Конспекты курса по функциональному анализу 2009, страница 4

f (x) > 0 и интегрируема на измеримом множестве E конечной меры, тогда изRf dx = 0 ⇒Ef = 0(п.в.).∀a > 0 Ea = E[f > a] и 0 =RE∞P|E[f >n=11n ]|Rf dx >f dx > a|Ea | ⇒ |Ea | = 0∀a > 0. E[f > 0] =∞SE[f >n=1Ea1n]6= 0. Лекция 5.Теорема 4.6 (Мажорантный признак суммируемости). Пусть f1 , f2 – измеримые функции и пустьf2 суммируема и 0 6 f1 6 f2 . Тогда f1 суммируема по Лебегу.RRR (f1 )N 6 (f2 )N ⇒ IN = (f1 )N dx 6 (f2 )N dx 6 f2 dx ⇒ IN → I, N → ∞.

EEE4.3. Интеграл Лебега от функций произвольного знака.Определение.Пусть f+ (x) = 12 (|f (x)|+f (x)), f− (x) = 12 (|f (x)|−f (x)). Тогда f (x) = f+ (x)−f− (x), |f (x)| = f+ (x)+f− (x).Измеримая на E функция f (x) суммируема на E, если f+ (x) и f− (x) суммируемы на E и по определениюZZZ(3)f (x)dx = f+ (x)dx − f− (x)dx.EEEЗамечание.f (x) ∈ L1 (E) ⇔ |f (x)| ∈ L1 (E).(4)Пример.

Из (4) следует, что для интеграла Лебега не существует понятия условной сходимости.+∞R1сходится по признаку Дирихле-Абеля, но+∞R1| sin(x)|dxx+∞R61sin2 (x)dxx=12+∞R11−cos(2x)dxxsin(x)x dxрасходится как раз-ность сходящегося и расходящегося интегралов. И следовательно, после замены x = 1t , получаем чтоR10sin( 1t )dttрасходится по Лебегу.Теорема 4.7 (Теорема о полной аддитивности).

Пусть E =∞FEkk=11. если f (x) ∈ L1 (E), то f (x) ∈ L1 (Ek ) иZf (x)dx =∞ RPf (x)dx(5)k=1EkE2. если f (x) ∈ L1 (Ek ), k = 1, 2, . . . и∞ ZX|f (x)|dx < ∞k=1 Ek⇒f (x) ∈ L1 (E) иRf (x)dx =E∞ RPf (x)dx.k=1 Ek1.REf (x)dx =Rf+ (x)dx −ERf− (x)dx для каждого из интегралов применим теорему (4.3).E2. f ∈ L1 (Ek ) ⇒ |f (x)| ∈ L1 (Ek ) и по теореме (4.3) |f (x)| ∈ L1 (E) ⇒ f (x) ∈ L1 (E) по пункту 1 даннойтеоремы выполняется равенство (5).Теорема 4.8 (Об абсолютнойнепрерывности). Пусть f (x) ∈ L1 (E), тогда ∀ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 : ∀e ⊂RE и такого что |e| < δ | f (x)dx| < ε.e12Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)f (x) ∈ L1 (E) ⇒ |f (x)| ∈ L1 (E) ⇒ {по теореме (4.4)}∀ε > 0 ∃ δ :ZZ|f (x)|dx > |∀e ⊂ E и такого что |e| < δ : ε >f (x)dx|.eeв среднемОпределение. {fn }, f ∈ L1 (E). fn −−−−−−→ f , еслиR|fn − f |dx → 0, n → ∞.ERRRRв среднем| [fn − f ]dx| 6 |fn − f |dx ⇒ fn dx → f dx, если fn −−−−−−→ f.EEEEУтверждение 4.2.

ИзR сходимости вR среднем следует сходимость по мере.∀ε En = E[|fn − f | > ε] и |fn − f |dx >|fn − f |dx > ε|En | → 0 ⇒ |En | → 0, n → ∞.EEnОбратное утверждение неверно.(n, 0 6 x 6 n1 ,Пример. E = [0, 1] fn (x) =,0, n1 < x 6 1.λfn (x) −→ 0, ноRfn dx = 1.EТеорема 4.9 (Лебег).L1 (E)λ{fn (x)} ∈ L1 (E), fn (x) −→ f (x) и ∃ F (x) ∈ L1 (E) : |fn (x)| 6 F (x). Тогда fn (x) −−−−→ f .п.в.По Rтеореме (3.6) fRnk −−→ f , следовательно|f (x)| 6 F (x)(п.в.) и R∀ε > 0 En = E[|fn − f | > ε],Rтогда |fn − f |dx =|fn − f |dx +|fn − f |dx 6 ε|E \ En | + 2 F (x)dx → 0 при ε → 0, n → 0, так как изEEnEnE\Enсходимости по мере следует, что |En | → 0 при n → 0. Замечание.

В условии теоремы можно было заменить сходимость по мере сходимостью почти всюду.RТеорема 4.10 (Леви). Пусть {fn (x)} ∈ L1 (E), fn 6 fn+1 (п.в.) на E и | fn (x)dx| 6 M . Тогда (п.в.) наEE ∃ lim fn (x) = f (x) иZlimZfn (x)dx =n→∞Ef (x)dx(6)E Положим fn (x) > 0 {gn (x) = fn (x) − f1 (x) > 0}, тогда (п.в.) существует конечный (А вот это надо быпоказать!) предел f (x) для монотонной последовательности. Покажем, что f (x) ∈ L1 (E):RR перейдем к последовательности срезок функций fn (x): {(fn )N (x)}, (fn )N (x) → (f )N (x).

(fn )N (x) 6 fn (x) ⇒ (fn )N (x)dx 6 fn (x)dxERRRRR Eи по теореме Лебега получаем, что lim (fn )N (x)dx = fN (x)dx и M > fn (dx) > fN dx ⇒ fN dx 6 M ,n−→∞ EEEEREследовательно существует конечный предел неубывающей по N последовательности fN dx, следовательноEf (x) ∈ L1 (E). Замечание. Можно сформулировать теорему Леви для функциональных рядов:∞ R∞∞ RRPPPПусть un (x) > 0 и принадлежат L1 (E) иun (x)dx < ∞. Тогда ∃ S(x) =un (x) и S(x)dx =un (x)dx.n=1 En=1EДля доказательства утверждения применим Теорему Лебега к последовательности fn = Sn =nPn=1 Eun (x).k=1R(п.в.)Теорема 4.11 (Фату).

{fn (x)} ∈ L1 (E), fn (x) −−−−→ f (x) и ∃ A : |fn (x)|dx 6 A, тогда lim fn (x) = f (x)n→∞ERи f (x) – суммируемая функция, такая что |f (x)|dx 6 A.ERR gn (x) = inf |fk (x)| gn (x) > 0, gn (x) ↑, gn (x) ∈ L1 (E) gn (x)dx 6 |f (x)|dx 6 A ⇒ к последовательностиk>nEEgn (x) можно применить Теорему Леви. Теорема 4.12 (Лебега). Пусть f (x) – ограниченная функция, тогда f (x) суммируема тогда и толькотогда, когда f (x) измерима.Лекция 6.13Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10) Доказательство достаточности составляет содержание теоремы (???), поэтому в доказательстве нуждается лишь необходимость.Пусть функция f (x) ограничена и интегрируема по Лебегу на измеримом множестве Е.

Это означает, чтоверхний и нижний интегралы Лебега от этой функции равны друг другу, и, стало быть, существует последова(n)тельность разбиений Tn = {Ek } множества Е такая, что соответствующие последовательности верхних {Sn }(n)и нижних {sn } сумм удовлетворяют условию Sn ¯sn < n1 , причем каждое последующее разбиение Тn = {Ek }(n−1)является измельчением предыдущего разбиения Тn−1 = Еk. (Для построения такой последовательностиразбиений достаточно там, где это необходимо, брать произведение вводимых разбиений.) По определениюX (n) (n)X (n) (n)Sn =Mk |Ek |, sn =mk |Ek |,k(n)где Mk(n)= sup f (x) и mk(n)Ekk= inf f (x).

определим две последовательности функций {f n (x)} и {f n (x)}.(n)Ekf n (x) =X(n)(n)(7)(n)(n)(8)Mk I{Ek },kf n (x) =Xmk I{Ek }kИз определения разбиения и (7), (8) следует, что введенные выше функции являются измеримыми. Последовательность (7) не возрастает, а последовательность (8) не убывает, и для любого nf n (x) 6 f (x) 6 f n (x).(9)Положим f (x) = lim f n (x) и f (x) = lim f n (x), введенные функции измеримы, так как являются пределамиn→∞n→∞последовательностей измеримых функций. Тогдаf n (x) 6 f (x) 6 f (x) 6 f (x) 6 f n (x) 6 f n (x).(10)Из Теоремы Б. Леви получаем, чтоZZ[f n (x) − f n (x)]dx =limn→∞EИз (7), (8) следует, чтоRE[f (x) − f (x)]dx.(11)E[f n (x) − f n (x)]dx = Sn − sn .

И так как lim Sn − sn = 0, тоn→∞R[f (x) − f (x)]dx = 0.EСледовательно из (10) получаем, что f (x) = f (x) = f n (x) почти всюду на E, получаем, что f (x) измерима наE. Теорема 4.13 (Теорема Фубини для случая меры Лебега). Пусть E = {(x, y) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d}RdRbи f (x) суммируема на E. Тогда для почти всех x ∈ [a, b] ∃ f (x, y)dy и для почти всех y ∈ [c, d] ∃ f (x, y)dxcaи эти функции суммируемы на соответствующих множествах и их повторные интегралы равны соответствующему двойному интегралу:ZbZddxaZdf (x, y)dy =cZbdycZf (x, y)dx =aЗамечание. Из существования повторных интеграловf (x, y)dxdy.(12)ERbadxRdcf (x, y)dy иRdcdyRbf (x, y)dx не следуют, вообщеaговоря, ни равенства (12), ни интегрируемость функции f (x, y) на E.

Однако, если существует хотя бы один изинтеграловZbZdZd Zbdx |f (x, y)|dy или dy |f (x, y)|dx(13)accто f (x, y) интегрируема на E и справедливо равенство (12).14aЛекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Действительно, пусть, например, первый из интегралов (13) существует и равен M . Функция fn (x, y) =min{|f (x, y)|, n} измерима, ограничена, а значит, и суммируема на E.

По теореме ФубиниZbZdZfn (x, y)dy 6 M.dyfn (x, y)dxdy =(14)acEФункции fn образуют монотонно неубывающую последовательность, почти всюду сходящуюся к |f (x, y)|. Потеореме Б. Леви отсюда и из неравенства (14) следует, что функция fn (x, y) суммируема на E. Но тогда и f (x, y)суммируема и для нее верна теорема Фубини.Пример функции для которой существуют повторные интегралы, но равенство (12) не имеет места. E =[−1, 1] × [−1, 1] иxyf (x, y) = 2при x2 + y 2 > 0 и f (0, 0) = 0;(x + y 2 )2тогдаZ1f (x, y)dx = 0−1при всех y иZ1f (x, y)dy = 0−1при всех x. Следовательноdydxf (x, y)dx =−1−1−1Z1Z1Z1Z1f (x, y)dy = 0,−1но интеграл в смысле двойного интеграла Лебега по квадрату не существует, так какZ1Z|f (x, y)|dxdy >dr0EZ2π| sin ϕ cos ϕ|dϕ = 2r0Z1dr= ∞.r04.4.

Интеграл Лебега от измеримой функции любого знака на измеримом множествебесконечной меры.Пусть |E| = ∞, будем говорить, что последовательность {En } исчерпывает E, если En измеримы и |En | <∞RS+∞, En ⊂ En+1 , E =f (x)dx,En . Если f (x) измерима на любом En и существует конечный предел limn→∞n=1EnRRRf (x)dx не долженто f (x) суммируема на E и = limf (x)dx, для корректности определения предел limEn→∞n→∞EnEnзависеть от выбора конкретной исчерпывающей последовательности.§5. Функциональные пространства.5.1.

Пространства Lp , p > 1.Определение.ПространствоLp (E) — множество всех классов эквивалентностей измеримых на E функцийRpдля которых ∃ |f (x)| dx.EВ указанном пространстве введем функциюZ||f ||p =  p1|f (x)|p dx .(1)EПокажем, что функция (1) удовлетворяет аксиомам нормы в пространстве Lp (E). Докажем для указаннойнормы неравенство треугольника, то есть неравенство Минковского.Теорема 5.1. Пусть f (x) и g(x) ∈ Lp , p > 1, тогда f + g ∈ Lp и||f + g||p 6 ||f ||p + ||g||p .15(2)Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)(a) Для p = 1 утверждение теоремы очевидно.pp|a| +|b|p⇒ { подставим f (x) вместо a и g(x)(b) функция |x|p , p > 1 выпукла вниз, следовательно ( |a+b|2 ) 62pp−1ppвместо b, получим, что |f (x) + g(x)| 6 2 (|f (x)| + |g(x)| ), следовательно f (x) + g(x) ∈ Lp .(c) Докажем само неравенство (2)(c1) Неравенство Юнга.

Пусть a, b > 0 и p > 1, p1 +11q= 1. Тогдаa b+ .p q(3)bqap+ .pq(4)1ap bq 6илиab 6 Положим ψ(x) = xα − αx для x > 0, α ∈ (0, 1). Тогда ψ 0 (x) = αxα−1 − α = α(xα−1 − 1); следовательно ψ 0 (x) > 0 при 1 > x > 0 и меньше нуля при x > 1, следовательно ψ(x) достигает максимума вточке x = 1.

То есть ψ(x) 6 ψ(1) ⇒ xα − αx 6 1 − α ⇒ xα < αx + 1 − α. Пусть x = ab , a, b > 0, тогда1 1aαaα 1−α6 αa + (1 − α)b. Положим α = p1 и 1 − α = 1q . Следовательно a p b q 6 ap + qb .bα 6 α b + (1 − α) ⇒ a b(c2) Неравенство Гёльдера. Пусть p > 1, p1 +суммируемо на E иZ1q= 1 и f (x) ∈ Lp (E), а g(x) ∈ Lq (E). Тогда их произведение|f (x)g(x)|dx 6 ||f ||p · ||g||q .(5)EПусть f (x) и g(x) не эквивалентны нулю. Положимϕ(x) =f (x)g(x)и ψ(x) =.||f ||Lp||g||LqТогдаZZp|ψ(x)|q dx = 1.|ϕ(x)| dx =EEПоложимa = |ϕ(x)|p и b = |ψ(x)|q .И из неравенства (3) получаем, что|ϕ(x)ψ(x)| 6|ψ(x)|q|ϕ(x)|p+,pq(6)откуда следует суммируемость произведения f (x)g(x).

Проинтегрируем обе части неравенства (6) поE.ZZ |ϕ(x)|p|ψ(x)|q1 1|ϕ(x)ψ(x)|dx 6+dx = + = 1.(7)pqp qEEОткуда следует неравенство Гёльдера. Отметим, что для множеств конечной меры из того, что f ∈ Lpследует, что f ∈ Lp0 для 1 6 p0 6 p. Теперь докажем само неравенство Минковского.pЕсли f (x) + g(x) ∈ Lp , то |f + g| q ∈ Lq . Применим неравенство Гёльдера:Zppp|f (x)| · |f (x) + g(x)| q dx 6 ||f ||p · || |f (x) + g(x)| q ||q = ||f ||p · ||f (x) + g(x)||pq(8)EиZppp|g(x)| · |f (x) + g(x)| q dx 6 ||g||p · || |f (x) + g(x)| q ||q = ||g||p · ||f (x) + g(x)||pq .EС учетом того, чтоZpZ|f + g| dx =Ep−1|f + g| · |f + g|EZE16p|f + g| · |f + g| q dxdx =(9)Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)и неравенств (8),(9) получаем, чтоZZpppp||f + g||p = |f + g| dx 6 (|f | + |g|)|f + g| q dx 6 (||f ||p + ||g||p )||f + g||pq .E(10)EpИ перенося сомножитель ||f + g||pq влевоp− pq||f + g||p= ||f + g||p 6 ||f ||p + ||g||p .Определение.