Диссертация (Динамическая оптимизация стилизованных портфелей акций с применением копул), страница 11

При этомоптимальный порядок будет определяться путем вычисления критерия BIC ивыбора комбинации, соответствующей наименьшему значению этогокоэффициента.Длямоделированиястандартногоотклонениядоходностейакцийидепозитарный расписок будет использоваться GJR-GARCH с максимальнодопустимымпорядком(2,2).Оптимальныйпорядоктакжебудетопределяться через вычисление коэффициента BIC.Оценки стандартного отклонения и математического ожидания далее будутиспользоваться для вычисления стандартизованных остатков:ε =[Где−μ (; α)]/σ(; α)это вектор оптимальных параметров моделей математическогоожидания и стандартного отклонения.Так как распределение остатков неизвестно, требуется либо сделатьпредположение о его распределении, либо использовать непараметрическуюмодель. В случае данного исследования работа ведется с данными цен акций,статистические характеристики которых меняются со временем, кроме тогоимеют место различные шоки и одноразовые события, которые сильно62затрудняют возможность предположения о конкретной форме распределениядоходности того или иного актива.

С этой точки зрения логично обратиться кполупараметрическомуформатукопулы,прикоторомиспользуетсяэмпирическая функция распределения остатков. К этому выводу можноприйти так же основываясь на работе Kim & Silvapulle (2007),которыеотмечают, что параметрические модели «неробастны» при неправильнойспецификации предельных распределений и полупараметрические модели всреднем оказываются лучше.

В связи с этим, по аналогии с Patton(2012)используется непараметрическая оценка функции распределения остатков –эмпирическая функция распределения (EDF):( )=ПолученныеEDFдалее1+11{ε ≤ }используютсядляпостроениясовместногораспределения с помощью Vine - копул, в основе которых лежит обратнаякопула Гумбеля, которая раскрывается подробнее в следующем разделе.Выбор данной копулы связан с несколькими ее преимуществами. Во-первых,Vine - копулы позволяют упростить построение многомерной копулы наоснове парных копул, что позволяет строить совместного распределениебольшого количества случайных величин без драматического увеличениясложностивычислений.представляютриски,Во-вторых,которыенесуттаккакнаибольшийрассматриваемыеинтересфинансовыеинструменты, причем под риском подразумевается снижение стоимостипортфеля, то выбор обратной копулы Гумбеля, которая делает акцент навзаимосвязи отрицательных доходностей, также представляется разумнымрешением.С этой точки зрения, однако, стоит отметить другуюальтернативу – копула Клэйтона так же делает акцент на взаимосвязиотрицательных величин.

Выбор именно обратной копулы Гумбеля связан срезультатами исследования Patton(2012) в которых показано преимущество63этой копулы над копулой Клэйтона. Однако стоит также отметить, чтоPatton(2012) выделяет t-копулу как наиболее качественную модель, аобратная копула Гумбеля в его исследовании занимает второе место. С точкизрения простоты вычислений, тем не менее, обратная копула Гумбеля болеепредпочтительна, и с этим связан ее выбор в данном исследовании.Полученнаяфункция,далееможет быть использованадляоценкисовместного риска финансовых инструментов, что достаточно важно припостроении и оптимизации инвестиционного портфеля, о чем будет сказанопозже.2.2.2. Оценка риска на основе копулыКак упоминалось в главе 1, одним из основных инструментов для оценкирисков финансовых активов и инвестиционного портфеля можно считатьпоказатель Value-at-Risk (VaR).

Для начала приведем общее определение,позаимствованное в книге McNeil et al (2005):Определение. (McNeil et al (2005))Пусть имеется некоторый уровень значимости∈ (0,1). В таком случаеможно определить Value-at-Risk (VaR) при уровне значимости, какнаименьшее допустимое значение ≥ 0, такое, что вероятность убытка L непревышает значение 1 − :()={ ∈ ℝ: ( > ) ≤ 1 − } ={ ∈ ℝ:()≥ }Другими словами, VaR это, по сути, квантиль распределения убытков. Какправило, уровень значимостипринимает значения 0.95 или 0.99.В главе 1, уже упоминалось о некоторых недостатках применения VaR вкачестве меры для оценки риска инвестиционного портфеля.

Один из них этоотсутствие характеристики субаддитивности, что затрудняет вычисления.Другой недостаток заключается в том что VaR по сути предназначен дляописания функций имеющих эллиптическое распределение. Соответственно,64данная мера риска уделяет недостаточное внимание к распределениям столстыми хвостами, что может вести к чрезмерно оптимистичной оценкериска.В Главе 1 упоминалось о более универсальной и уместной альтернативе –Conditional Value-at-Risk (CVaR) – которая и будет использоваться в данномисследовании для оценки риска и отчасти решает проблемы обычного VaR.Далее приводится формальное определение:Определение. (McNeil et al (2005))Пусть– случайная величина, определяющая размер убытка.

Пусть такжеимеется некоторый уровень значимости∈ (0,1). В таком случае можноопределить Conditional Value-at-Risk (CVaR) при уровне значимости, какожидаемое значение , при условии, что оно превышает VaR:()= [ | ≥( )]Другими словами, CVaR показывает средний убыток, который стоит ждать втом случае, если значение VaR окажется неверным, то есть, имеет местоследующее нестрогое неравенство:≤Итак, имея функцию совместного распределения доходности финансовыхинструментов, можно на ее основе определять, что конкретные значенияокажутся в том или ином диапазоне, то есть, фактически, имея копулы,можно оценивать VaR и CVaR портфеля и отдельных активов в нем.CVaR в данном исследовании вычисляется на основе симуляций сценариевдоходности активов.

Симуляции строятся на основе функции совместногораспределения, то есть копулы. Симуляция сценариев доходности с учетомтого, что уже получены остатки ARMA для моделирования доходностей всех65активов и вычислены параметры копулы, на основе копулы производитсяследующим образом1. Генерируются выборка независимых равномерно распределенных(случайных величин,…,) по размерности копулы, то есть поколичеству активов2. Наосновевыборкивычисляютсяпоследовательноостатки,взаимосвязь которых оценивалась копулой (Aas et all(2009))==(=(| )| ,)…= …=(| ,…,{| ,…,)Где,…,=,,…,,,…,},…,3. На основе полученных остатков и параметров ARMA для каждогоактива вычисляются сценарии доходности.Симуляция провидится 1000 раз, соответственно в результате получатсяматрица доходностей каждого актива на 1000 симуляций.…=………При заданном коэффициенте значимости 99%, CVaR определяется каксреднее значение всех наблюдений, меньших, чем 99% остальных значенийиз сгенерированной выборки.

Для вычисления CVaR портфеля понадобится66сделать предположение о весах активов, в таком случае можно будетвычислить доходность портфеля на каждой симуляции, и вычислить CVaR.2.3 Способы классификации акций по инвестиционным стилямКлассификация акций по инвестиционным стилям позволяет решить впервую очередь 2 вопроса – соответствие конкретного стиля предпочтенияминвестора и преимущество конкретного стиля перед другими в сложившейсяинвестиционного обстановке. Данное исследование перенесено в несколькоиную плоскость – комбинация стилей инвестирования и оптимизациипортфеля путем моделирования стилизованных целевых функций.

Будутсоставлены стилизованные инвестиционные портфели: акции роста, акциистоимости, акции рентабельности, дивидендные акции и акции моментум.Выбор того или иного портфеля на основе предпочтений инвестора илиперспектив конкретного стиля в сложившейся конъюнктуре остается запределами данного исследования, что бы избежать смещения фокуса.Подробно по этому направлению можно почитать работу Lakos-Bujas etal.(2015).Для классификации первых двух стилей – акций роста и акций стоимостибудут использоваться один мультипликатор.

Это уместно, так как эти двастиля довольно часто противопоставляются друг другу.В разделе 2.1.4 были приведены формулы различных мультипликаторов,которые встречаются в литературе по классификации акций стиля и акцийстоимости: Мультипликатор Price-to-Earnings:= Мультипликатор Price-to-Book Value= Мультипликатор Price-to-Cash Flow:67=В тоже время, так как по российскому рынку акций относительно малоданных, было принято решение использовать только мультипликатор Bookto-Price, так как по нему больше всего данных для большинства исследуемыхкомпаний. Наиболее обширный вариант подразумевает разбиение всегосписка на 2 равные части – 50% акций с наивысшим рангом – это акциироста, 50% акций с наименьшим рангом – это акции стоимости.

В тоже времялогично рассмотреть и более строгое разбиение, когда по мультипликаторуберется топ 30% акций как акции роста и худшие 30% как акции стоимости.Таким образом, будет получено несколько различных вариантов портфелейсоответствующих стилей, которые далее можно сравнить между собой ивыбрать наилучший по ряду критериев.Что касается акций рентабельности, то для них в литературе используетсядругой набор показателей, приведенный в разделе 2.1.4: коэффициент рентабельности собственного капитала ROE:= коэффициент рентабельности активов ROA:=Здесь также появилась необходимость выбрать лишь один показатель, какнаиболее распространенный в плане доступности данных – ROE.