Диссертация (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели), страница 12

Поскольку точки с орбитой длины 10 изолированы (см. лем­му 5.2.4), группа S3 не может действовать тривиально на 1 . Поэтому ядродействия совпадает с C3 и на 1 есть вторая S3 -инвариантная точка. Очевид­но, она имеет вид (1 : : : : : ), где 1 + 3 + 2 = 1 + 33 + 23 = 0. Нопрямая, проходящая через точки (0 : 0 : 0 : 0 : 1 : −1) и (1 : : : : : )не лежит на : легко видеть, что точка (1 : : : : + 1 : − 1) не удовле­творяет уравнениям многообразия . Полученное противоречие доказывает,что случай = 10 невозможен.Допустим теперь, что = 5. В этом случае 1 является неособой плос­кой кривой степени 2, инвариантной относительно группы A4 . Без ограни­чения общности можно считать, что эта группа фиксирует координаты 0 и1 . Поскольку плоскость, содержащая 1 , инвариантна относительно A4 , тоэта группа имеет трёхмерное подпредставление в пятимерном представлении.Легко видеть, что пятимерное представление распадается в прямую суммудвух тривиальных представлений и трёхмерного симплициального представ­63ления.

Из этого следует, что 1 содержится в проективизации этого симпли­циального представления. Соответствующую плоскость можно задать урав­нениями 0 = 1 =5∑︀ = 0, поэтому 1 ⊂ 0 . Противоречие.=0Рассмотрим теперь случай = 1. В этом случае 1 = является̃︀ — нормализация . Тогда груп­-инвариантной кривой степени 10.

Пусть ̃︀ и имеет орбиту длины 10, состоящуюпа A5 действует нетривиально на из прообразов точек ∩ 0 (эти точки не являются особыми точками кри­вой , иначе индекс пересечения с 0 был бы выше). Но это невозможноввиду [14, Lemma 5.1.4]. Полученное противоречие завершает рассмотрениеслучая 1 ̸⊂ 0 .Предположим теперь, что 1 ⊂ 0 . Заметим, что 0 ∩ является неосо­бой кубической поверхностью с действием группы A5 . Такая кубика един­ственна — она называется.

Согласно [14, Theorem 6.3.18],степень кривой равна 6. Пусть — общее гиперплоское сечение . По­скольку ℳ не имеет басисных компонент,кубикой Клебша6 = ℳ · 0 · > mult ·ℳ · · > 6.Полученное противоречие завершает доказательство леммы.Точка не может быть центром неканонической особенностипары (, .Доказательство. Пусть особая точка является центром неканоническойЛемма 5.2.6.1 ℳ)особенности. Поскольку особые точки образуют одну -орбиту, все они явля­ются неканоническими центрами. Рассмотрим плоскость , лежащую на ,и пусть — общая коника, проходящая через 4 особые точки многообра­зия , лежащие на . Поскольку линейная система ℳ не имеет базисныхкомпонент, не лежит на общем представителе 1 ∈ ℳ.

Тогда, согласнотеореме 2.3.3,)︂(︂4=·11> 4 · mult ℳ > 4.Противоречие.Пусть гладкая точка является центром неканонической особенности.Если орбита точки имеет длину 5, то согласно лемме 5.2.4 прямые, проходя­щие через пары точек из орбиты точки , не лежат на . Таким образом,линейная система кубических гиперповерхностей в P4 , имеющих особенности64в орбите точки , не имеет базисных кривых на .

С другой стороны, пусть1 и 2 — два общих элемента ℳ, а = 1 · 2 . Пусть — общая кубиче­ская гиперповерхность в P4 , имеющая особые точки в орбите точки . Тогдапо теореме 2.3.2362 = 1 · 2 · = · > 5 · 42 · 2 = 402 ,противоречие.Во всех остальных случаях по лемме 5.2.4 в орбите точки можно вы­брать 6 точек таким образом, что линейная система квадрик в P5 , проходя­щих через эти 6 точек, не содержит базисных кривых. Пусть 1 и 2 — дваобщих элемента ℳ, а = 1 · 2 . Тогда по теореме 2.3.2 верна формула242 = 1 · 2 · = · > 6 · 42 = 242 .Полученное противоречие завершает доказательство леммы.Кубика Сегре с действием стандартной подгруппы = A5 ⊂ Aut() является -бирационально жёсткой.Доказательство.

Доказательство непосредственно следует из лемм 5.2.5Теорема 5.2.7.и 5.2.6.5.3. Кубические гиперповерхности с девятью особымиточкамиВ этом параграфе мы рассматриваем случай, когда является ку­бической гиперповерхностью в P4 типа J14, удовлетворяющей предположе­нию 5.1.1, а — соответствующая минимальная подгруппа Aut(). В этомслучае является гиперплоским сечением четырёхмерной кубической ги­перповерхности ⊂ P5 , заданной уравнением: 1 2 3 = 1 2 3 (см. [69,Prop.

2.2]). Можно показать, что группа Aut() изоморфна (k* )4 o (S23 o C2 ),где алгебраический тор (k* )4 действует на координатах диагональным об­разом, а подгруппа S23 o C2 действует естественным образом, переставляякоординаты (см. [69, Lemma 1.1]). Множество особых точек Sing() состоитиз девяти прямых = { = = 0, ̸= , ̸= },65которые пересекают многообразие в множестве его особых точек. Крометого, содержит девять трёхмерных проективных пространств = { = = 0},причём пересечения этих подпространств с являются плоскостями, лежа­щими на .

Заметим, что имеется естественная Aut()-эквивариантная би­екция ↔ между прямыми особых точек и трёхмерными проективнымипространствами на .Предположим, что гиперплоскость, высекающая , имеет уравнение1 1 + 2 2 + 3 3 + 1 1 + 2 2 + 3 3 = 0.Заметим, что для любого верно, что ̸= 0 и ̸= 0. Действительно, иначенекоторые прямые из Sing() пересекают в одной и той же точке, чтоневозможно по предположению. С помощью диагональной замены координатможно добиться того, что 1 = 2 = 3 = , 1 = 2 = 3 = 1 для некоторого. Легко видеть, что если 31 = 32 , то соответствующие гиперплоские сеченияизоморфны.

Заметим, что если = −1, то точка (1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 1) являетсяособой точкой многообразия , и в этом случае — кубика Сегре. Обратно,если 3 ̸= −1, 0, то содержит ровно 9 обыкновенных двойных точек вкачестве особенностей.Пусть = ∩ — некоторое гиперплоское сечение много­образия , причём множество Sing() состоит из девяти обыкновенныхдвойных точек. Тогда любой автоморфизм ∈ Aut( ) индуцирован с авто­морфизма ∈ Aut().Доказательство.

Доказательство этого предложения неявным образом со­Лемма 5.3.1.держится в доказательстве [69, Prop. 2.2]. Для удобства мы воспроизведёмдоказательство здесь.Пусть — некоторый автоморфизм многообразия . Тогда существует(не единственный) автоморфизм ̃︀ ∈ PGL6 (k) такой, что |̃︀ = . Пусть ′ = ()̃︀. Заметим, что ′ ∩ = ∩ , где — гиперплоскость, высекаю­щая . Таким образом, нам осталось показать следующий факт: существуеттакой автоморфизм ∈ PGL6 (k), что () = ′ и | = Id. Обозначим че­рез подгруппу PGL6 (k), состоящую из всех элементов, действующих три­виально на .

Очевидно, что действует транзитивно на P5 ∖ .66Многообразие содержит 9 трёхмерных проективных подпро­странств . Поэтому ′ тоже удовлетворяет этому свойству. Обозначимтрёхмерные подпространства, лежащие на , через ′ . Мы можем считать,что ∩ = ′ ∩ (поскольку оба множества пересечений состоят издевяти плоскостей на ). Рассмотрим точку = (1 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0), = ∩̸=1 .Мы можем считать, что ∩̸=1 = ∩̸=1 ′ (этого всегда можно добиться,применив некоторый автоморфизм ′ ∈ ). Из того, что ∩ = ′ ∩ мы получаем в этом случае, что = ′ если ̸= 1. Пусть ′ = 0 — урав­нение ′ .

Тогда ′ содержится в пересечении идеалов ∩̸=1 ( , ). Несложнопоказать, что это пересечение является идеалом (2 3 , 1 2 3 ), поэтому мож­но считать, что ′ = 2 3 − 1 2 3 для некоторого ненулевого полинома .Предположим, что имеет уравнение = 0. Мы знаем, что полиномы ′ и1 2 3 −1 2 3 совпадают на , а многообразие неприводимо. Из этого лег­ко вывести, что = − 1 и ′ = (1 + )2 3 − 1 2 3 (после нормировки).Поэтому автоморфизм , действующий по правилу1 ↦→ 1 + , 2 ↦→ 2 , 3 ↦→ 3 , ↦→ содержится в и переводит в ′ . Следовательно, композиция ∘̃︀ являетсятребуемым автоморфизмом , индуцирующим .Таким образом, мы получили, что группа Aut() изоморфна S23 o C2 ,если 3 = 1, и S23 , если 3 ̸= ±1, 0. Но во втором случае имеетсяAut()-инвариантная плоскость 1 = 2 = 3 , поэтому группа Aut() име­ет расслоенный тип по лемме 5.1.3.

Таким образом, мы можем считать, чтомногообразие задано системой уравнений{︃ 1 2 3 − 1 2 3 =3∑︁ +=13∑︁}︃ = 0⊂ P5 .=1Теперь мы опишем все возможные минимальные подгруппы ⊂ S23 oC2 .Мы будем рассматривать S23 oC2 как подгруппу S6 с естественным действиемна координатах.Предложение 5.3.2.Группа совпадает с одной из следующих групп:S23 , C23 o C4 , S23 o C2 ,67где первая группа действует транзитивно на множестве координат. Об­ратно, все эти подгруппы минимальны.Доказательство.

Напомним, что имеется естественная биекция ↔ между прямыми особых точек и трёхмерными пространствами на . Этабиекция индуцирует Aut()-эквивариантную биекцию между особыми точ­ками и плоскостями на . Поскольку порядок группы не делится на 5,-орбита особой точки не может иметь длину 5. Поэтому группа действу­ет транзитивно на Sing() по следствию 5.1.4, и, следовательно, все плоско­сти также лежат в одной -орбите. Поскольку группа Cl() является сво­бодной абелевой группой, порождённой классами плоскостей (см.

[58]), всетакие подгруппы минимальны. Подгруппа группы Aut() действует транзи­тивно на множестве Sing() из девяти точек, следовательно, она содержитсиловскую 3-подгруппу C23 ⊂ Aut() (эта подгруппа является нормальной и,следовательно, единственной подгруппой порядка 9). Обратное утверждениепроверяется явным образом.С другой стороны, группа не может действовать на координатах , 1 6 6 3 и , 1 6 6 3 по отдельности (т.е.

сохраняя множествокоординат ), поскольку иначе имеется -инвариантная плоскость. Крометого, группа S3 × C3 имеет только одно- и двумерные неприводимые пред­ставления, поэтому все подгруппы Aut(), изоморфные S3 × C3 , имеют трёх­мерное подпредставление в нашем пятимерном представлении. Поэтому всетакие подгруппы имеют инвариантную плоскость, следовательно они имеютрасслоенный тип. Таким образом, является одной из групп, перечисленныхв предложении.5.4. Кубические гиперповерхности типа J11В этом параграфе является кубической гиперповерхностью в P4 типаJ11, причём удовлетворяет предположению 5.1.1, а — соответствующаяминимальная подгруппа Aut().