Диссертация (Автоморфизмы алгебраических многообразий и минимальные модели), страница 4

Пусть 99K — -эквивариантноедоминантное рациональное отображение, общий слой которого являетсярациональной кривой или рациональной поверхностью. Тогда существуетследующая коммутативная диаграмма:Лемма2.1.9.//′(2.1)′где ′ → ′ — -расслоение Мори, все горизонтальные стрелки-эквивариантны, а 99K ′ бирационально.Доказательство. Заметим, что произвольное -многообразие можно экви­вариантно компактифицировать, взяв произвольную компактификацию фак­тора / и нормализовав её в поле функций k().

Поэтому без ограниченияобщности можно считать, что и проективны. Затем мы применяем экви­варинтное разрешение особенностей (см. [1]). Таким образом, можно считать,что 99K является -эквивариантным морфизмом между гладкими мно­гообразиями. Применим затем -эквивариантную программу минимальныхмоделей для над (см. 2.2.4). Поскольку все слои морфизма → раци­онально связны, в конце мы получим искомое -расслоение Мори ′ → ′ .Это даёт нам искомую коммутативную диаграмму.2.2. Программа минимальных моделейОпределение 2.2.1.Стягиванием мы будем называть произвольный доми­нантный морфизм алгебраических многообразий со связными слоями.17Определение2.2.2.Экстремальным -эквивариантным стягиваниемМори мы будем называть такое проективное -эквивариантное стягивание : → , что нормально и имеет не более, чем Q-факториальные тер­минальные особенности, антиканонический класс − является -обильными все исключительные -инвариантные кривые численно пропорциональны.Экстремальное -эквивариантное стягивание Мори : → называется , если dim > dim ,, если dim = dim и исключительное множество является ди­визором и, если dim = dim и исключительное множество имееткоразмерность больше 1.Определение 2.2.3.зориальныммалым-расслоением Моридиви­Пусть — трёхмерное -многообразиес не более, чем Q-факториальными терминальными особенностями, а : → — проективный -эквивариантный морфизм.

Тогда с помо­щью последовательности дивизориальных стягиваний и флипов можно по­лучить -морфизм ′ : ′ → , где ′ также имеет не более, чемQ-факториальные терминальные особенности, и либо дивизор явля­ется относительно численно эффективным, то есть ′ является относи­тельно минимальной моделью над , либо морфизм ′ пропускается черезморфизм : ′ → , где — -расслоение Мори.Определение 2.2.5. Линейная система дивизоров Вейля называется по­движной, если она не имеет неподвижныхкомпонент. Пусть ℒ — подвижные∑︀Теорема 2.2.4.(см.

[45, §2.2])′линейные системы на и ℒ = ℒ — их формальная линейная комбина­ция. Бирациональный морфизм → называетсяпары (, ℒ), если неособо, а прообразы всех линейных систем ℒне имеют базисных точек. Выберем общие дивизоры ∈ ℒ . Будем гово­рить, что пара (, ℒ) имеет(соответственно,)особенности, если для любого лог-разрешения особенностей : → вформуле∑︁лог-разрешением особен­ностейтерминальные + = * ( + ) +канонические ,где = , — исключительные дивизоры морфизма , а — соб­ственный прообраз , все > 0 (соответственно, все > 0).∑︀Нам понадобится следующая категория, введённая В.

Алексеевым в [2].18Категория Q состоит из пар (, ℒ), где —∑︀Q-факториальное многообразие, а ℒ = ℒ — формальная сумма подвиж­ных линейных систем с неотрицательными кратностями, причём пара (, ℒ)является канонической, а многообразие имеет терминальные особенности.Определение 2.2.6.Согласно [2], в случае трёхмерных многообразий в категории Q вер­ны все основные теоремы и гипотезы программы минимальных моделей (тео­рема о конусе, теорема о стягивании, гипотеза о существовании флипов игипотеза об обрыве цепочки флипов).

Таким образом, в этой категории ра­ботает программа минимальных моделей. Если трёхмерное многообразие является -многообразием, а ℒ — линейные -инвариантные системы, то вкатегории Q работает также -эквивариантная программа минимальныхмоделей (см. теорему 2.2.4).Следующая теорема является -эквивариантной версией частичногокрепантного разрешения особенностей пары (см.

[16, Proposition 2.10]).Пусть -многообразие имеет Q-факториальные тер­минальные особенности, а ℋ — -инвариантная подвижная линейная си­стема, имеющая базисные точки. Тогда существует -многообразие сQ-факториальными терминальными особенностями, -эквивариантноеэкстремальное дивизориальное стягивание Мори : → и число та­кое, что пара (, −1* ℋ) имеет канонические особенности иТеорема 2.2.7.* + −1* ℋ ∼ ( + ℋ).Доказательство. Можно подобрать такое положительное число (оно назы­вается каноническим порогом ), что пара (, ℋ) каноническая, но не терми­нальная. Рассмотрим для пары (, ℋ) её эквивариантное разрешение особен­ностей (, ℋ ) и применим к паре (, (+)ℋ ) для малого положительногочисла эквивариантную относительную (для морфизма → ) программуминимальных моделей в категории Q. При подходящем выборе резуль­татом программы минимальных моделей будет пара ( ′ , ℋ′ ) такая, что ис­ключительное множество отображения состоит в точности из дивизоров, кре­пантных для пары (, ℋ), причём особенности ′ терминальны.

Применивдалее эквивариантную относительную программу минимальных моделей длямногообразия ′ , на последнем шаге мы имеем требуемую пару (, *−1 )(детали см. в [2] и [16, Proposition 2.10]). Теорема доказана.19Также нам потребуется следующая теорема о структуре трёхмерных рас­слоений Мори с двумерной базой, доказанная Ю. Г. Прохоровым и Ш.

Мори.Пусть : → — трёхмерноерасслоение Мори над алгебраически замкнутым полем характеристики нульс двумерной базой. Тогда может иметь только дювалевские особенноститипа А.Замечание 2.2.9. Теорема 2.2.8 несложно обобщается на случайТеорема 2.2.8.(см. [51, Theorem 1.2.7])-многообразий над произвольным полем характеристики нуль.2.3. Бирациональная жёсткость и особенности линейныхсистемПусть — трёхмерное многообразие с не более чем терминальнымиособенностями, — конечная группа, действующая на , причём являетсямногообразием Q-Фано. Более того, мы считаем, что канонический дивизор является дивизором Картье (поскольку нам потребуются исключительноприложения к пересечениям двух квадрик и кубическим гиперповерхностям).-бирационально-многообразие Фано называется , если для любого -расслоения Мори ′ → такого, что -бирационально эквивалентно ′ , верно, что ≃ ′ .Определение 2.3.1.жёсткимЧтобы понять, как проверять -бирациональную жёсткость-многообразия Фано, предположим противное.

Пусть ′ → ′ — дру­гое -расслоение Мори. Предположим, что существует бирациональное-эквивариантное отображение : 99K ′ .Существует метод, позволяющий разложить в композицию элементар­ных отображений, называемых линками Саркисова (подробности см. в [17]).Для этого выберем очень обильный -инвариантный дивизор ′ на ′ и по­ложим ℳ = *−1 (| ′ |). Ввиду того, что является многообразием Q-Фано,существует такое рациональное число , что ℳ ⊂ | − |. Если ′ не изо­морфно , то неравенства Нётера-Фано-Исковских (см. [17, Theorem 2.4])дают нам неканоничность пары (, 1 ℳ). Поэтому для доказательства бира­циональной жёсткости достаточно описать все возможные неканоническиецентры пар вида (, 1 ℳ), и для каждого неканонического центра описать20соответствующий линк Саркисова. Если все полученные линки дают много­образие, изоморфное , то оно является бирационально жёстким.

Для опи­сания нульмерных неканонических центров пар нам понадобятся следующиетеоремы.В наших условиях пустьгладкая точка ∈ — центр неканонической особенности пары (, 1 ℳ).Пусть = 1 · 2 — цикл, являющийся пересечением двух общих элемен­тов линейной системы ℳ. Тогда mult > 42.Теорема 2.3.3.

(см., например, [11, Теорема 1.7.20]) Пусть ∈ — обыкно­венная двойная точка. Пусть — эффективный Q-дивизор на , причёмпара (, ) неканонична в точке . Тогда mult > 1.Теорема 2.3.2.(см., например, [17, Lemma 1.10])Для изучения неканонических центров, являющихся кривыми, нам по­надобится следующее утверждение.В наших условиях пустьнеприводимая кривая является центром неканонической особенности па­ры (, 1 ℳ).

Тогда кратность ℳ вдоль кривой больше .Теорема 2.3.4.(см., например, [18, Exercise 6.18])В случае неканонического центра, являющегося гладкой кривой, дляописания связанного с ней линка Саркисова необходима следующая теорема:Пусть и трёх­мерные нормальные многообразия, а : → — дивизориальное стягива­ние неприводимого дивизора ⊂ на кривую ⊂ .

Предположим, чтоdim ( sing ) = 0, многообразие имеет изолированные особенности, а −является -обильным. Тогда изоморфно раздутию Proj ⊕>0ℐ,() .Теорема 2.3.5.(см., например, [73, Proposition 1.2])В частности, условия теоремы 2.3.5 выполнены в случае, когда многооб­разия и имеют не более чем терминальные особенности, а являетсястягиванием Мори.2.4. Некоторые факты о геометрии расслоений наконикиНесмотря на то, что в основном нас будут интересовать проективные рас­слоения Мори на рациональные кривые, нам будет удобно работать в большейкатегории всех расслоений на рациональные кривые.21Тройка (, , ), где — геометрически неприводимоетрёхмерное многообразие, — геометрически неприводимая поверхность, а : 99K — рациональное отображение, общий слой которого являетсягеометрически неприводимой рациональной кривой над k( ), называетсянад базой . Будем называть расслоение(, , ), если многообразие неособо, отображение является проективным морфизмом, а схемный слой над произвольнойзамкнутой точкой изоморфен конике в P2 (возможно, вырожденной).Определение 2.4.1.рас­слоением на рациональные кривыерасслоением на коникидействует на расслоенииГруппа (, , ), ес­ли на и заданы структуры -многообразий, а является-эквивариантным отображением.

Расслоения с действием группы будемназывать .Определение2.4.2.расслоениямирегуляр­Расслоение на коники (, , ) называется, если отображение является плоским морфизмом неособых многообра­Определение 2.4.3.нымзий.Пусть : → — регуляр­ное расслоение на коники. Тогда верны следующие утверждения:1. Пучок ℰ = *(− ) является локально свободным пучком ранга 3;2. (− ) — относительно очень обильный пучок, задающий вложениемногообразия в P(ℰ) = Proj( ∙ℰ), при этом каждый слой являетсяконикой в соответствующей проективной плоскости;3. Существует приведённая (вообще говоря, приводимая) кривая Δ соследующими свойствами:∙ Δ имеет только нормальные пересечения в качестве особенно­стей;∙ Пусть — замкнутая точка , а — слой над ней. Тогда ес­ли ∈/ Δ , то — гладкая коника, если ∈ Δ − Sing Δ ,то — геометрически приводимая приведённая коника, а если ∈ Sing Δ , то — двойная прямая.Замечание 2.4.5. В [4] это утверждение доказано для алгебраически замкну­Предложение 2.4.4.(см.

[4, Proposition 1.2])того поля, но общий случай легко сводится к этому частному случаю.22Замечание 2.4.6. Образ вложения ⊂ P(ℰ) из предложения 2.4.4 являетсявложенным расслоением на коники в смысле определения 2.4.10, и в данномслучае кривая вырождения совпадает с дивизором вырождения (см. опреде­ление 2.4.12).Регулярное расслоение на коники (, , ) с действиемгруппы называется, если многообразия и проектив­ны, а морфизм является относительно минимальным, т.е. если для любого-инвариантного -неприводимого дивизора ⊂ прообраз −1 () явля­ется -неприводимым дивизором на (не представляется в виде суммы двухненулевых эффективных -инвариантных дивизоров). Это эквивалентно то­му, что ранг эквивариантной части относительной группы Пикара (/ )равен 1.Определение 2.4.7.стандартным-расслоения на рациональные кривые (, , ) и( ′ , ′ , ′ ) называются, если существуют такие бираци­ональные -эквивариантные отображения : 99K ′ и : 99K ′ , чтоследующая диаграмма коммутативна:Определение 2.4.8.эквивалентными / /′′′У любого расслоения на рациональныекривые (, , ) над алгебраически замкнутым полем существует стан­дартная модель ( ′, ′, ′), т.е.

стандартное расслоение на коники, экви­валентное исходному.Теорема 2.4.9.(см. [66, Теорема 1.13])Пусть ℰ — локально свободный пучок ранга 3 на неосо­бой поверхности и : P(ℰ) → — стандартная проекция. Тогданазывается такой неприводимый приведённыйдивизор ⊂ P(ℰ), что общий слой отображения | : → является ко­никой над k( ) (хотя слои над некоторыми замкнутыми точками могут бытьдвумерными).Определение 2.4.10.вложен­ным расслоением на коникиЗамечание 2.4.11.