Диссертация (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели), страница 5

Вложенное расслоение на коники не обязательно являетсярасслоением на коники в смысле определения 2.4.1.23Пусть ℰ — локально свободный пучок ранга 3 на , ℒ = P(ℰ) (1), аℳ — некоторый локально свободный пучок на ранга 1. Пусть нули се­чения ∈ 0 (P(ℰ), ℒ2 ⊗ * ℳ) образуют вложенное расслоение на коники.Ясно, что любое вложенное расслоение коники представляется в таком видедля подходящих ℰ и ℳ. Кроме того, если (, , ) — регулярное расслое­ние на коники и ⊂ P(ℰ) — относительно антиканоническое вложение (см.предложение 2.4.4), можно положить ℰ = * (− ), и тогда ℳ имеет видℳ = det(ℰ * ) ⊗ (− ) (подробности см.

в [66]).Существует естественный изоморфизм 0 (, 2 (ℰ) ⊗ ℳ) ∼= 0 (P(ℰ), ℒ2 ⊗ * (ℳ)),поэтому буквой будем обозначать также сечение пучка 2 (ℰ) ⊗ ℳ. Ввидуестественного мономорфизма 2 (ℰ) ⊗ ℳ ˓→ Hom(ℰ * , ℰ ⊗ ℳ), сечение опре­деляет морфизм пучков () : ℰ * → ℰ ⊗ ℳ. Морфизм (), в свою очередь,определяет морфизм пучков 0 () : Λ3 ℰ * → Λ3 (ℰ ⊗ ℳ).Определение 2.4.12.Дивизор ⊂ нулей морфизма расслоений0 () ∈ 0 (, (det ℰ)2 ⊗ ℳ3 ) ⊂ 0 (, Hom(det ℰ * , det(ℰ ⊗ ℳ)))дивизором вырождения вложенного расслоения на коники.Замечание 2.4.13. Дивизор вырождения не всегда является приведённым вназываетсяобщем случае, однако он приведён для регулярных расслоений на коники(см.

[66, Следствие 1.9]).Пусть : → — расслоение на рациональныекривые и ⊂ — открытое подмножество. Пусть codim( ∖ , ) > 1 ииндуцированное расслоение : → является регулярным расслоениемна коники. Пусть Δ ⊂ — его дивизор вырождения. Тогда замыкание Δ ⊂ будем называтьрасслоения : → .Определение 2.4.14.дивизором вырождения2.5. Пересечения двух квадрик и символы СегреПоле в этом разделе предполагается алгебраически замкнутым характе­ристики нуль.24Пусть — трёхмерное многообразие дель Пеццо степени 4 (см. опре­деление 2.1.6).

Напомним, что мы предполагаем, что имеет только терми­нальные горенштейновы особенности. Согласно теореме 2.1.7, многообразие является пересечением двух квадрик в P5 . Кроме того, хорошо известноследующее утверждение.Предложение 2.5.1.(см., например, [40, Example 10.3.1])дель Пеццо степени 4 является рациональным.МногообразиеТаким образом, для классификации подгрупп в группе Кремоны Cr3 (k)важны все многообразия дель Пеццо степени 4.Многообразие дель Пеццо степени 4 является пе­ресеченим двух гладких квадрик.Доказательство.

По теореме 2.1.7 многообразие является пересечениемПредложение 2.5.2.двух квадрик, обозначим их 1 и 2 . По теореме Бертини общий элемент пучка ⟨1 , 2 ⟩ неособ вне . Так как = 1 ∩ 2 , то может иметь особен­ности только в конечном множестве Sing(). Поэтому общий элемент пучкаквадрик может быть особым в том и только в том случае, когда 1 и 2 имеютобщую особую точку. В таком случае является пересечением двух конусов собщей вершиной, поэтому размерность касательного пространства в вершинеравна пяти. С другой стороны, размерность касательного пространства в тер­минальной горенштейновой особой точке на трёхмерном многообразии равначетырём (см. [65, Theorem 1.1]).

Противоречие.Для описания групп автоморфизмов многообразий дель Пеццо степе­ни 4 нам будет удобно рассмотреть более общую ситуацию пересечения двухквадрик произвольной размерности.Рассмотрим многообразие = 1 ∩ 2 ⊂ P , где 1 и 2 — различныеквадрики, причём квадрика 2 неособа. Будем обозначать теми же симво­лами квадратичные формы, задающие квадрики (выберем по одной формепроизвольным образом). Обозначим через пучок квадрик = {, = 1 + 2 , ( : ) ∈ P1 }(будем обозначать квадрику и её уравнение, а также матрицу соответствую­щей квадратичной формы одним символом).25Определение 2.5.3.Дискриминантом пучка квадрик называется много­член степени + 1 от двух переменныхΔ = Δ(, ) = det(1 + 2 ).Дискриминант пучка квадрик зависит от выбора порождающих 1 и 2 ,однако его корни (с учётом кратностей) определены однозначно, с точностьюдо автоморфизма ≃ P1 .Пусть ( : ) — корень уравнения Δ = 0.

Существует такое целое число > 0, что зануляются все миноры матрицы , порядка + 1 − , но невсе миноры порядка − . Обозначим через , = 0, 1, ..., минимальнуюкратность корня ( : ) в минорах порядка + 1 − , тогда > +1 . Пусть = − +1 , где 0 6 6 − 1 и = .Определение 2.5.4.корня ( : ).Числа называютсяхарактеристическими числамиПусть ( : ), = 1, 2, ..., — все корни уравнения Δ = 0, и пусть , = 0, 1, ..., — их характеристические числа, причём если 1 < 2 , то1 > 2 , а в случае равенства наборы характеристических чисел упорядоче­ны лексикографически.Символом Сегрепересечения двух квадрик (илипучка квадрик ) называется набор чиселОпределение 2.5.5.[︀]︀ = = (10 ...11 ), (20 ...22 ), ..., (0 ... ) .Замечание 2.5.6. Будем опускать скобки в символе Сегре, если в них стоитровно одно число.Замечание 2.5.7.

Каждому корню дискриминанта (скобке в символе Сегре)соответствует особая квадрика, являющаяся конусом с -мерной вершиной,где — количество характеристических чисел, соответствующих данномукорню (будем называть это число длиной скобки).Два пучка квадрик 1 и2 изоморфны тогда и только тогда, когда существует автоморфизм P1 ,переводящий корни Δ в корни Δ , причём наборы характеристическихчисел у соответствующих корней совпадают.Теорема 2.5.8.([33, Chapter XIII, §10, Theorem I])1226Таким образом, пучок квадрик однозначно определяется конфигураци­ей корней уравнения Δ = 0 и символом Сегре. Поэтому можно определитьнормальную форму пучка квадрик .Для произвольного числа из символа Сегре многообразия рассмот­рим две × -матрицы⎛1,,00⎜⎜ 0...⎜=⎜⎜ ...

...⎜ 1 − ⎝− 0⎛⎞... 1 − 0⎜⎟⎜01 − 0 ⎟⎜⎟⎜...⎟,=... ... ... ⎟2,,⎜⎜0⎟0 ...0 ⎠⎝10 ...00......10...0...0001.........⎞1⎟0⎟⎟...⎟⎟.0⎟⎠0Можно выбрать однородные координаты в P5 таким об­разом, что в них матрицы 1 и 2 имеют блочно-диагональный видСледствие 2.5.9.1 = Diag(1,1,1 , ..., 1,, ), 2 = Diag(2,1,1 , ..., 2,, ).2.6. Трёхмерные кубические гиперповерхности собыкновенными двойными точкамиВ этом параграфе мы опишем все особые трёхмерные кубические ги­перповерхности, имеющие только обыкновенные двойные точки в качествеособенностей, следуя работе [25].Пусть — трёхмерная особая кубическая гиперповерхность, при­чём все особенности являются обыкновенными двойными точками.

Пусть = (1 : 0 : 0 : 0 : 0) — особая точка. Тогда в этой системе координатимеет уравнение0 (1 , 2 , 3 , 4 ) + (1 , 2 , 3 , 4 ) = 0,где(1 , 2 , 3 , 4 ) — невырожденная квадратическая форма, а(1 , 2 , 3 , 4 ) — кубический многочлен. Рассмотрим проекцию изэтой точки на гиперплоскость = {0 = 0}, обозначим её через . Легковидеть, что исключительный дивизор отображается в кривую , заданнуюуравнениями(1 , 2 , 3 , 4 ) = (1 , 2 , 3 , 4 ) = 027в .

Эта кривая является кривой бистепени (3, 3) на гладкой квадрике, задан­ной уравнением (1 , 2 , 3 , 4 ) = 0. Мы имеем следующую коммутативнуюдиаграмму:̃︀̃︀ /P3где — раздутие точки , а = ̃︀ ∘ −1 . Можно показать (см. [25]), что ̃︀является раздутием кривой . Таким образом, многообразие однозначновосстанавливается по кривой бистепени (3, 3) на гладкой квадрике. Крометого, верны следующие факты:1.

кривая имеет только ноды в качестве особенностей;2. особенности многообразия , за исключением , взаимно-однозначноотображаются в особенности кривой ;3. ранг группы классов дивизоров Cl() совпадает с количеством непри­водимых компонент кривой ;4. плоскости, лежащие на , взаимо-однозначно соответствуют кривымбистепени (1, 0), (0, 1) и (1, 1) (возможно, приводимым), состоящим изкомпонент кривой .Из них несложно вывести следующую теорему.Теорема 2.6.1.В наших условиях возможны следующие варианты:тип неприводимые ком­ () () () наборы особых точек, лежа­поненты щих на плоскостяхJ1J2J3J4J5J6J7J8(3,(3,(3,(3,(3,(3,(3,(2,(3,(2,3)13)23)33)43)52) + (0, 1)42) + (0, 1) или 52) + (1, 1)2) + (0, 1) или 62) + (1, 1)10101010102121(1 , 2 , 3 , 4 )(1 , 2 , 3 , 4 )21(1 , 2 , 3 , 4 )28J9J10J11J12J13J14J15(2, 1) + (1, 2)6(2, 1)+(1, 1)+(0, 1) 7или(3, 1)+(0, 1)+(0, 1)(2, 2)+(1, 0)+(0, 1) 62032(1 , 5 , 6 , 7 ), (2 , 3 , 4 , 7 )33733(1 ,(3 ,(1 ,(2 ,845959(1 , 2 , 6 , 8 ), (1 , 2 , 5 , 7 ),(5 , 6 , 7 , 8 ), (3 , 4 , 5 , 6 ),(3 , 4 , 7 , 8 )—10615—(2, 2)+(1, 0)+(0, 1)или(1, 1)+(1, 1)+(1, 1)(2, 1)+(1, 0)+(0, 1)++(0, 1) или (1, 1)++(1, 1)+(1, 0)+(0, 1)(1, 1)+(1, 0)+(1, 0)++(0, 1) + (0, 1)(1, 0)+(1, 0)+(1, 0)++(0, 1)+(0, 1)+(0, 1)2 ,4 ,2 ,3 ,3 ,5 ,4 ,4 ,4 ), (1 , 2 , 5 , 6 ),6 )6 ), (1 , 3 , 5 , 6 ),5 )где тип — тип многообразия в терминологии работы [25], () — ко­личество особых точек , () — ранг группы Пикара , () — числоплоскостей, лежащих на (нумерация особых точек такая же, как в ра­боте [25]).Замечание 2.6.2.

Наборы особых точек, лещажих на плоскостях, в случаяхJ14 и J15 мы не выписываем, поскольку они занимают много места и непригодятся нам в дальнейшем.29Глава 3Стандартные модели-расслоенийна коники3.1. Доказательство теоремы 1.2.1Докажем теперь теорему 1.2.1.

Напомним её формулировку:Пусть k — произвольное поле характеристики нуль. Пусть — трёхмерное алгебраическое многообразие над k, — поверхностьнад k, — конечная группа, действующая бирациональными автоморфиз­мами на и , и пусть : 99K — расслоение на рациональные кривые,причём отображение является -эквивариантным. Тогда -расслоение(, , ) имеет стандартную модель, то есть существует стандартное-расслоение на коники, эквивалентное исходному.Теорема 3.1.1.Разобьём доказательство на несколько лемм.Пусть -расслоение (, , ) удовлетворяет условиям тео­ремы 3.1.1.