп, выписанных в формулировке утвер­ждения. В обоих случаях ( = 1 или — примитивный корень третьейстепени из единицы) имеет только обыкновенные двойные точки в каче­стве особенностей, поэтому Cl() порождён классом гиперплоского сечения(см.

[25]). Следовательно, все подгруппы группы Aut() автоматически ми­нимальны.77Публикации по теме диссертации[A1] А. А. Авилов, “Существование стандартных моделей расслоений на коники надалгебраически незамкнутыми полями”, Мат. Сб., 205(12) (2014), 3–16.[A2] А. А. Авилов, “Автоморфизмы трехмерных многообразий, представимых в видепересечения двух квадрик”, Мат. Сб., 207(3) (2016), 3-18.[A3] А. А. Авилов, “Автоморфизмы особых трехмерных кубических гиперповерхностейи группа Кремоны”, Мат. Зам., 2016.[A4] А.

А. Авилов, “О стандартных моделях расслоений на коники”, Тезисы летнейшколы-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу длямолодых учёных России, Коряжма, 2015.[A5] A. A. Avilov, “Automorphisms of singular three-dimensional cubic hypersurfaces”,ArXiv e-print, 1603.04087 (2016).78Список литературы[1] D. Abramovich, J. Wang, “Equivariant resolution of singularities in characteristic 0”,Math. Res.

Lett., 4:2-3 (1997), 427–433.[2] V. Alexeev, “General elephants on Q-Fano threefolds”, Comp. Math., 91:1 (1994),91–116.[3] A. Beauville, “-elementary subgroups of the Cremona group”, J. of Algebra, 314(2007), 553—564.[4] A. Beauville, “Variétés de Prym et jacobiennes intermédiaires”, Ann. Sci. École Norm.Sup., 10 (1977), 304–392.[5] E.

Bertini, “Ricerche sulle trasforormazioni univoche involutorie nel piano”, Annali diMat.Pura Appl. (2), 8 (1877), 254—287.[6] C. Birkar, P. Cascini, C. D. Hacon, J. McKernan, “Existence of minimal models forvarieties of log general type”, J. Am. Math. Soc., 23:2 (2010), 405–468.[7] J. Blanc, “Finite abelian subgroups of the Cremona group of the plane”, PhD Thesis,Univ. of Geneva, 2006.[8] J. Blanc, S. Zimmermann, “Topological simplicity of the Cremona groups”, arXiv eprint, 1511.08907 (2015).[9] J.W.

Bruce, C.T.C. Wall, “On the classification of cubic surfaces”, J. London Math.Soc., 19 (1979), 245–256.[10] S. Cantat, S. Lamy, “Normal subgroups in the Cremona group”, Acta Mathematica,210 (2013), 31–94.[11] И. А. Чельцов, “Бирационально жесткие многообразия Фано”, УМН, 60:5(365)(2005), 71–160.[12] I. Cheltsov, C. Shramov, “Five embeddings of one simple group”, Trans. Amer. Math.Soc., 366:3 (2014), 1289–1331.[13] I. Cheltsov, C. Shramov, “Three embeddings of the Klein simple group into theCremona group of rank three”, Transform. Groups, 17:2 (2012), 303-–350.[14] I. Cheltsov, C.

Shramov, Cremona groups and icosahedron, CRC Press, 2015.[15] C.H. Clemens, P.A. Griffiths, “The intermediate Jacobian of the cubic threefold”, Ann.of Math. Second Series, 95:2 (1972), 281–356.[16] A. Corti, “Factoring birational maps of threefolds after Sarkisov”, J. of Alg. Geom., 4(1995), 223–254.[17] A. Corti, “Singularities of linear systems and 3-fold birational geometry”, L.M.S.Lecture Note Series, 281 (2000), 259–312.[18] A. Corti, K.E. Smith, J. Kollar, Rational and nearly rational varieties, CambridgeStudies in Advanced Mathematics, 92, Cambridge University Press, 2004.[19] J.

Deserti, “On solvable subgroups of the Cremona group”, arXiv e-print, 1503.02121(2015).[20] I. Dolgachev, “On elements of order in the plane Cremona group over a field ofcharacteristic ”, Multidimensional Algebraic Geometry, Proc. Steklov. Inst. Math.,264 (2009), 55–62.[21] I. Dolgachev, Classical Algebraic Geometry: a modern view, Cambrige Univ. Press,2012.[22] I. Dolgachev, V. Iskovskikh, “Finite subgroups of the plane Cremona group”, InAlgebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu.

I. Manin. Vol. I, Progr. Math.,269 (2009), 443–548.[23] I. Dolgachev and V. Iskovskikh, “On elements of prime order in the plane Cremonagroup over a perfect field”, Int. Math. Res. Notices, 2009, 3467–3485.79[24] T. de Fernex, “On planar Cremona maps of prime order”, Nagoya Math. J., 174 (2004),1–28.[25] H. Finkelnberg, J. Werner, “Small resolutions of nodal cubic threefold”, Ind. Math.(Proc.), 92:2 (1989), 185–196.[26] T.

Fujita, “On singular del Pezzo varieties. In Algebraic geometry (L’Aquila, 1988)”,Lecture Notes in Math., 1417 (1990), 117–128.[27] T. Fujita, “On the structure of polarized manifold with total deficiency one 1. 2 and3”. J. Math. Soc. Japan 32 (1980) 709–725, 33 (1981) 415–434, 36 (1984) 75–89.[28] T. Fujita, Classification theories of polarized varieties, 155, London Math. Soc. Lect.Notes Series, Cam.

Univ Press, 1990.[29] М. Гизатуллин, “Определяющие соотношения для кремоновой группы плоскости”,Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:5 (1982), 909–970.[30] R. Hartshorne, “Stable reflexive sheaves”, Math. Ann., 254 (1980), 121–176.[31] R. Hartshorne, Ample subvarieties in algebraic varieties, Lec. Notes in Math, 156, 1970.[32] H.P. Hudson, Cremona Transformations in Plane and Space, Cambrige Univ. Press,1927.[33] W.V.D. Hodge, D. Pedoe, Methods of Algebraic Geometry, Vol.

II, CambridgeUniversity Press, 1952.[34] В. А. Исковских, “Антиканонические модели трехмерных алгебраических много­образий”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 12, 1979, 59–157.[35] V. Iskovskikh, Yu. Prokhorov, Fano varieties, Algebraic geometry V, EncyclopaediaMath. Sci., Springer, Berlin, 1999.[36] В. Исковских, “Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых”, Ма­тем.

Характеристики

Список файлов диссертации