Диссертация (Зеркальная симметрия для простых эллиптических особенностей с действием группы), страница 4

[Òàêèì îáðàçîì,ôóíêöèÿ:ZπA (σ) :=resEσ ΩAσÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ÏèêàðàÔóêñà. ßâíûé âèä óðàâíåíèÿ ÏèêàðàÔóêñà çàâèñèòîò ïîëèíîìà(ñì. [Wσ .Ẽ8Íàïðèìåð, äëÿ îñîáåííîñòèýòî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä35]):3σ(1 − σ)Òåîðåìà3.1(Ãëàâà3,7d 2 πAdπA−πA = 0.+(2−5σ)dσ 2dσ48Ïðèìåðîñîáåííîñòü, çàäàâàåìóþ ïîëèíîìîìåäèíñòâåííàÿñòî÷íîñòüþïðèìèòèâíàÿ ôîðìàζäî1âWσ (x).[40]).Äëÿ âñÿêîãî öèêëàóìíîæåíèÿîñîáåííîñòèWσ (x).Ðàññìîòðèì ïðîñòóþ ýëëèïòè÷åñêóþíàAσ ∈ H1 (Eσ , C) ñóùåñòâóåòíåíóëåâîéÏðèìèòèâíàÿ ôîðìàêîìïëåêñíûéζìíîæèòåëüèìååò ñëåäóþùèé ÿâíûéâèä:ζ = ζ(σ) =d3 x.πA (σ)Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ìîæåò áûòü íàéäåíî â [1.1. Ñïåöèàëüíûå òî÷êè.34, Ïðèëîæåíèå A].Êàê ìû çàìåòèëè ðàíåå, çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ äîëæíàâîçíèêàòü â ñïåöèàëüíûõ òî÷êàõ áàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ðàçâåðòêè. Äëÿ îñîáåííîñòåéýòî ìíîæåñòâî{0, ∞} t {pk },ẼNãäå:√2π −1Ẽ6 :pk = −3 exp(k), 1 ≤ k ≤ 3,3√Ẽ7 :pk = 2 exp(π −1k), 1 ≤ k ≤ 2,√32π −1Ẽ8 : pk = − √exp(k), 1 ≤ k ≤ 3.334Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî â òî÷êàõìû èìååìj èíâàðèàíòÏðåäëîæåíèå 3.2.òî÷êàõ çíà÷åíèÿpkj(pk ) = ∞.ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéEσïðèíèìàåò â ñïåöèàëüíûõ0,1728,∞.Äîêàçàòåëüñòâî.

Î÷åâèäíî.Äëÿ îñîáåííîñòåéäëÿ îñîáåííîñòèÁåçóñëîâíî,Ẽ8Ẽ6èẼ7òàêæå âûïîëíåíîìû èìååì:ðàññìîòðåíèåñòðóêòóðíûõ êîíñòàíòckij (s)j(∞) = ∞.Îäíàêî èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òîlimσ→∞ j(σ) = 1728.ïðèìèòèâíîéôîðìû,ðåçèäóàëüíîãîñïàðèâàíèÿâ ñïåöèàëüíûõ òî÷êàõ òðåáóåò îñîáîãî àíàëèçà.ηij (s)èÌû íåðàññìàòðèâàåì ýòîò âîïðîñ â äàííîé ðàáîòå, èñïîëüçóÿ ÿâíî íàéäåííûå â ðàáîòàõ ÌèëàíîâØåíü è Íîóìèßìàäà [35, 37] ïëîñêèå êîîðäèíàòû.192. Ïëîñêèå êîîðäèíàòû, çàäàâàåìûå ïðèìèòèâíîé ôîðìîéÑâÿçüìåæäóòåîðèåéïðèìèòèâíûõôîðìèôðîáåíèóñîâûìèìíîãîîáðàçèÿìèóñòàíàâëèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ íåêîòîðûõ îñöèëëèðóþùèõ èíòåãðàëîâ ñ îäíîé ñòîðîíû èäåôîðìèðîâàííûõ ïëîñêèõ êîîðäèíàò ñ äðóãîé.2.1.

Äåôîðìèðîâàííûå ïëîñêèå êîîðäèíàòû ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ.ÏóñòüF(t1 , . . . , tn )è ýéëåðîâûì ïîëåìM ïîòåíöèàë íåêîòîðîãî ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿE.Îáîçíà÷èì ÷åðåç∇ñâÿçíîñòü Ëåâè×èâèòû ìåòðèêèñ ìåòðèêîéη.ηÐàññìîòðèìäåôîðìàöèþ ýòîé ñâÿçíîñòè:˜ u v := ∇u v + z −1 u ◦ v,∇zãäå∀u, v ∈ T M, ôîðìàëüíûé ïàðàìåòð.

Òàêàÿ äåôîðìàöèÿ ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà äî ñâÿçíîñòè íàM ×Cñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì:˜ u d := 0,∇dz˜ d d := 0,∇dz dz˜ d v := z∂z v + E ◦ v − Θ(v),∇dzäëÿΘ(∂/∂ti ) = (1 − di − d/2)∂/∂ti .Âàæíîñòü ýòîé ñâÿçíîñòè ïîäêðåïëÿåòñÿ ñëåäóþùèìóòâåðæäåíèåì.Ïðåäëîæåíèå 3.3 (Ïðåäëîæåíèå 2.1 â [ìíîãîîáðàçèèM12]).Êðèâèçíà ñâÿçíîñòèðàâíà íóëþ. Ïóñòü íà êàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâå˜∇Tp Mçàäàíà ñòðóêòóðà ôðîáåíèóñîâîé àëãåáðû, ãëàäêî çàâèñÿùàÿ îò òî÷êèìåòðèêîéηè ýéëåðîâûì ïîëåìEíà ôðîáåíèóñîâîììíîãîîáðàçèÿp ∈ M,Mñ ïëîñêîéòàêèì ÷òî.LE η = (2 − d)η.Ïóñòüòàêæåêðèâèçíàñâÿçíîñòè˜∇ðàâíàíóëþ,àåäèíè÷íîåâåêòîðíîåïîëåη.Òîãäàôðîáåíèóñîâîé àëãåáðû êîâàðèàíòî ïîñòîÿííî â ñâÿçíîñòè Ëåâè×èâèòû ìåòðèêèMÿâëÿåòñÿ ôðîáåíèóñîâûì ìíîãîîáðàçèåì.Ïëîñêèåêîîðäèíàòû(z, t̃1 (t, z), .

. . , t̃n (t, z)).ñâÿçíîñòè˜∇ìîãóòÔèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîåêîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ äèôôåðåíöèàëàdt̃káûòük,ò.÷.â áàçèñåâûáðàíûîáðàçîì:1 ≤ k ≤ n. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ξαPdtα : α ξα dtα = dt̃k . Ìû èìååì:z ∂α ξβ = cγαβ ξγ ,(3.4)z∂z ξβ = E γ cαγβ ξα − Θβ ξ .20ñëåäóþùèìÎïðåäåëèì êîìïëåêñíûå ÷èñëàhα,kñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî ðàâåíñòâà:∞Xt̃α =hα,k (t) z −k .k=0Ëåììà3.4(Ëåììà2.2â[12]).Êîýôôèöèåíòûhα,kóäîâëåòâîðÿþòñëåäóþùèìñîîòíîøåíèÿì:hα,0 =Xηα, t ,∂γ ∂β hα,k+1 = cβγ ∂ hα,k ,ãäåk ≥ 0.1 ≤ α, γ, β ≤ n.Ôóíêöèèt̃αäåôîðìèðîâàííûìè ïëîñêèìè êîîðäèíàòàìè ôðîáåíèóñîâàíàçûâàþòñÿìíîãîîáðàçèÿ.2.2. Îñöèëëèðóþùèå èíòåãðàëû.êâàçèîäíîðîäíîé îñîáåííîñòèïîëîæèòåëüíûåèνρ, δèν.ÏóñòüW (x1 , .

. . , xN )Îáîçíà÷èì ÷åðåçF (x, s) îáîçíà÷àåò ðàçâåðòêó èçîëèðîâàííîéñ ÷èñëîì ÌèëíîðàBρN ⊂ Cn , Bδ1 ⊂ Cèµ.Ôèêñèðóåì íåêîòîðûåBνµ ⊂ Cµøàðû ðàäèóñîâρ, δñîîòâåòñòâåííî, ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî:Xρ,δ,ν := BρN × Bνµ ∩ ϕ−1 Bδ1 × Bνµ ⊂ CN × Cµ .Ôèêñèðóÿr ≤ ρ,ρ,òàêîå, ÷òîà òàêæå(λ, s) ∈ Bδ1 × Bνµδèïåðåñåêàåòñÿ òðàíñâåðñàëüíî ñôåðàìèòàêèå, ÷òîXλ,s3.52, 13]).([îòîáðàæåíèåäëÿ âñåõïåðåñåêàåòñÿ òðàíñâåðñàëüíî ñôåðàìèÑóùåñòâóåòD ⊂ Bδ1 × Bνµ ,ϕ : X 0 → (Bδ1 × Bνµ ) \Dðàññëîåíèåì ñ îáùèì ñëîåì, ãîìåîìîðôíûì áóêåòóÄëÿ âñÿêîãî∂BrN∂BρNr : 0 <äëÿ âñåõìû ïîëó÷àåì,ÏðåäëîæåíèåXρ,δ,ν \ϕ−1 (D)ν,X0,0m ∈ Rðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâîµòàêîå ÷òî äëÿX 0 :=ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíîòðèâèàëüíûìñôåð ðàçìåðíîñòèXm− ⊂ Xρ,δ,ν ,N − 1.îïðåäåëåííîå ñëåäóþùèìîáðàçîì:Xm− := {(x, s) ∈ X 0 | Re (F (x, s)/z) ≤ −m} . ñèëó ïðèâåäåííîãî âûøå ïðåäëîæåíèÿ è òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïàðû ìû èìååìñëåäóþùèé èçîìîðôèçì:(3.5)HN (X 0 , Xm− ) ∼= HN −1 (Xλ,s ) ∼= Zµ .21Ðàññìîòðèì öèêëû1:A ∈ lim HN (X 0 , Xm− ; C) ∼= Cµ .m→∞Ââåäåì ñëåäóþùèå îñöèëëèðóþùèå èíòåãðàëû :JA (s, z) := (−2πz)−N/2ZzdSeF (x,s)/z ω,Açàâèñÿùèå îò âûáîðà ôîðìû îáúåìàtòî â ïëîñêèõ êîîðäèíàòàõω.Åñëèωÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíîé ôîðìîé Ñàèòî,îñöèëëèðóþùèå èíòåãðàëû óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåé ñèñòåìåóðàâíåíèé:z∂t JA (t, z) = ∂t ◦ JA (t, z),(3.6)ãäåE(z∂z + E)JA (t, z) = ΘJA (t, z).ÿâëÿåòñÿ ýéëåðîâûì ïîëåì, îòîáðàæåíèåíà áàçèñíûõ êîâåêòîðàõ:Θ(dti ) = ( 21 − di )dti ,Θ : TS∗ → TS∗îïðåäåëåíî ñâîèìè çíà÷åíèÿìèè êîêàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî îòîáðàæàåòñÿèçîìîðôíî íà êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ïîìîùüþ ìåòðèêèÏðåäëîæåíèå3.6.limm→∞ HN (X 0 , Xm− ; C).ÏóñòüA1 , .

. . , Aµêëàññûη.îáðàçóþòÒîãäà îñöèëëèðóþùèå èíòåãðàëûáàçèñïðîñòðàíñòâàJA1 (t, z), . . . , JAµ (t, z)ÿâëÿþòñÿäèôôåðåíöèàëàìè äåôîðìèðîâàííûõ ïëîñêèõ êîîðäèíàò ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðûÄîêàçàòåëüñòâî.èíòåãðàëûJAkÍåñëîæíî çàìåòèòü,S.÷òî â ïëîñêèõ êîîðäèíàòàõ îñöèëëèðóþùèåóäîâëåòâîðÿþò òîìó æå óðàâíåíèþ, ÷òî è óðàâíåíèå (3.4).Ñëåäñòâèå 3.7. Ïóñòüt1 (s), . . .

, tµ (s) ïëîñêèå êîîðäèíàòû íàS.Òîãäà âåðíî:dtk = [z 0 ]JAk (t(s), z),ãäå[z 0 ]îáîçíà÷àåò êîýôôèöèåíò ïðèz0.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç Ëåììû 3.4 âèäíî, ÷òî äëÿ äåôîðìèðîâàííûõ ïëîñêèõ êîîðäèíàòdt̃k = dtk + O(z −1 ).ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ âåðíî ðàâåíñòâîÂàæíî çàìåòèòü, ÷òî ïðè äëÿ âñÿêîé îñîáåííîñòèêîîðäèíàòàõôîðìûω.síà íåé, ïëîñêèå êîîðäèíàòûtWôèêñèðîâàííûõ ðàçâåðòêåF,áàçåSèñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò âûáîðà ïðèìèòèâíîéÏëîñêèå êîîðäèíàòû, ïîñòðîåííûå ïî ïðèìèòèâíîé ôîðìå â LCSL, ìû áóäåìòàêæå íàçûâàòü ïëîñêèìè êîîðäèíàòàìè â LCSL.1  äàííîì êîíñòåêñòå òàêèå öèêëû áûëè âïåðâûå ðàññìîòðåíû â [18], è ïðèìåíåíû äàëåå, íàïðèìåðâ [34], â ñëåäóþùåé ôîðìå.Ïóñòü (CN )m := {x ∈ CN |Re(F (s, x)/z) ≤ −m}, òîãäà îïðåäåëèì A ∈limm→∞ HN (CN , (CN )−m ; C) ∼= Cµ .

Îäíàêî òàêîâîå îïðåäåëåíèå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê îáîçíà÷åíèåââèäó òîãî, ÷òî X 0 ñòÿãèâàåìî.222.3. Îò êëàññîâ Aσ ê A.Ðàññìîòðèì, êàê ñâÿçàíû öèêëûA,îïðåäåëåííûå âûøå èAσ ∈ H1 (Eσ ), èñïîëüçîâàííûå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðèìèòèâíîé ôîðìû ïðîñòîé ýëëèïòè÷åñêîéîñîáåííîñòè. Ðàññìîòðèì òðóá÷àòóþ îêðåñòíîñòüEσâX λ,s .èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèåL : H1 (Eσ ) → H2 (Xλ,s ).

Ïî òåîðåìåZd3 x.πA (σ) =L(A) dFÈñïîëüçóÿL,îòîáðàæåíèåýëëèïòè÷åñêîéîñîáåííîñòåéêðèâîéýòîìûEσ .îçíà÷àåò,ìîæåìÂ÷òîâûáðàòüñëó÷àåäâàèçáàçèñíûõîñöèëëèðóþùèõEσ(ñì.îïðåäåëÿåòÊîøèËåðå âåðíî:ãèïåðïîâåðõíîñòíûõµèíòåãðèðîâàíèþ ïî ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéäâàX λ,sÅå ãðàíèöà âH2 (Xλ,s )ýëåìåíòàïðîñòûõèíòåãðàëîâÑëåäñòâèå 3.7 ).ïîýëëèïòè÷åñêèõJAiñâîäÿòñÿêÒàêîé âûáîð áàçèñàïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ïðåäëîæåíèþ.Ïðåäëîæåíèå 3.8 (Ãëàâà 3, Ïðèìåð 1 â [Wσñóùåñòâóþò êîìïëåêñíûé ÷èñëàêîîðäèíàòàt,0,èìåþùàÿ ñòåïåíü40]).Äëÿ ïðîñòîé ýëëèïòè÷åñêîé îñîáåííîñòèa, b, c, d ∈ C,òàêèå ÷òîîïðåäåëÿåòñÿ ìîäóëåìτ0ad − bc 6= 0è ïëîñêàÿýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéEσïîñëåäóþùåé ôîðìóëå:aτ0 + b,cτ0 + dRresEσ Ωγ,τ0 = R 1resEσ Ωγ2t=ãäåèγ1 , γ2 ïðîèçâîëüíûå íåçàâèñèìûå áàçèñíûå âåêòîðàÂàæíî çàìåòèòü, ÷òî öèêëûγ1èγ2H1 (Eσ , Z).íå îáÿçàòåëüíî îáðàçóþò ñèìïëåêòè÷åñêèé áàçèñ.Îäíàêî äàííîå ñâîéñòâî óäîâëåòâîðåíî â ïðåäåëåLCSLè áóäåò èñïîëüçîâàíî â ñëåäóþùåìðàçäåëå.3.

Ïëîñêèå êîîðäèíàòû äëÿ îñîáåííîñòè ẼN â ïðåäåëå LCSLÏëîñêèå êîîðäèíàòû à ïðåäåëå LCSL (ñì. ãèïîòåçó çåðêàëüíîé ñèììåòðèè) äëÿ ïðîñòûõ37].ýëëèïòè÷åñêèé îñîáåííîñòåé áûëè íàéäåíû ÿâíî â ðàáîòå Íîóìèßìàäà [Äëÿ ïðîñòûõ ýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé ñ ýêñïîíåíòàìè(ν1 , ν2 , ν3 ) ∈ N3ò.÷.0 ≤ νi ≤ ai − 2.Îáîçíà÷èì ÷åðåçIẼNsν φν (x),ν∈Iãäåφν (x) := xν11 xν22 xν33 ,èWẼN (x) = Wσ (x) |σ=0 îäèí èç ìíîãî÷ëåíîâ èç (3.1).23νν =(çàìåòèì, ÷òîìîæåò áûòü çàïèñàíà ñëåäóþùèìîáðàçîì:Xðàññìîòðèììíîæåñòâî âñåõ òàêèõýòî ìíîæåñòâî êîíå÷íî).

Òîãäà ðàçâåðòêà îñîáåííîñòèF (x, s) = WẼN (x) +a1 , a2 , a33.1. ÂÇàìå÷àíèåîñîáåííîñòèẼNíà÷àëåäàííîéãëàâûîïðåäåëèëèïðîñòûåñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíîâ, çàâèñÿùèõ òàêæå îò ïàðàìåòðàF (x, s)ïðèñóòñòâóåò òàêæå è â îïðåäåëåíèè ðàçâåðòêèσìûñ îäíèì èç ïàðàìåòðîâ ðàçâåðòêè Îáîçíà÷èì ÷åðåçisνσ.ýëëèïòè÷åñêèåÝòà çàâèñèìîñòüââèäó òîãî, ÷òî ìû èäåíòèôèöèðóåìν = (a1 − 2, a2 − 2, a3 − 2).äëÿZ3 .êàíîíè÷åñêèé áàçèñ ðåøåòêèÄëÿ ëþáîãîα ∈ NIðàññìîòðèìñëåäóþùèå ôóíêöèè:l(α) :=X3αν ν ∈ N ,wt(α):=ν∈IÄëÿ âñÿêîãîν∈IXαν deg sν ∈ Q,deg sν = 1 −i=1ν∈ISîïðåäåëèì ãîëîìîðôíûå íàs) :=cν (l(α))α∈NIwt(α)=r−1+deg sνν∈Iξ∈Iαξ !è ëþáîãîÒåîðåìà 3.9 (Òåîðåìà 1.1 â [îñîáåííîñòèẼNñ ðàçâåðòêîé37])..Y sαξ ξPµ ∈ (ν + 3i=1 ai i Z) ∩ N3 ìûνi +13Γk+Yiaiµ − νi , ki = icν (µ) :=(−1)ki.aiΓ νia+1i=1iãäå äëÿ ôèêñèðîâàííîãîaiôóíêöèè:Xψν(r) (3Xνièìååì:Ñëåäóþùèå ôîðìóëû çàäàþò ïëîñêèå êîîðäèíàòûF (x, s):(1)ψν (s)tν = 0,ψ0 (s)ãäå ôóíêöèèψ00 (s)îïðåäåëåíû â çàâèñèìîñòè îò òèïà îñîáåííîñòè:1 1 2 s3111Ẽ6 := 2 F1, ; ;−,3 3 3271 1 1 s2220Ẽ7 : ψ0 (s) = 2 F1, ; ;,4 4 2 41 7 2 4s3410Ẽ8 : ψ0 (s) = 2 F1, ; ;−.12 12 327ψ00 (s)Äîêàçàòåëüñòâî.