Диссертация (Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий), страница 9

Тогда ядро отображения : Aut() → ( 2 (, Z))изоморфно (Z/2Z)×8 .Далее мы рассмотрим свойства абсолютно трианалитических подмного­образий в известных примерах гиперкэлеровых многообразий, в частностимногообразиях О’Грэди.[SV] Пусть – гиперкэлерово многообразие, ⊂ – аб­̃︀ → его нормализация,солютно трианалитическое подмногообразие, и ∏︀̃︀ = ×такая что , где голоморфно симплектические многообра­зия максимальной голономии. Тогда 2 ( ) ≥ 2 ( ) и 2 ( ) ≥ 2 ( ).Теорема 4.1.4.Отсюда легко следует, что в схемах Гильберта малых размерностей (че­тыре, шесть) нет абсолютно трианалитических многообразий. Действитель­но, как мы убедились в предыдущей главе 2 ≤ 23 для четырёхмерных ишестимерных гиперкэлеровых многообразий.Доказательство отсутствия абсолютно трианалитических подмногообра­зий известного типа в многообразии О’Грэди размерности десять и отсут­ствия торов в шестимерном многообразии О’Грэди было получено Солдатен­ковым и Вербицким в [SV].

Их доказательство использует -симплектическуюструктуру на первых гомологиях тора.Пусть Ω ⊂ Λ2 это -мерное пространство вещественных 2-форм намногообразии , причём все они замкнуты и постоянного ранга, и ⊂ Ω мно­жество всех вырожденных форм в Ω. Ω называется a -симплектическойструктурой, если квадрика в Ω, и все ненулевые формы ∈ имеютранг 12 dim .Оказывается, что, если в гиперкэлеровом многообразии есть подтор, тона его первых когомологиях возникает соответствующая -симплектическаяструктура, а именно61Пусть является голоморфно симплектическиммногообразием, = 2 () его второе число Бетти и компактный торразмерности 2, погруженный в . Предположим, что абсолютно три­аналитической подмногообразие. Тогда 1 (, C) имеет невырожденную ве­щественную -симплектическую структуру. Соответствующая квадра­тичная форма имеет сигнатуру ( − 3, 3).Предложение 4.1.5.Замечание 4.1.6.

Абсолютная трианалитичность тора выполняется, если достаточно общее (2.2.11).Из предыдущего утверждения легко вытекает следующая[SV] Пусть – гиперкэлерово многообразие максимальнойголономии, – гиперкэлеров тор, и → гиперкэлерова иммерсия с абсо­лютно трианалитическим образом. ТогдаТеорема 4.1.7.dimC ( ) > 22 ( )−1)2,где 2 ( ) – второе число Бетти.Вместе c 4.1.4 это позволяет доказать, что в многообразии О’Грэди нет подмногообразий известного типа, поскольку для него 2 ( ) = 24.

Дей­ствительно гиперкэлеровы многообразия с максимальной голономией вразмерности 2 удовлетворяют 2 ( ) ≤ 22 (классификация Кодаиры-Спен­сера, см. например [Bes]). В случае четырёхмерных гиперкэлеровых много­образий из теоремы Гуана 3.1.1 следует 2 ( ) ≤ 23 ([Gu]). Таким образом,любое абсолютно трианалитическое подмногообразие 10-мерного многообра­зия О’Грэди имеет размерность хотя бы 8 (размерность шесть невозможнапо теореме Сейвона 3.4.3) и максимальную голономию.Пусть ⊂ – комплексное подмногообразие общей де­формации 10-мерного многообразия О’Грэди, ˜ – его нормализация, и ˜1 –∏︀накрытие, снабжённое разложением Богомолова. Тогда ˜1 = , где гиперкэлеровы многообразия максимальной голономии с 2 ≥ 24.Теорема 4.1.8.62В десятимерном многообразии О’Грэди 10 нет абсолютнотрианалитических торов.Теорема 4.1.9.Доказательство. Достаточно применить 4.1.7 и использовать, что 2 (10 ) =24.Для шестимерного многообразия О’Грэди 6 ситуация обстоит сложнее,поскольку 2 (6 ) = 8, а значит оно может содержать абсолютно трианали­тические многообразия с 2 () ≥ 8, но при этом комплексные торы всёже не могут в нём быть.

Этот изящный результат также получен Вербицкими Солдатенковым в [SV] с использованием структуры модуля над алгебройКлиффорда для -симплектической структуры.Пусть – общая деформация 6-мерного многообразияО’Грэди. Тогда любое голоморфное отображение из комплексного тора в тривиально.Теорема 4.1.10.В случае многообразия Куммера теорема 4.1.7 даёт C ≥ 4, но ника­кого противоречия это не даёт. Ниже мы покажем, что всё же и в этом случаеабсолютно трианалитических торов как подмногообразий не бывает.4.2. КалибрацииВ этом разделе мы дадим основные определения и свойства калибраций.Более подробные сведения содержаться в [HarL], а также в [J], где приведенырезультаты для многообразий с ограниченной группой голономии.Пусть ⊂ является -мерным подпространством Евклидова про­странства и Vol( ) обозначает риманнову форму объёма для ⊂ , опре­делённую с точностью до знака.

Для любой -формы ∈ Λ , назовём ко­(1 ,2 ,..., )массой () максимум из|1 ||2 |...| | , для всех -элементных наборов63(1 , ..., ) векторов в иVol( ) = ().граньюназовём набор плоскостей ⊂ , гдена риманновом многообразии называется дифферен­циальная форма с комассой ≤ 1 везде.ПрекалибрациейКалибрациейназывается прекалибрация, которая замкнута.Определение 4.2.1. Пусть – -мерная прекалибрация риманового многооб­разия и ⊂ – -мерное подмногообразие (обычно предполагается, чтохаусдорфова размерность множества особых точек не более, чем − 2, по­скольку в этом случае дифференциальная форма с компактным носителемможет быть проинтегрирована над ).

Будем говорить, что калибруетсяформой , если для любой гладкой точки ∈ , касательное пространство является гранью прекалибрации .Замечание 4.2.2. : Ясно, что для любой прекалибрации ,ZVol() ≥ ,(4.2.1)где Vol() обозначает риманов объём компактного подмногообразия , и ра­венство выполняется тогда и только тогда, когда калибруется формой .RЕсли к тому же замкнута, то когомологический инвариант, и из нера­венства (4.2.1) следует, что минимизирует риманов объём в своём классегомологий.В работе [GV] было построено несколько семейств калибраций на гипер­кэлеровых многообразиях. Пусть (, , , ) – гиперкэлерово многообразие,а , , – кэлеровы формы.

Эти формы порождают некоторую комму­тативную подалгебру в Λ* ( ) (некоторые результаты об этой подалгебреможно найти в [GV, HarL]). В [GV] Гранчаров и Вербицкий строят новыекалибрации, которые являются полиномами от , , .Калибрации играют центральную роль в различных геометрических ас­пектах теории струн и М-теории.

До размерности восемь, калибрации хорошо64изучены ([DHM]), но в больших размерностях, их классификация существен­но сложнее. Даже в таких специальных случаях, как гиперкэлерова геомет­рия, проблема классификации естественных, т.е. Sp()-инвариантных такжеизучена не полностью. Тем не менее, ряд хороших калибраций получен в [GV]На кэлеровом многообразии, нормированная степень кэлеровой фор­мыявляется калибрацией. И, более того, подмногообразие является ком­плексно-аналитическим если и только если оно калибруется этой формой.Заметим, что абсолютно трианалитические многообразия по определениюявляются комплексно аналитическими, что мы в дальнейшем используемпри доказательстве основного утверждения.

Действительно, подпространство ⊂ является гранью ! тогда и только тогда комплексно-линейно,это, в частности, следует из неравенств Виртингера [HarL]).!Калибрации, возникающие в кватернионной геометрии, и соответству­ющие калиброванные многообразия были в первую очередь рассмотрены в[GV]. Эти калибрации аналогичны во многих смыслах приведённой вышекалибрации степенями кэлеровой формы. Так, в гиперкэлеровой геометрии2роль кэлеровой формы выполняет 4-форма Θ := 2 + 2 + .

Оказывается,что степени Θ являются калибрациями. Несложно видеть, что ⊂ грань для Θ тогда и только тогда, когда кватернионной пространство(4.2.4).Соответственные калиброванные подмногообразия это те, которые ком­плексно аналитичны по отношению ко всем трём структурам , и , т.е.трианалитические.Более сложные калибрации задаются однородными полиномами (, , ) степени . В частности, любой однородный полином (, , ) сте­пени даёт замкнутую 2-форму ( , , ) на .

В случае, когда го­лономия максимальна, то все параллельные дифференциальные формыполучаются таким способом [GV]. Когда (, , ) = ! это кэлерова калиб­∑︀(!)2рация, если (, , ) = (2 + 2 + 2 ) , где = =0 (!)2 (2)!4− , то этотрианалитическая калибрация, определённая выше (4.2.4).Ранее было отмечено, что поскольку трианалитические многообразия яв­ляются комплексно-аналитическими, то прекалибрация, задаваемая Θ “сла­65бее” кэлеровой калибрации. В общем случае, на прекалибрациях можно вве­сти упорядочение.Определение 4.2.3. Будем говорить, что ⪯ 1 ( слабее 1 ), если все грани также являются гранями для 1 .2 Θ ⪯(2)!(4.2.4).Наиболее простой пример калибрации на гиперкэлеровом многообразиизадаётся следующей теоремой, аналогичное утверждение для кватернионногонеравенства Виртингера есть в [Ber].Пусть (, , , , ) – гиперкэлерово многообразие,( 2 + 2 + 2 ) , , соответствующие симплектические формы и Θ := стандартная (2)-инвариантная 4-форма, нормированная константой∑︀(!)2− = =1 (!).