Диссертация (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели), страница 8

Тогда символ Сегре равен [1, 1, 1, 1, 1, 1] или[(1, 1), (1, 1), (1, 1)].Доказательство. Согласно утверждению 4.1.1, символ Сегре многообразияТеорема 4.1.5. имеет только скобки вида () или (, 1).Если в символе Сегре многообразия есть ровно одна скобкавида (), > 1 (соотв., (, 1)), то является -бирационально эквива­лентным квадрике в P4 (соотв., -расслоению на коники).Доказательство. Рассмотрим случай скобки вида ().

Обозначим соответ­Лемма 4.1.6.ствующий ей конус через 1 , а его вершину через . Тогда точка являетсяособой -инвариантной точкой многообразия . Рассмотрим проекцию изэтой точки. Общая прямая, лежащая на 1 и проходящая через , пересека­ется с другой квадрикой 2 (которую можно считать гладкой) в двух точках,41одна из которых . В противном случае, любая образующая конуса либо це­ликом лежит на 2 , либо имеет пересечение кратности 2 в точке . Такимобразом, любая образующая конуса 1 лежит на касательной плоскости в точ­ке к 2 , чего не может быть.

Таким образом, проекция из точки является-эквивариантным бирациональным отображением на гиперповерхность сте­пени 2 в P4 .Пусть теперь скобка имеет вид (, 1). Обозначим соответствующий ейконус через 1 , а его вершину через (она является прямой). Рассмотримпроекцию из . Образом этой проекции будет неособая квадрика ′1 ⊂ P3 —основание конуса 1 . Общая плоскость, проходящая через , пересекает 2 понеособой конике. Действительно, если бы сечение общей плоскостью имелоособенность, то по теореме Бертини это была бы точка пересечения с 2 .Тогда общее сечение было бы парой прямых, проходящих через ∩ 2 , а этоозначает, что 2 — конус с вершиной в ∩ 2 . Противоречие. Таким образом,проекция из даёт нам структуру -расслоения на коники над ′1 .

Разрешивего особенности и применив -эквивариантную относительную программуминимальных моделей, мы получаем искомое -расслоение Мори на коники.Таким образом, в этом случае группа является группой расслоенного типа.Таким образом, можно считать, что любая скобка кроме (1) либо не вхо­дит в символ Сегре, либо входит более одного раза. Перечислим все возмож­ные символы Сегре, удовлетворяющие этому свойству, учитывая, что суммавсех чисел в символе Сегре равна шести:[1, 1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 1], [2, 2, 2], [3, 3], [(1, 1), (1, 1), 1, 1],[(1, 1), (1, 1), (1, 1)], [(2, 1), (2, 1)].Еслисимвол Сегре многообразия равен [2, 2, 1, 1], [3, 3] или[(2, 1), (2, 1)], то содержит ровно две особые точки, причём прямая , прохо­дящая через них, содержится в .

Действительно, в этом случае являетсяпересечением конусов с вершинами в двух особых точках . Обозначим этиконуса через 1 и 2 . Прямая, проходящая через них, целиком содержит­ся в обоих конусах, а значит лежит на их пересечении. Очевидно, что пря­мая является -инвариантной. Проекция из прямой даёт бирациональное-отображение на P3 . Действительно, рассмотрим общую плоскость, содер­жащую . Её пересечение с равно + .

Для общей плоскости прямые 1 и422 пересекаются в одной точке, не лежащей на , что и требовалось доказать.Таким образом, в этом случае группа линеаризуема.Если символ Сегре равен [2, 2, 2], то содержит ровно три особые точки,причём плоскость, проходящая через них, содержится в . Действительно,согласно доказанному выше, прямая, проходящая через любую пару особыхточек многообразия , целиком содержится в . Следовательно, пресечениеплоскости, проходящей через три особые точки многообразия , и любойквадрики из пучка, задающего , содержит как минимум три прямые, про­ходящие через пары особых точек.

Следовательно, плоскость целиком содер­жится в любой квадрике из пучка. Таким образом, многообразие содержит-инвариантную плоскость и не может быть -минимальным.Наконец, если символ Сегре равен [(1, 1), (1, 1), 1, 1], то содержит 4 осо­бые точки. Они не лежат на одной плоскости, что видно из уравнений ,см. следствие 2.5.9. Рассмотрим проекцию из трёхмерного проективного про­странства, порождённого этими точками.

Мы получаем -эквивариантноерасслоение над P1 на рациональные поверхности, являющиеся пересечения­ми двух квадрик. Применив -эквивариантное разрешение особенностей рас­слоения, а затем -эквивариантную относительную программу минимальныхмоделей, мы получим -расслоение Мори на коники или поверхности дельПеццо. Таким образом, в этом случае имеет расслоенный тип.Пусть — гладкое пересечение двух квадрик.

Это равносильно тому,что символ Сегре равен [1, 1, 1, 1, 1, 1]. В этом случае можно считать, что1 =6∑︁ 2 ,2 ==16∑︁2 ,=1где все различны, а , 1 6 6 6 — некоторая система координат. Груп­па Aut()′ (в обозначениях теоремы 4.1.4) изоморфна (C2 )5 и действует об­ращением знаков у координат 1 , ..., 5 . Группа Aut()′′ является группойавтоморфизмов P1 , сохраняющих множество из шести точек = {( : 1) | = 1, ..., 6}.В общем случае эта группа тривиальна.

Перечислим все случаи (с точностьюдо автоморфизма P1 ), в которых она нетривиальна:1. = {0 1 (04 − 14 ) = 0}. В этом случае Aut()′′ ≃ S4 ;432. = {06 + 16 = 0}. В этом случае Aut()′′ ≃ D12 ;3. = {06 + 03 13 + 16 = 0}, ̸= −2, 0, 2. В этом случае Aut()′′ ≃ D6 ;4. = {0 1 (04 + 02 12 + 14 ) = 0}, ̸= −2, 0, 2. В этом случаеAut()′′ ≃ C22 ;5. = {0 (05 + 15 ) = 0}. В этом случае Aut()′′ ≃ C5 ;6.

= {(02 + 12 )(02 + 12 )(02 + 12 ) = 0}, , ̸= −1, 0, 1, ̸= . В этомслучае Aut()′′ ≃ C2 .Этот список можно получить из классификации конечных подгрупп PGL2 (C)и полуинвариантных бинарных форм относительно действия этих групп(см. [22, §5.5]) аналогично [22, §6.4].В случаях 4 и 6, а также в случае тривиальной группыAut()′′ , группа Aut() является группой расслоенного типа.Доказательство. В этих случаях в есть соответственно одна, две или четы­Лемма 4.1.7.ре орбиты, состоящие в совокупности из 4 точек, поэтому в P5 есть инвариант­ное трёхмерное подпространство, порождаемое вершинами соответствующихконусов (они имеют координаты = для различных ).

Проекция из негодаёт искомое Aut()-расслоение.Таким образом, для доказательства теоремы 1.2.2 осталось проверитьструктуру группы Aut() в случаях (2), (3) и (5). Зная уравнения многооб­разия , в этих случаях легко явно указать образующие Aut() и проверить,что Aut() ≃ Aut()′ o Aut()′′ . В случае (1) не существует расщепляюще­го гомоморфизма Aut()′′ → Aut(), поскольку можно явно проверить, чтоу элемента Aut()′′ порядка 4 не существует прообраза в Aut() порядка 4.Поскольку ранг группы классов дивизоров () в случае гладкого пе­ресечения двух квадрик равен 1, любая подгруппа группы Aut() являетсяминимальной.Пусть — пересечение двух квадрик с символом [(1, 1), (1, 1), (1, 1)].Многообразие такого типа единственно.

Можно считать, что задано урав­нениями1 = 1 2 + 3 4 + 2 5 6 = 0,442 = 1 2 + 3 4 + 5 6 = 0,где — кубический корень из 1.Множество особых точек состоит из шести обыкновенных двойных то­чек { = } для = 1, ..., 6, () = 5, группа Cl() порождается плоскостя­ми, лежащими на (всего их 8, а их уравнения имеют вид = = = 0,где ∈ {1, 2}, ∈ {3, 4}, ∈ {5, 6}), ранг группы Cl() равен пяти, болеетого, это единственное пересечение двух квадрик с rk Cl() > 5 (см. [58]).Рассмотрим точную последовательность̂︂0 −→ Aut0 () −→ Aut() −→ Aut()−→ 0,̂︂где Aut0 () — ядро действия на Cl(), а группа Aut()действует эффек­0тивно на Cl().

Группа Aut () действует тривиально на множестве плоско­стей, а следовательно и на множестве особых точек. Из этого нетрудно выве­сти, что она является трёхмерным тором. Согласно [58, Corollary 7.4, Corollarŷ︂7.5 (i)], группа Aut()содержится в (Δ′′ ) ≃ C2 × S4 (где (Δ′′ ) — группаВейля некоторой системы корней, канонически связанной с , подробности̂︂см. в [58]). С другой стороны, группа Aut()содержит элементы, меняющиеместами координаты 2−1 и 2 , 1 6 6 3, и элементыℎ1 : (1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 ) ↦→ (3 : 4 : 5 : 6 : 1 : 2 ),ℎ2 : (1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 ) ↦→ (1 : 2 : 5 : 6 : 2 3 : 2 4 )(где — примитивный кубический корень из единицы), которые в совокупно­сти порождают подгруппу в Aut(), изоморфную C32 o S3 ≃ C2 × S4 .

Такимобразом, Aut() ≃ (C* )3 o (C32 o S3 ). Для нас будет удобно рассматривать̂︂Aut()как подгруппу в S6 (группе перестановок ) со следующими порож­дающими:1 = (1 3 2 4), 2 = (1 2), 3 = (5 6), 4 = (1 3 5)(2 4 6).Пусть многообразие является -минимальным для неко­торой конечной подгруппы Aut(). Тогда включается в следующую точ­ную последовательность:Теорема 4.1.8.0 → C × C × C → → ′ → 0,̂︂где ′ ⊂ Aut()— одна из следующих групп:C4 , C22 , C2 × C4 , D8 , C32 , C2 × D8 , S4 , C2 × A4 , C2 × S4 ,45— подгруппа тора, а , , — натуральные числа (возможно,равные единице).

Во всех случаях, кроме D8, группа ′ единственна с точ­̂︂ностью до сопряжения в Aut(), есть ровно три класса сопряжённости вслучае ′ ≃ D8.Доказательство. Рассмотрим действие на множестве плоскостей. Это мно­C × C × Cжество либо состоит из одной орбиты, либо разбивается на две орбиты, со­стоящие из плоскостей, лежащих в гиперплоскостях 2−1 = 0 и 2 = 0соответственно (поскольку сумма плоскостей в каждой орбите должна бытьпропорциональна каноническому классу), без ограничения общности можносчитать, что = 3.̂︂Рассмотрим отображение : → Aut(), являющееся ограничением̂︂отображения Aut() → Aut(), и обозначим через ′ его образ. В ядреотображения находится конечная подгруппа (C* )3 , поэтому ядро изоморф­но C × C × C .

Группа ′ также минимальна, поскольку тор (C* )3 действуетна группе Cl() тривиально. Классифицируем все возможные минимальные̂︂подгруппы Aut()с точностью до сопряжения.Сначала предположим, что мы в ситуации, когда множество плос­костей разбивается на две орбиты. Тогда ′ лежит в D8 — подгруппе̂︂⟨1 , 2 ⟩ ⊂ Aut(). Минимальная подгруппа должна иметь порядок 4 или 8.Явной проверкой можно убедиться, что минимальными являются следующиеподгруппы:1 = ⟨1 ⟩ ≃ C4 ,2 = ⟨12 , 2 ⟩ ≃ C22 ,3 = ⟨1 , 2 ⟩ ≃ D8 .Теперь рассмотрим случай, когда все плоскости лежат в одной орбите, нопорядок ′ не делится на 3.

Тогда без ограничения общности можно считать,что ′ ⊂ ⟨1 , 2 , 3 ⟩ ≃ C2 ×D8 (так как все силовские 2-подгруппы сопряженыэтой, а нас интересуют подгруппы с точностью до сопряжения). В этом случае′ является одной из следующих групп:4 = ⟨1 , 3 ⟩ ≃ C2 × C4 ,5 = ⟨12 , 2 , 3 ⟩ ≃ C32 ,7 = ⟨1 3 , 2 ⟩ ≃ D8 ,6 = ⟨1 , 2 , 3 ⟩ ≃ C2 × D8 ,8 = ⟨1 , 2 3 ⟩ ≃ D8 .Теперь рассмотрим случай, когда все плоскости лежат в одной орбите,̂︂и порядок ′ делится на 3. Тогда либо ′ совпадает с Aut(), либо являетсяподгруппой индекса 2, поскольку её порядок обязан делиться на 8.

Среди трёх46подгрупп индекса 2 (одна изоморфна S4 и две изоморфны C2 × A4 ) ровно двеявляются минимальными:9 = ⟨1 , 2 3 , 4 ⟩ ≃ S4 ,10 = ⟨12 , 2 , 3 , 4 ⟩ ≃ C2 × A4 .Если в обозначениях теоремы 4.1.8 группа ′ не со­держит элемента третьего порядка, то группа имеет расслоенный тип.Доказательство. В этом случае ′ сопряжена подгруппе для некоторогоПредложение 4.1.9. < 9. Из явного описания этих групп с помощью образующих видно, чтомножество из четырёх точек(1 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0), (0 : 1 : 0 : 0 : 0 : 0), (0 : 0 : 1 : 0 : 0 : 0), (0 : 0 : 0 : 1 : 0 : 0)является-инвариантным. Поэтому проекция из подпространства{5 = 6 = 0} задаёт -эквивариантное расслоение на рациональныеповерхности.