Конспекты курса по функциональному анализу 2009, страница 7

Обратные операторыПусть X, Y — линейные нормированные пространства и A : X → Y иD(A) ⊂ X— область определения A,R(A) ⊂ Y — область значений Aи∀x ∈ D(A) ∃ !y ∈ R(A) : Ax = y.Определение. Если∀y ∈ R(A) ∃ !x ∈ D(A) : Ax = y,то на R(A) задан обратный операторx = A−1 y.Если для линейного оператора A существует обратный оператор, то выполнены следующие соотношения:A−1 A = E в X(D(A))иAA−1 = E в Y (R(A)).24Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Оператор B : Y → D(B) для которогоBy = x ∈ D(B),AB = E в Y,называется правым обратным к A.Рассмотрим уравнениеAx = y.Для любого y существует решение, но так как область значений D(B) правого обратного оператора B являетсяподмножеством X, то решение существует, но может быть не единственно. Аналогично введем левый обратныйоператор C : Y → X :CA = E в X.При условии существования левого обратного оператора уравнение Ax = y решение единственно, если оносуществует, но может и не существовать.

Условие существования обратного оператора равносильно условиясуществования и равенства правого и левого обратных операторов.Утверждение 8.1. Если A — линейный оператор, то и обратный к нему также является линейным.x = A−1 (αy1 + βy2 ) − αA−1 y1 − βA−1 y2 ⇒ Ax = αy1 + βy2 − αy1 − βy2 = 0 ⇒ Ax = 0 ⇒ x = 0Откуда непосредственно следует линейность обратного оператора. Однако из непрерывности линейного оператора не следует непрерывность обратного к нему оператора.Теорема 8.1. Пусть(1) X, Y — линейные нормированные пространства.(2) A : X → Y — линейный оператор.(3) ∃ m > 0 : ∀x ∈ X||Ax||Y > m||x||X .

Тогда на R(A) ⊂ Y существует обратный ограниченный операторA−1 .Покажем, что из y = Ax1 и y = Ax2 следует, что x1 = x2 :0 = ||Ax1 − Ax2 || > m||x1 − x2 || ⇒ ||x1 − x2 || = 0 ⇒ ∀y ∃ !x : y = Ax.A−1 y 61||y|| ⇒ A−1 (·)— ограниченный оператор.mУтверждение 8.2. Рассмотрим два линейных ограниченных оператора A и B, отображающих линейноенормированное пространство X в само себя. Тогда имеет смысл произведение AB и||AB|| 6 ||A|| · ||B||.Длю любого x ∈ X выполняется соотношение||ABx|| 6 ||A|| · ||Bx|| 6 ||A|| · ||B|| · ||x||,откуда и следует данное утверждение. Утверждение 8.3. Пусть An , A, Bn , B ∈ (X → X) и An → A, Bn → B в смысле равномерной сходимости.ТогдаAn Bn → AB.||An Bn − AB|| 6 ||An Bn − An B|| + ||An B − AB|| 66 ||An || · ||Bn − B|| + ||B|| · ||An − A||.Последовательность ||An || ограничена в силу сходимости, а||An − A|| → 0 и ||Bn − B|| → 0.Откуда и следует, что||An Bn − AB|| → 0.Теорема 8.2 (Неймана).

Пусть25Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)(1) X — банахово,(2) A : X → X — линейный ограниченный оператор,(3) ||A|| 6 q < 1.Тогда существует оператор(E − A)−1 и ||(E − A)−1 || 61.1−qРассмотрим последовательность операторовA0 = A, A1 = A(A), . . .

, An = An (A).||An || 6 q n , так как ||AB|| 6 ||A|| · ||B||.(E − A)nXAk = E − An+1 → E ⇒ (E − A)−1 =k=0∞XAk , иk=0||(E − A)−1 || 6∞X||Ak || 6k=011−qАналогично теорему можно доказать для оператора E + A, учитывая, что(E + A)−1 =∞X(−1)k Ak .k=0Теорема 8.3.Пусть(1) X — банахово,(2) A — линейный ограниченный оператор, A : X → X,(3) ∃ A−1 ,(4) ∆A — линейный ограниченный оператор и||∆A|| 61.||A−1 ||Тогда оператор B,B = A + ∆Aимеет обратный оператор и||B −1 − A−1|| 6||∆A|| · ||A−1 ||2.1 − ||A−1 || · ||∆A|| B = A + ∆A = (E + ∆A · A−1 )A, и ||∆A · A−1 || 6 ||A−1 || · ||∆A|| 6 q < 1, откуда следует существованиеобратного оператора∞X(E + ∆A · A−1)−1 =(∆ A · A−1 )n .n=0есть обратный к оператору (E + ∆A · A−1 )A = B. Далее||B −1 − A−1 || = ||A−1 (E + ∆A · A−1 )−1 − A−1 || = ||A−1 (E + ∆A · A−1 )−1 − E || 6∞∞∞XXX6 ||A−1 || · ||(−1)n (∆A · A−1 )n − E|| = ||A−1 || · ||((−1)(∆A · A−1 ))n || 6 ||A−1 || ·||∆A · A−1 ||n =Тогда оператор A−1(E + ∆A · A−1 −1)n=0n=1n=1−1=Теорема 8.4 (Банаха об обратном операторе).Пусть26||∆A · A ||||∆A|| · ||A−1 ||2||A−1 || 6.−11 − ||∆A · A ||1 − ||∆A|| · ||A−1 ||Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)(1) X, Y — банаховы,(2) A : X → Y — линейный ограниченный оператор, осуществляющий взаимно однозначное отображениевсего пространства X на все пространство Y .Тогда существует обратный оператор являющийся ограниченным и отображающий Y на X.

Необходимо доказать лишь ограниченность, так как существование обратного следует из того, что Aосуществляет взаимно однозначное отображение.∀n : Yn = {y ∈ Y : ||A−1 y|| 6 n||y||},каждое из указанных множеств непусто, так как в нем содержится ноль.Пусть y 6= 0 и −1 ||A y||= N,||y||Тогда y ∈ YN +1 ⇒ Y =∞SYn .

По теореме Бэра о категориях Yn0 не является нигде не плотным множеством (n=1Y — множество второй категории), значит в Y существует шар B:для любого подшара B 0 выполняется B 0 ∩ Yn0 6= ∅.Рассмотрим шар B(y, r) :B(y, r) ∩ Yn0 = B(y, r),в нем возьмем B 1 (y1 , r1 ), B 1 ⊂ B, y1 ∈ Yn0 и∀y : ||y|| = r1 выполняется условиеy1 + y ∈ B 1 .Откуда следует существование последовательности z (k) ∈ Yn0 :z (k) → y1 + y.Положим y (k) = z (k) − y1 → y ⇒ ||y (k) || → ||y||, пустьr126 ||y (k) || 6 r1||A−1 y (k) || = ||A−1 z (k) − A−1 y1 || 6 n0 ||z (k) || + ||y1 || 626 n0 ||y (k) || + 2||y1 || 6 n0 (r1 + 2||y1 ||) 6 n0 (r1 + 2||y1 ||) ||y (k) ||.r{z}|1Cy (k) ∈ YN = [C] + 1,Пусть y 6= 0, y ∈ Y z =y||y|| r1 , ||z||= r1 .

и z (k) → z, z (k) ∈ YN , y (k) =||A−1 y (k) || =z (k)r1 ||y||→ y; и||A−1 z (k) ||N ||z (k) ||||y|| 6||y|| = N ||y (k) || ⇒ y (k) ∈ YN .r1r1Возьмем y 6= 0, ||y|| = l, тогда∃ y1 ∈ YN : ||y1 || 6 l и ||y − y1 || 6∃ y2 ∈ YN : ||y2 || 6yn ∈ YN : ||yn || 6l2n−1llи ||y − (y1 + y2 )|| 6 222...и ||y − (y1 + . . . + yn )|| 6И положимxk = A−1 yky = limn→∞nXl2yk и x = limn→∞k=1x = A−1 y27nXk=1xkl2nЛекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)и покажем сходимость соответствующего ряда.||∞Xk=n+1||xk || =k=n+1||A−1 y|| = ||x|| = ||оператора A−1 .

∞Xxk || 6∞P∞X||A−1 yk || 6k=n+1∞XN ||yk || 6k=n+1∞Xk=n+1Nl2k−16Nl→02n−1xk || 6 2N l = 2N ||y|| ⇒ y ∈ Y2N , в силу произвольности y получаем ограниченностьk=1Пример.∂∂x∂p(x) y(x) + q(x)y(x) = f (x),∂xp ∈ C[0, 1], q ∈ C[0, 1], f ∈ C[0, 1]y(0) = y(1) = 0;(1)(2)Указанный дифференциальный оператор, действующий из C 2 [0, 1] в C[0, 1], не является ограниченным. Оператор обратный к нему, действующий из C[0, 1] в C[0, 1], записывается с помощью функции Грина:Z1y(x) =G(x; t)f (t)dt.0§9. Линейные функционалыОпределение. Линейный функционал — линейный ограниченный оператор отображающий пространство вмножество вещественных чисел.Пространство линейных функционалов над X обозначается X ∗ .Теорема 9.1 (Хана-Банаха).Пусть(1) X — сепарабельное линейное нормированное пространство,(2) L — линейное многообразие в X,Тогда любой функционал, заданный на L можно продолжить на X с сохранением нормы:1.

F (x) = f (x),∀x ∈ L,2. ||F ||X = ||f ||L .Возьмем x0 ∈ X \ L и L0 = (L, x0 ),u(x, t) = x + tx0 ,x∈Lu однозначно определяется по x и t, действительноx1 + t1 x0 = x2 + t2 x0 ⇒ x0 (t2 − t1 ) = x1 − x2 ⇒ x1 = x2 и t1 = t2 ,так как выражение слева, не принадлежит L, если оно отлично от нуля, а выражение справа принадлежит L.Пусть x1 , x2 ∈ L, f (x1 ) − f (x2 ) = f (x1 − x2 ) 6 ||f || · ||x1 − x2 || 6 ||f || · (||x1 + x0 || + ||x2 + x0 ||), откуда получаем,чтоf (x1 ) − ||f || · ||x1 + x0 || 6 ||f || · ||x2 + x0 || + f (x2 ),|{z} |{z}sup по x1inf по x2и получается, что должна существовать константа C, "разделяющая" левую и правую части неравенства, тоестьf (x1 ) − ||f || · ||x1 + x0 || 6 C 6 ||f || · ||x2 + x0 || + f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ L.Откуда для ∀x ∈ L|f (x) − C| 6 ||f || · ||x + x0 ||.Положимψ(u) = f (x) − tC,28Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)ψ(u) совпадает с f (x) на L, и для t 6= 0xx|ψ(u)| = |f (x) − tC| = |t| · |f ( ) − C| 6 |t| · ||f || · || + x0 || =tt= ||f || · ||x + tx0 || = ||f || · ||u|| ⇒ ||ψ|| 6 ||f || ⇒ ||ψ|| = ||f ||.Так как обратное неравенство верно всегда.В силу сепарабельности пространства X в нем существует счетное всюду плотное множество, выкинем изнего точки, попадающие в L, получим множество {xn } иL1 = (L0 , x1 ), .

. . , Ln = (Ln−1 , xn )b=L∞[b ||ψ|| b = ||f ||Ln : ψ задан на L,Ln=0b : xn → x.ψ(x) = f (x) на L, ∀x ∈ X ∃ {xn }, xn ∈ LF (x) = lim ψ(xn )n→∞|ψ(xn )| 6 ||ψ|| · ||xn || = ||f || · ||xn ||, и, перейдя к пределу по n, получим что |F (x)| 6 ||f || · ||xn || ⇒ ||F || 6 ||f || ⇒ ||F || = ||f ||. Следствие 9.1.Пусть X — линейное нормированное пространство и x0 ∈ X, x0 6= 0, тогда существует линейный функционалf (x) :f (x0 ) = ||x0 || и ||f || = 1.Рассмотрим линейное подпространство L = tx0 , и пусть x ∈ L, тогдаf (x) = t||x0 || = ||tx0 || = ||x|| ⇒ ||f || = 1.И по теореме Хана-Банаха f (x) можно продолжить с сохранением нормы на все пространство X. Теорема 9.2.Пусть(1) X — банахово,(2) xn ∈ X и∀f ∈ X ∗ ∃ Cf : |f (xn )| 6 CfТогда∃ C : ||xn || 6 C.Докажите сами. Лекция 9.Следствие 9.2.Пусть(1) X — банахово,(2) x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 ,Тогда существует функционал f :f (x1 ) 6= f (x2 ).Следствие 9.3.Пусть(1) X — банахово,29Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)(2) ∀x ∈ Xf (x) = 0,Тогда f = 0.Определение.

Пусть (X — линейное нормированное пространство) X — банахово. Будем говорить, чтоwxn −→ x ∈ X,если ∀f ∈ X ∗f (xn ) → f (x).Слабо сходящаяся последовательность имеет только один предел. Слабо сходящаяся последовательностьявляется ограниченной. Из сильной сходимости следует слабая, так как|f (xn ) − f (x)| 6 ||f (xn )|| · ||xn − x||.В конечномерном пространстве сильная и слабая сходимость эквивалентны, что , конечно, не верно в бесконечномерном пространстве.Теорема 9.3. Для банахова пространства Xwxn −→ x ⇔ f (xn ) ⇒ f (x) на шаре ||f || 6 1.Необходимость:f (xn ) − f (x) 6 ||f || · ||xn − x|| 6 ||xn − x||Достаточность:∀ε > 0 ∃ N (ε) : ∀n > N |f (xn ) − f (x)| < ε∀f : ||f || 6 1 ⇒ sup |f (xn ) − f (x)| 6 ε.||f ||61§10.

Гильбертовы пространстваОпределение. Линейное пространство над полем комплексных или вещественных чисел называется гильбертовым, если1. На нем определено скалярное произведение(x, y),2. Пространство является полным относительно нормыp||x|| = (x, x),3. Пространство является бесконечномерным.pПокажем, что функция f (x) = (x, x) действительно задает норму на X:1. f (x) > 0 и, если f (x) = 0, то (x, x) = 0 ⇒ x = 0,p2. f (αx) = αα(x, x) = |α|f (x),3.