Диссертация (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели), страница 11

В неко­торой аналитической окрестности их можно задать уравнением2 + 2 + 2 + = 0, > 1. Следовательно, они(определение см. в [58, Definition 10.1, Proposition 10.3]). С другой стороны,rs-невырождены58() = rk Cl() 6 3 согласно [58, Theorems 1.7, 7.1, 8.1]. Поэтому мы можемвоспользоваться следующей формулой (см. [58, Proposition 10.6]):∑︁̂︀ 6 7,(, ) 6 () − () + ℎ1,2 ( ′ ) − ℎ1,2 ()(5.1) ∈ Sing()где ′ — общая гладкая кубическая трёхмерная гиперповерхность, () —̂︀ — стандартное разрешениечисло Пикара многообразия , многообразие (см. [58, Definition 10.1]) и (, ) — число исключительных дивизоров̂︀ → над точкой .

Из (5.1) следует, что (, ) = 1 дляморфизма всех особых точек, их не более семи, и все они имеют один и тот же типпо следствию 5.1.4. Проделав несложные вычисления для раздутия, легко ви­деть, что (, ) > 1 (т.е. особенность не разрешается одним раздутием) если > 3, поэтому = 3. Предположим, что число особенностей больше пяти.Тогда из формулы (5.1) следует, что () > 2, в частности, многообразие не Q-факториально. С другой стороны, особенность вида 2 + 2 + 2 + 3 = 0является Q-факториальной (см. [65, Corollary 1.16]). Противоречие. Поэтомучисло точек типа 1 , которые не являются обыкновенными двойными, непревосходит 5.Общность положения является простым следствием леммы 5.1.7.Замечание 5.1.10.

Ниже (см. §5.6) мы покажем, что оба случая из предложе­ния 5.1.9 не реализуются.5.2. Кубика СегреВ этом параграфе многообразие является кубической гиперповерхно­стью в P4 типа J15, удовлетворяющей предположению 5.1.1, а — соответ­ствующая минимальная подгруппа Aut(), не являющаяся линеаризуемойи группой расслоенного типа. Многообразие такого типа единственно с точ­ностью до изоморфизма. Оно называетсяи может быть явнозадано следующей системой уравнений:кубикой Сегре6∑︁=1 =6∑︁3 = 0=1в P5 . Это многообразие имеет много интересных свойств (см., например, [21,§9.4.4]):59∙ это единственная трёхмерная кубическая гиперповерхность, имеющаядесять изолированных особенностей;∙ группа автоморфизмов многообразия изоморфна S6 и действует на перестановками координат;∙ многообразие содержит ровно 15 плоскостей, которые лежат в однойAut()-орбите, одна из них может быть задана следующей системойуравнений:1 + 2 = 3 + 4 = 5 + 6 = 0;∙ особые точки многообразия образуют Aut()-орбиту, одна из нихимеет координаты (1 : 1 : 1 : −1 : −1 : −1).Подгруппа S5 ⊂ S6 при естественном действии группыS6 на множестве из 6 элементов называется, если она являетсястабилизатором какого-либо элемента.

А противном случае подгруппа назы­вается.Определение 5.2.1.стандартнойнестандартнойПредложение 5.2.2.Aut() ≃ S6:Группа совпадает с одной из следующих подгруппA5 , S5 , A6 , S6 ,где S5 и A5 — стандартные подгруппы.Доказательство. Это несложно показать,используя список подгрупп S6(его несложно построить, используя, например, [75]) и следующие простыефакты:∙ группа с естественным действием на координатах не может иметь ин­вариантной пары координат: иначе имеется -инвариантная плоскостьв P4 ;∙ группа не содержится в подгруппе S23 o C2 ⊂ Aut(), посколькуэта подгруппа является стабилизатором особой точки многообразия (см.

[61, p. 252]);∙ любая нестандартная подгруппа S5 ⊂ Aut() имеет орбиту длины 5 намножестве плоскостей, лежащих на (см. [61, Lemma 3.8]). Сумма всех60плоскостей из этой орбиты не может быть пропорциональна канониче­скому классу многообразия , поэтому нестандартные подгруппы S5не являются минимальными. Как следствие, не содержится в нестан­дартной подгруппе S5 ;∙ любая подгруппа ≃ S4 ×C2 , действующая транзитивно на множествекоординат, является стабилизатором некоторой плоскости, содержащей­ся в , поскольку все подгруппы такого типа сопряжены, а стабилиза­тор плоскости является именно такой подгруппой. Как следствие, неявляется подгруппой .Используя эти факты, мы исключаем все возможные подгруппы Aut(),за исключением тех, которые перечислены в формулировке предложения.С другой стороны, все перечисленные подгруппы действуют транзитивно намножестве плоскостей, поэтому они являются минимальными.Замечание.5.2.3 И.

Чельцов и К. Шрамов в работе [12] доказали, что ку­бика Сегре с действием группы = A6 является -бирационально жёсткой(см. 2.3.1). Таким образом, -бирациональная жёсткость кубики Сегре состандартным действием групп A5 или S5 — единственный открытый вопросотносительно -жёсткости кубики Сегре.Далее мы покажем, что если ≃ A5 — стандартная подгруппаS6 = Aut(), то многообразие является -бирационально жёстким.

Безограничения общности можно считать, что фиксирует координату 1 . Обо­значим гиперплоскость {1 = 0} через 0 . Пусть ℳ ⊂ | − | — некоторая-инвариантная линейная система без неподвижных компонент.Если -орбита гладкой точки состоит не более чем из 11элементов, то либо она совпадает с орбитой точки (0 : 0 : 0 : 0 : 1 : −1)и состоит из 10 элементов, либо она совпадает с орбитой точки(1 : : : : : ), где 1 + 3 + 2 = 1 + 33 + 23 = 0, и состоит из10 элементов, либо она совпадает с орбитой точки (1 : : : : : ),где 1 + 4 + = 1 + 43 + 3 = 0, и состоит из 5 элементов.

Прямая,проходящая через любые две точки орбиты из 5 точек, не содержится вмногообразии . В любой другой орбите можно выбрать 6 точек такимобразом, что никакие 3 не лежат на одной прямой и никакие 5 — на однойплоскости.Лемма 5.2.4.61Доказательство.Если точка не принадлежит 0 , то можно считать, что0 = 1. Очевидно, что в этом случае длина её орбиты равна количествувозможных перестановок координат 2 , ..., 6 . Равными эти коорди­наты быть не могут, что несложно видеть из уравнений . Если все координа­ты, кроме одной, равны, то орбита состоит из 5 точек.

Если три координатыравны и две оставшиется тоже равны, то орбита состоит из 52 = 10 точек.В остальных случаях точек больше 11. Если же точка принадлежит 0 , тоутверждение следует из [14, Lemma 6.3.12].Вторая часть утверждения легко проверяется напрямую.Третья часть утверждения делается явным перебором всехвозможных орбит. Рассмотрим, например, общий случай: точка = (1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 ) имеет 1 = 1, а все остальные коорди­наты различны. Рассмотрим точкираз­личных = (1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 ), 1 = (1 : 3 : 4 : 2 : 5 : 6 ),2 = (1 : 2 : 4 : 5 : 3 : 6 ), 3 = (1 : 2 : 3 : 5 : 6 : 4 ),4 = (1 : 5 : 3 : 4 : 6 : 2 ), 5 = (1 : 3 : 6 : 4 : 5 : 2 ).Очевидно, они лежат в одной -орбите.

Докажем, что никакие три из них нележат на одной прямой. Точки и имеют по три одинаковые координатыдля любого , причем у всех остальных точек эти координаты отличаются(как минимум одна). Значит, на прямой, проходящей через и , нет другихточек из нашего списка. Аналогично показывается, что прямые, проходящиечерез и +1 для = 1, ..., 4, а также через 1 и 5 , тоже не содержат другихточек из нашего набора. Из пяти точек невозможно выбрать три точкитаким образом, чтобы ни у каких двух не было индексов, отличающихся на1, и среди них не было пары 1 и 5 .

Таким образом, никакие три точки нележат на одной прямой.Легко проверить, что точки , 1 , 2 , 3 лежат в общем положении. Ес­ли среди наших точек есть пять в общем положении, то никакие пять немогут лежать на одной плоскости. Если же таких точек нет, то заменим 4на другую точку из -орбиты таким образом, что , 1 , 2 , 3 , 4 лежат вобщем положении.

При этом, очевидно, по-прежнему никакие три точки небудут лежать на одной прямой, а кроме того никакие пять не лежат на однойплоскости.Остальные случаи рассматриваются аналогичным образом.62Кривая не может быть центром неканоничеcкой особенно­сти пары (, 1 ℳ).Доказательство. Пусть 1 — неприводимая кривая, являющаяся неканони­Лемма 5.2.5.ческим центром, = deg 1 — её степень, { | 1 6 6 } — её -орбита,а =∑︀ . Пусть — достаточно общее гиперплоское сечение , а 1 и=12 — общие элементы ℳ. Тогда по теореме 2.3.4122 = · 1 · 2 > (mult ℳ)2 · > 2 .Из этого следует, что 6 11.

Поскольку является индексом некоторойподгруппы , то может быть равным 1, 5, 6 или 10.Рассмотрим сначала случай 1 ̸⊂ 0 . В этом случае ̸⊂ 0 для любо­го , а ·0 = 6 11. Таким образом, согласно лемме 5.2.4, ·0 = 10 = ,поэтому не может равняться 6.Пусть = 10. В этом случае кривая 1 является прямой, а её стабили­затор является подгруппой A5 индекса 10, значит он изоморфен S3 , причёмточка пересечения 1 ∩0 неподвижна относительно действия стабилизатора.Без ограничения общности можно считать, что эта точка имеет координаты(0 : 0 : 0 : 0 : 1 : −1), а стабилизатор 1 порождён элементами (2 3 4) и(2 3)(5 6). Группа S3 не может действовать на 1 эффективно, имея непо­движную точку.