Диссертация (Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера), страница 9

Äîêàçûâàåòñÿ âåñüìà ïðîñòî:∂gk2∂τ∂ log gkS 0 (ξi ) 00= gk= 2gk Γki = −gk 0S (ξk − ξi )=∂λi∂λi4πi S (ξk )∂λi−22 (S 0 (ξk ))2 S 0 (ξi )S 00 (ξk − ξi ) ∂τ ∂τ∂τ ∂τ=−.S 0 (ξi )S 0 (ξk )S 00 (ξi − ξk )202(4πi)S (ξk )∂λi ∂λk(4πi)∂λi ∂λkÏðàâàÿ ñòîðîíà ñèììåòðè÷íà ïðè ïåðåñòàíîâêå i è k , ñëåäîâàòåëüíî,2∂gi∂gk∂τ ∂τ0000=−S(ξ)S(ξ)S(ξ−ξ)=.ikik∂λi(4πi)2∂λi ∂λk∂λkÎêîí÷àòåëüíî∂gi∂gk=.∂λk∂λi äîêàçàòåëüñòâå ìû èñïîëüçîâàëè (168) è (172).Èç ñîîòíîøåíèé (178) ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíû gi èìåþò ïîòåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ G òàêóþ, ÷òîgi =∂G.∂λiÏîêàæåì, ÷òî(179)∂ 2FG = log R = 2 ,(180)∂t0ãäå F - òàó-ôóíêöèÿ (ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ) áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿÏôàôô-ÊÏ (102). Ïðèñòóïèì.

Íà÷íåì ìû ñ ñèñòåìû ýëëèïòè÷åñêèõóðàâíåíèé Ëåâíåðà ∂τ004πi ∂λj u(z) = −ζ1 (u(z) + ξj , τ ) + ζ1 (ξj , τ ),(181)∂λjc1 c2ãäå u(z) ðàçëàãàåòñÿ u(z) =+ 2 + . . . ïðè z → ∞. Ðàñêðûâ îáå ÷àñòèzz(181) ïðè z → ∞, ïîëó÷àåì: ∂τc1 c204πi ∂λj ( + 2 + . . .) = −ζ1 (ξj ) − uζ1 (ξj ) + ζ1 (ξj )=zz∂λj59∂τ∂τc1 c2= ( + 2 + . . .)℘1 (ξj )∂λjzz∂λjè, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïåðåä z −1 ,= u℘1 (ξj )4πi ∂λj c1 = c1 ℘1 (ξj )4πi∂τ,∂λj∂λj c1∂τ= ℘1 (ξj ).c1∂λj ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì:∂τ.(182)∂λjÊàê ïîêàçàíî â [21] (ñì. òàêæå óðàâíåíèå (102) â äàííîé ðàáîòå),20)log(πc1 ) = log R − log θ2 (0,τ. Ñëåäîâàòåëüíî,24πi ∂λj log c1 = ℘1 (ξj , τ 0 )∂λj log c1 = ∂λj log R − 2∂λj log θ2 (0, τ 0 ) =∂τ 0== ∂λj log R − 2∂τ 0 log θ2 (0, τ )∂λj0= ∂λj log R − ∂τ 0 log θ2 (0, τ 0 )∂τ.∂λjÈç óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè 4πi ∂τ θa (x, τ ) = θa00 (x, τ ) ñëåäóåò, ÷òî4πi ∂τ 0 log θ2 (0, τ 0 ) = −℘2 (0, τ 0 ).Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â (182), ïîëó÷àåì4πi ∂λj log R − 4πi ∂τ 0 log θ2 (0, τ 0 )äàëåå4πi ∂λj log R − ℘2 (0, τ 0 )∂τ∂τ= ℘1 (ξj , τ 0 ),∂λj∂λj∂τ∂τ= ℘1 (ξj , τ 0 ).∂λj∂λjÎòêóäà ∂τ∂τ= (S 0 (ξj ))2= 4πi gi ,4πi ∂λj log R = ℘1 (ξj , τ ) − ℘2 (0, τ )∂λj∂λj00(ñì.

(AI.24)). ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èìgi = ∂λj log R = ∂λj G.605.5Ñîõðàíÿþùèåñÿ âåëè÷èíûÊàê ïîêàçàíî â [41], ïëîòíîñòè P ñîõðàíÿåìûõ âåëè÷èí I = P dt0 äëÿâñåõ ïîëóãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ∂tk λj = φj,k ∂t0 λj óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþR∂ 2P∂P∂P= Γij+ Γji∂λi ∂λj∂λi∂λj(i 6= j),(183)è ëþáîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ äàåò ñîõðàíÿþùóþñÿ âåëè÷èíó.Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâëÿÿ (166) äëÿ Γij , èìååì∂λi ∂λj P =∂λ φj,n ∂λj P∂λj φi,n ∂λi P+ i.φj,n − φi,nφi,n − φj,n∂λi ∂λj P =∂λj φi,n ∂λi P − ∂λi φj,n ∂λj P,φj,n − φi,nÏðåîáðàçóåìäàëåå∂λi ∂λj P (φj,n − φi,n ) = ∂λj φi,n ∂λi P − ∂λi φj,n ∂λj P,∂λi ∂λj P φj,n + ∂λi φj,n ∂λj P = ∂λi ∂λj P φi,n + ∂λj φi,n ∂λi P,÷òî ýêâèâàëåíòíî∂λj ∂λi P φi,n = ∂λi ∂λj P φj,n .(184)Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ An , òàêàÿ, ÷òî ∂λi P φi,n = ∂λi An .ÒîãäàNNNXXX∂An∂P=∂λi P ∂tn λi =∂λi P φi,n ∂t0 λi =∂λi An ∂t0 λi =,∂tn∂t0i=1i=1i=1ò.å., P äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ñîõðàíÿåìîé âåëè÷èíû. Ïðèëîæåíèè IX äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ S(u(z)) óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ (183):∂ 2 S(u(z))∂S(u(z))∂S(u(z))= Γij+ Γji,∂λi ∂λj∂λi∂λj(185)ïðè óñëîâèè, ÷òî u(z) ïîä÷èíÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì óðàâíåíèÿì Ëåâíåðà.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî S(u(z)) - ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïëîòíîñòåéñîõðàíÿþùèõñÿ âåëè÷èí.

Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (74) ôóíêöèè u(z),S(u(z)) = − log z + F00 +X z −nn≥161nF0n ,(186)ñëåäîâàòåëüíî, ïëîòíîñòÿìè ÿâëÿþòñÿ F0n , n ≥ 0. (Òîò ôàêò, ÷òî ïëîòíîñòè ñîõðàíÿåìûõ âåëè÷èí âûðàæàþòñÿ ÷åðåç âòîðîé ïîðÿäîê ëîãàðèôìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé òàó-ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ îáùèìè äëÿ èíòåãðèðóåìûõ èåðàðõèé, ñì., íàïðèìåð, [66, 67].) Ñîãëàñíî (145), ìû èìååì∂λj S(u(z)) =Âñïîìíèâ, ÷òîgj =ïîëó÷èì1 0∂τS (ξj )S 0 (u(z) + ξj ).4πi∂λj1∂τ(S 0 (ξj ))2,4πi∂λj1 (S 0 (ξj ))2 S 0 (u(z) + ξj ) ∂τ=4πiS 0 (ξj )∂λj0102 ∂τ S (u(z) + ξj )(S (ξj ))==4πi∂λjS 0 (ξj )!0−nXS (u(z) + ξj )1z0S=g(ξ)+φS 0 (ξj ) =gjjjj,n00S (ξj )S (ξj )nn≥1!Xz −nφj,n= gj 1 +.nn≥1∂λj S(u(z)) =Òî åñòü ïîëó÷èëèz −n∂λj S(u(z)) = gj +gj φj,n.nn≥1XÐàññìîòðèì λj -ïðîèçâîäíóþ (186)∂λj S(u(z)) = −∂λj log z + ∂λj F00 +X z −nn≥1= ∂λj F00 +X z −nn≥1nn∂λj F0n =∂λj F0n .Ïðèðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äëÿ ∂λj S(u(z)) è ñðàâíèâàÿ ëåâóþè ïðàâóþ ÷àñòè ïîëó÷åíííîãî ðàâåíñòâàX z −nz −ngj += ∂λj F00 +∂λj F0n ,gj φj,nnnn≥1n≥1Xäåëàåì âûâîä, ÷òîgj φj,n = ∂λj F0n ,n ≥ 0,êîòîðûé îáîáùàåò (179), (180) (ïîëó÷åííûé ïðè n = 0).62(187)6Çàêëþ÷åíèå äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå èññëåäîâàëèñü áåçäèñïåðñèîííûå èåðàðõèèÏôàôô-ÊÏ è Ïôàôô-Òîäû.

Òîë÷êîì äëÿ èññëåäîâàíèé ñòàëî èçó÷åíèå ñâÿçè óðàâíåíèé Ëåâíåðà ñ áåçäèñïåðñèîííûìè èåðàðõèÿìè ÊÏ èÒîäû. Àëãîðèòì â îáîèõ ñëó÷àÿõ áûë èäåíòè÷íûé - ñòàðòîâàëè ñ ôóíêöèè è óðàâíåíèé Ëàêñà äëÿ êîíêðåòíîé èåðàðõèè, ïîëó÷àëè ïðîèçâîäÿùåå óðàâíåíèå, êîòîðîå, ê ñëîâó, ÿâëÿåòñÿ ïðîäèôôåðåíöèðîâàííûìóðàâíåíèåì Õèðîòû ïî îïðåäåëåííîìó âðåìåíè (ïî òîìó, êîòîðîå çàäåéñòâîâàíî â ñêîáêå Ïóàññîíà), ïðîèçâîäèëè îäíîêîìïîíåíòíóþ ðåäóêöèþè ïðèõîäèëè ê îäíîìó èç âèäîâ óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà. Äàííûå çíàíèÿïîñëóæèëè ñâîåãî ðîäà ïðåäïîëîæåíèåì è ïðèãëàøåíèåì ê èçó÷åíèþïôàôôîâûõ èåðàðõèé.

Òóò ìû íåñêîëüêî èçìåíèëè ïîäõîä è íà÷èíàëè èçó÷åíèå êàæäîé èç áåçäèñïåðñèîííûõ èåðàðõèé ñ ñîîòâåòñòâóþùåãîóðàâíåíèÿ Õèðîòû, è òàêîé æå àëãîðèòì ìû ïðèìåíèëè â "äåìîíñòðàöèîííîé" ÷àñòè, ïîñâÿùåííîé èåðàðõèè ÊÏ.Ìû äîêàçàëè, ÷òî áåçäèñïåðñèîííûå èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ è ÏôàôôÒîäû äîïóñêàþò ýëëèïòè÷åñêóþ ïàðàìåòðèçàöèþ.Êðîìå òîãî, ïîêàçàëè, ÷òî ïôàôôîâû èåðàðõèè, ïðåäñòàâëÿþò ñâîåãî ðîäà "ýëëèïòè÷åñêóþ äåôîðìàöèþ" îáû÷íûõ áåçäèñïåðñèîííûõ èåðàðõèè ÊÏ è Òîäû, ñîîòâåòñòâåííî. Ýòî êàæåòñÿ âåñüìà íåîæèäàííûì èçàãàäî÷íûì.

×òî ìîæåò ñâÿçûâàòü ïôàôôèàíû è ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè?Ïîñëå ýëëèïòè÷åñêîé ïåðåôîðìóëèðîâêè îïèñàíèå îäíîêîìïîíåíòíûõ ðåäóêöèé èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ è Ïôàôô-Òîäû, ïîëó÷åííîå â äàííîé ðàáîòå, âûãëÿäèò âïîëíå åñòåñòâåííûì, åñëè ïîìíèòü î ñîîòâåòñòâóþùåì ðåçóëüòàòå Äæ.

Ãèááîíñà è Ñ. Öàðåâà äëÿ ñëó÷àÿ áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèè ÊÏ.Ìû äîêàçàëè, ÷òî îäíîêîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè, ò.å. ðåäóêöèè ñ åäèíñòâåííîé íåçàâèñèìîé ôóíêöèåé, ïîëó÷àþòñÿ èç ðåøåíèé ýëëèïòè÷åñêîãî àíàëîãà óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà (â ñëó÷àå Ïôàôô-ÊÏ) èëè ñèñòåìû ýòèõóðàâíåíèé (Ïôàôô-Òîäà). Äàííîå óðàâíåíèå õîðîøî èçâåñòíîãî â òåîðèè êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé äâóñâÿçíûõ îáëàñòåé ñ ðàçðåçîì. Âîïðîñî ãåîìåòðè÷åñêîì ñìûñëå ðåäóêöèé è èåðàðõèé â öåëîì íà äàííûé ìîìåíò, ïî-ïðåæíåìó, îñòàåòñÿ îòêðûòûì.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ìû íàøëè òîëüêî äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿñîãëàñîâàííûõ ðåäóêöèé ñ îäíîé ïåðåìåííîé. Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòèíåîáõîäèìûå óñëîâèÿ è äàòü ïîëíîå îïèñàíèå, íóæíî íàéòè âñå ðåøåíèÿ63ôóíêöèîíàëüíîé ñâÿçè (109), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ñîãëàñîâàííîñòè äëÿ ðåäóêöèé.Èçó÷åíèå îäíîêîìïîíåíòíûõ ðåäóêöèé áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèèÏôàôô-Òîäû íå äàëî íåîæèäàííûõ ðåçóëüòàòîâ, îäíàêî îðãàíè÷íî äîïîëíèëî öåëîñòíóþ êàðòèíó ñâÿçè óðàâíåíèé Ëåâíåðà è îäíîêîìïîíåíòíûõ ðåäóêöèé.Îïèñàíèå ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðåäóêöèé îêàçàëîñü ãîðàçäî áîëååñëîæíîé çàäà÷åé ñ ìíîãîóðîâíåâîé ïðîâåðêîé ñîâìåñòèìîñòè íîâûõóñëîâèé ñîãëàñîâàííîñòè ìåæäó ñîáîé è ñî âñåé èåðàðõèåé â öåëîì.Ìû íàøëè äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ N -êîìïîíåíòíîé äèàãîíàëüíîé ðåäóêöèè èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ â ýëëèïòè÷åñêîé ïàðàìåòðèçàöèè.Ðåäóêöèÿ çàäàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè Ëåâíåðà â êîëè÷åñòâåN øòóê (142) äëÿ ôóíêöèè u(z, λ1 , .

. . , λN ) è äèàãîíàëüíîé ñèñòåìîéãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà (150) äëÿ ïåðåìåííûõ λj , j = 1, . . . , N .Ìû ïîëó÷èëè óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèéËåâíåðà, êîòîðûå, êàê ìû è ïðåäïîëàãàëè, ÿâëÿþòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìèàíàëîãàìè óðàâíåíèé Ãèááîíñà-Öàðåâà è äîêàçàëè ðàçðåøèìîñòü ñèñòåìû ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî òèïà ñ ïîìîùüþ îáîáùåííîãî ìåòîäà ãîäîãðàôà. Êðîìå òîãî, äîêàçàëè, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìåòðèêàèìååò åãîðîâñêèé òèï.6477.1ÏðèëîæåíèÿÏðèëîæåíèå I.

Íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ î òýòàôóíêöèÿõ, íåêîòîðûå òîæäåñòâàÒýòà-ôóíêöèè ßêîáè θa (u) = θa (u, τ ), a = 1, 2, 3, 4, îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè2!X111exp πiτ k +θ1 (u) = −+ 2πi(u + ) k +,222k∈Z2!X11exp πiτ k +θ2 (u) =+ 2πiu k +,22k∈ZXexp πiτ k 2 + 2πiuk ,θ3 (u) =k∈Z X12θ4 (u) =exp πiτ k + 2πi u +k ,2(AI.1)k∈Zãäå τ ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíûì ìîäóëÿðíûì ïàðàìåòðîì òàêèì, ÷òîIm τ > 0.

Ôóíêöèÿ θ1 (u) ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, îñòàëüíûå òðè - íå÷åòíûå.Ïðåäñòàâëåíèå θ1 (u) ñ ïîìîùüþ áåñêîíå÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ:θ1 (u) = i exp iπτ4∞ Y2πikτ2πi((k−1)τ +u)2πi(kτ −u)−iπu1−e1−e1−e.k=1(AI.2)Òýòà-ôóíêöèè îáëàäàþò ñëåäóþùèìè êâàçè-ïåðèîäè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ïðè ñäâèãàõ íà 1 è τ :θa (u + 1) = eπi(1+2∂τ ωa−1 ) θa (u),θa (u + τ ) = eπi(a+2∂τ ωa−1 ) e−πiτ −2πiu θa (u).(AI.3)Äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè ââåäåì îáîçíà÷åíèåB(u) = e−πiu e−iπτ4.Ñîîòâåòñòâåííî, ïðîèçâîäíûå ïî u áóäóò èìåòü âèä:iπτB 0 (u) = (−πi)e−πiu e− 4 = −iπB(u),iπτB 00 (u) = (−πi)2 e−πiu e− 4 = −π 2 B(u).(AI.4)Ñäâèãè íà ïîëóïåðèîäû ñâÿçûâàþò ðàçëè÷íûå òýòà-ôóíêöè:θ1 (u + 21 ) = θ2 (u), θ2 (u + 21 ) = −θ1 (u),θ3 (u + 21 ) = θ4 (u), θ4 (u + 21 ) = θ3 (u).65(AI.5)τ2)τ2)τ2)τ2)1+τ2 )1+τ2 )1+τ2 )1+τ2 )θ1 (u +θ2 (u +θ3 (u +θ4 (u +θ1 (u +θ2 (u +θ3 (u +θ4 (u += iB(u)θ4 (u),= B(u)θ3 (u),= B(u)θ2 (u),= iB(u)θ1 (u).(AI.6)= B(u)θ3 (u),= −iB(u)θ4 (u),= iB(u)θ1 (u),= B(u)θ2 (u).(AI.7)Îòìåòèì òàêæå ñîîòíîøåíèåθ10 (0) = πθ2 (0)θ3 (0)θ4 (0).(AI.8)Ìíîãî ïîëåçíûõ ôîðìóë äëÿ òýòà-ôóíêöèé ìîæíî íàéòè â [70]. îñíîâíîì òåêñòå ìû èñïîëüçóåì ôóíêöèè:ζa (x, τ ) =∂log θa (x, τ ),∂x℘a (x, τ ) = −∂ζa (x, τ ),∂xa = 1, 2, 3, 4.Âñå ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíûõ ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ìîäóëÿðíîìó ïàðàìåòðó ñëåäóþò èç óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿþò òýòà-ôóíêöèè:(AI.9)4πi ∂τ θa (u) = ∂u2 θa (u). ÷àñòíîñòè, ïðîèçâîäíàÿ ïî τ îò ζ1 :4πi∂τ ζ1 (u|τ ) = 2ζ1 (u|τ )ζ1 0 (u|τ ) + ζ1 00 (u|τ )(AI.10)(ñì., íàïðèìåð, [69]).