Диссертация (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели), страница 13

В следующем предложении мы покажем,что такой случай не реализуется.Предложение 5.4.1.ствует.-многообразие68с такими свойствами не суще­Доказательство.Предположим, что -многообразие существует. Любоемногообразие типа J11 имеет 6 обыкновенных двойных точек и не имеетдругих особенностей.

Кроме того, содержит три плоскости Π1 , Π2 и Π3 ,каждая плоскость содержит ровно 4 особенности, и каждая особенность ле­жит ровно на двух плоскостях. Обозначим особые точки многообразия через 1 , ..., 6 . Мы можем считать, что плоскости Π1 , Π2 и Π3 содержат(1 , 2 , 3 , 4 ), (1 , 2 , 5 , 6 ) и (5 , 6 , 3 , 4 ) соответственно. В сумме эти плос­кости образуют гиперплоское сечение многообразия и имеют ровно однуобщую точку. Обозначим её через 0 . Пусть 12 — прямая, проходящая через1 и 2 , 34 — прямая, проходящая через 3 и 4 и 56 — прямая, проходящаячерез 5 и 6 . Автоморфизм 12 ≃ P1 , меняющий местами точки 1 и 2 и остав­ляющий на месте 0 имеет вторую неподвижную точку, обозначим её через12 . Аналогичным образом определябтся точки 34 ∈ 34 и 56 ∈ 56 .

Заметим,что 12 , 34 и 56 образуют Aut()-орбиту. Действительно, точка канонич­ным образом определяется по тройке точек 0 , , ∈ . Поскольку группаAut() сохраняет точку 0 , прямые и множество точек , = 1...6, мно­жество точек также сохраняется. Эти точки не лежат на одной прямой,поэтому плоскость, проходящая через них, является Aut()-инвариантной,что противоречит лемме 5.1.3. Полученное противоречие доказывает утвер­ждение.5.5. Кубические гиперповерхности типа J9В этом параграфе является кубической гиперповерхностью в P4 ти­па J9, причём удовлетворяет предположению 5.1.1, а — соответствующаяминимальная подгруппа Aut(). В этом случае имеет ровно шесть особен­ностей, являющихся обыкновенными двойными точками, в общем положениипо утверждению 5.1.8 и лемме 5.1.7).

Следовательно, группа Aut() есте­ственным образом вложена в группу перестановок особых точек S6 . Нижемы рассматриваем группу Aut() как подгруппу в S6 и используем соответ­ствующие обозначения для её элементов. Можно считать, что особенности имеют координаты1 = (1 : 0 : 0 : 0 : 0), 2 = (0 : 0 : 1 : 0 : 0), 3 = (0 : 0 : 0 : 0 : 1),4 = (0 : 1 : 0 : 0 : 0), 5 = (0 : 0 : 0 : 1 : 0), 6 = (1 : 1 : 1 : 1 : 1).69Уравнение многообразия в этой системе координат имеет вид∑︁ = 0,(5.2)06<<64где для любого 0 6 6 4 сумма коэффициентов, которые имеют в каче­стве одного из индексов, равна нулю (это условие является необходимым идостаточным для наличия особенности в точке 6 ).

Поскольку группа Aut()не является ни линеаризуемой, ни группой расслоенного типа, она действуеттранзитивно на множестве Sing() по следствию 5.1.4.В некоторой системе координат многообразие име­ет уравнение (5.2), причёмПредложение 5.5.1.024 = , 012 = −123 = 234 = , 014 = −013 = 023 = ,(5.3)034 = 124 = −134 = , + + + = 0,где , , и — некоторые ненулевые числа. Более того,(i) если = = − = −, или = − = = −, или = − == − = , то Aut() ≃ S5 ;(ii) если = = , то Aut() ≃ S23 o C2 и группа Aut() являетсянормализатором силовской 3-подгруппы группы S6;(iii) если = − , или = − , или = −, то Aut() ≃ S4;(iv) если = , или = , или = , то Aut() ≃ D12;(v) во всех остальных случаях Aut() ≃ S3.Доказательство.

Заметим, что все коэффициенты ненулевые. Действи­тельно, предположим, что 012 = 0. Рассмотрим проекцию из точки 3 нагиперплоскость 4 = 0. Образом исключительного дивизора этой проекцииявляется персечение квадрики∑︁4 = 006<63и кубики013 0 1 3 + 023 0 2 3 + 123 1 2 3 = 0.Но эта кубика приводима, что невозможно, поскольку имеет тип J9 (деталисм. в [25]).70Любая подгруппа группы S6 , действующая транзитивно на множествеособенностей, содержит элемент порядка 3, действующий с двумя орбита­ми длины 3 (это несложно видеть, используя таблицу подгрупп S6 , напри­мер, [75]).

Без ограничения общности можно считать, что этот элемент имеетвид (1 2 3)(4 5 6). Более того, мы можем явно записать этот автоморфизм внашей системе координат:(0 : 1 : 2 : 3 : 4 ) ↦→ (4 − 3 : −3 : 0 − 3 : 1 − 3 : 2 − 3 ).Этот автоморфизм отображает в гиперповерхность с уравнением234 0 1 2 + 134 0 1 3 + 124 0 1 4 + 034 0 2 3 + 024 0 2 4 ++014 0 3 4 − 012 1 2 3 − 013 1 2 4 − 023 1 3 4 − 123 2 3 4 = 0.Эта кубика совпадает с тогда и только тогда, когда выполнено усло­вие (5.3).

Более того, автоморфизм (1 4)(2 6)(3 5) в этом случае тоже действу­ет на . Поэтому если условие (5.3) выполнено, то группа Aut() действуеттранзитивно на множестве Sing().Предположим теперь, что группа Aut() содержит группу = ⟨(1 2 3)(4 5 6), (1 4)(2 6)(3 5)⟩ ≃ S3в качестве собственной подгруппы.

Имеется ровно семь групп ′ таких, что ( ′ и не существует промежуточных групп между и ′ :∙ три группы, изоморфные D12 . Они порождены и либоℎ11 = (1 4 2 5 3 6), либо ℎ12 = (1 5 2 6 3 4), либо ℎ13 = (1 6 3 2 5 4)соответственно;∙ единственная подгруппа, изоморфная S3 × C3 , она порождена иℎ2 = (1 2 3);∙ три группы, изоморфные S4 . Они порождены и либо ℎ31 = (1 2 4 5),либо ℎ32 = (1 2 5 6), либо ℎ33 = (1 2 6 4) соответственно.Путём явных вычислений, несложно видеть, что∙ ℎ11 сохраняет ⇐⇒ = ;∙ ℎ12 сохраняет ⇐⇒ = ;71∙ ℎ13 сохраняет ∙ ℎ2 сохраняет ⇐⇒ = ;⇐⇒ = = ;∙ ℎ31 сохраняет ⇐⇒ = −;∙ ℎ32 сохраняет ⇐⇒ = − ;∙ ℎ33 сохраняет ⇐⇒ = − .Если = = , то, очевидно, группа Aut() содержит также элементы(1 2) и (4 5) и не содержит элемент ℎ31 , поэтому она изоморфна S23 o C2 .Предположим теперь, что Aut() ) D12 = ⟨, ℎ11 ⟩ и Aut() не содер­жит ℎ2 .

Тогда имеет место одна из двух возможностей: либоAut() ≃ S4 × C2 = ⟨D12 , ℎ32 ⟩,либоAut() ≃ S5 = ⟨D12 , ℎ31 ⟩ = ⟨D12 , ℎ33 ⟩.В первом случае мы имеем = , = −, + + + = 0,поэтому = = 0, противоречие. Во втором случае = = − = −.Остальные группы, изоморфные D12 , рассматриваются аналогично.Предположим теперь, что Aut() ) S4 = ⟨, ℎ31 ⟩. Тогда имеет местоодна из трёх возможностей: либоAut() ≃ S4 × C2 = ⟨S4 , ℎ12 ⟩,либоAut() ≃ S5 = ⟨S4 , ℎ11 ⟩,либоAut() ≃ S5 = ⟨S4 , ℎ13 ⟩.Все эти варианты уже были рассмотрены выше.72Замечание 5.5.2. Несложно показать, что гиперповерхность, заданная урав­нением (i) или (ii) из утверждения 5.5.1, имеет тип J9.В обозначениях утверждения 5.5.1 группа Aut()не может быть изоморфна S3, S4 или D12. Если Aut() ≃ S5, то = Aut(). Если Aut() ≃ S23 o C2 , то совпадает либо с Aut(), либос единственной подгруппой группы Aut(), изоморфной S23 и действующейтранзитивно на Sing(), либо с C23 o C4.Доказательство.

В доказательстве мы будем использовать обозначения изПредложение 5.5.3.доказательства утверждения 5.5.1. Предположим, что Aut() равна илиD12 = ⟨, ℎ11 ⟩ (последнее равенство мы можем предположить без ограниче­ния общности, поскольку нас интересуют подгруппы с точностью до сопря­жения в S6 ). Рассмотрим точку (1 : −1 : 0 : −1 : 1). Тогда Aut()-орбитаэтой точки состоит из трёх элементов(1 : −1 : 0 : −1 : 1), (2 : 1 : 2 : 0 : 1), (1 : 0 : 2 : 1 : 2).Эти три точки не лежат на одной прямой, поэтому плоскость, проходящаячерез них, является Aut()-инвариантной. В случае Aut() ≃ S4 = ⟨, ℎ31 ⟩мы можем рассмотреть точку (1 : 1 : 1 : 1 : 2) с тем же свойством.

В любомслучае Aut() имеет расслоенный тип по лемме 5.1.3, противоречие.Обозначим через проекцию на гиперплоскость = {0 = 0} из точ­ки 1 . Образом исключительного дивизора отображения является пара ра­циональных кривых Γ1 и Γ2 , особые точки , > 1 отображаются в пять то­чек пересечения Γ1 ∩ Γ2 (подробности см.

в [25]). Обозначим = ( ), > 1.Пусть — прообраз кривой Γ . Тогда класс 1 и 21 порождают Cl()(см. [25]) и 1 + 2 ∼ − .Замечание 5.5.4. Поверхности 1 и 2 зависят от выбора особой точки, из ко­торой осуществляется проекция. Однако их классы в Cl() от выбора точкине зависят.Предположим, что Aut() ≃ S5 .

Поскольку действует транзитивнона Sing() и не содержится ни в S4 , ни в D12 , группа должна быть равналибо A5 , либо S5 . Группа A5 не может действовать на решётке Cl() так,что rk Cl() = 1, следовательно = Aut(). Осталось показать, что груп­па Aut() минимальна. Пусть ≃ C5 o C4 — стабилизатор точки 1 . Тогда является -эквивариантным отображением. Подгруппа C5 ⊂ действует73нетривиально на Sing(). Поэтому группа не может действовать на раци­ональной кривой, и, следовательно, переставляет кривые Γ . Таким образом, переставляет 1 и 2 , поэтому , а следовательно и Aut(), минимальна.Наконец, рассмотрим случай Aut() ≃ S23 o C2 .

Стабилизатор точки1 изоморфен S3 × C2 ≃ D12 и действует точно на Sing() ∖ {1 } с двумяорбитами длины 2 и 3 соответственно. Поэтому стабилизатор точки 1 неможет действовать на Γ1 и Γ2 по отдельности, следовательно, группа Aut()минимальна по тем же причинам, что и в предыдущем случае.Ядро гомоморфизмаAut() → Aut(Cl()) ≃ GL2 (Z)является подгруппой группы Aut() индекса 2. Группа Aut() имеет ровнотри подгруппы индекса 2: группа 1 ≃ S23 , которая действует нетранзитив­но на множестве Sing(), группа 2 ≃ S23 , действующая транзитивно наSing() и группа 3 ≃ C23 o C4 .

Первая группа имеет тот же стабилизаторточки 1 , что и Aut(), поэтому она не может быть ядром.Допустим, что = (1 4)(2 6)(3 5) ∈ 2 действует тривиально на Cl().Несложно показать, что множество -инвариантных точек многообразия ̃︀ → —состоит из (гладкой) эллиптической кривой и трёх точек. Пусть : -эквивариантное малое разрешение особенностей. Тогда стягивание некото­рого экстремального луча даёт нам -эквивариантное P1 -расслоение над P2(см. [58, Theorem 5.2]).

Если действует тривиально на базе, то имеется диви­̃︀ , и то же самое верно для , поскольку морфизмзор неподвижных точек на малый. Противоречие. Если действует нетривиально на базе, то множе­ство -инвариантных точек на P2 состоит из прямой и точки. Следовательно,̃︀ . Эти прямые не могут бытьимеется две прямые неподвижных точек на стянуты морфизмом , поскольку нет -инвариантных особых точек на .Это невозможно. Следовательно, действует нетривиально на Cl(). Такимобразом, 3 является искомым ядром.Группа является подгруппой Aut(), действующей транзитивно наSing() и не являющейся подгруппой группы C23 o C4 .